AMC 10 · 2003 · #23

학년 6 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

triangular-numberspattern-recognitionsystematic-enumeration easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: triangular-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

이쑤시개로 작은 정삼각형들을 여러 줄로 쌓아 큰 정삼각형을 만든다. 예를 들어 그림에는 작은 합동 정삼각형이 $3$ 줄 있고, 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $5$ 개 있다. 맨 아랫줄에 작은 정삼각형이 $2003$ 개인 큰 정삼각형을 만들려면 이쑤시개가 몇 개 필요한가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1,004,004

(B)

1,005,006

(C)

1,507,509

(D)

3,015,018

(E)

6,021,018

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정삼각형을 이쑤시개로 만든 작은 정삼각형들을 여러 줄로 쌓아 만든다. 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $b$개 있을 때, 사용된 이쑤시개의 총 개수를 구하려 한다. 예시 그림은 $3$줄이고 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $5$개 있다. 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $2003$개일 때 이쑤시개 개수를 구하여라.

주어진 것: 큰 삼각형은 합동인 작은 정삼각형들을 줄로 배열해 만든다; 예시: $3$줄이면 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $5$개; 목표: 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 $2003$개; 선택지: (A) 1,004,004 (B) 1,005,006 (C) 1,507,509 (D) 3,015,018 (E) 6,021,018

구하는 것: 큰 삼각형을 만드는 데 필요한 이쑤시개의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

이쑤시개를 곧바로 세는 것은 함정이다. 대부분의 이쑤시개는 위 삼각형과 아래 삼각형이 함께 쓰는 변이라, 그냥 세면 중복해서 세게 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 한 번에 해결한다. 위를 향한 삼각형만 보면 된다. 모든 이쑤시개는 정확히 하나의 위 삼각형의 변이고, 서로 다른 두 위 삼각형은 이쑤시개를 공유하지 않는다. 따라서 이쑤시개의 총 개수는 위 삼각형 개수의 정확히 $3$배이며, 중복을 보정할 필요가 없다. 도구 #5(패턴 찾기)로 위 삼각형을 줄마다 ($1, 2, 3, \dots$) 세고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $2003$에 쓰기 전에 작은 예시 그림에서 이 방법을 먼저 검증한다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

맨 아랫줄로부터 줄 수 세기

각 줄에 작은 삼각형이 몇 개인지 보자.
맨 윗줄은 $1$개, 그다음은 $3$개, 그다음 $5$개, 이렇게 홀수로 늘어난다.
맨 아랫줄은 $r$번째 홀수, 즉 $2r-1$개다.
예시가 이를 확인해 준다.
$3$줄이면 맨 아랫줄은 $2\cdot 3-1=5$개다.
우리 삼각형은 맨 아랫줄에 $2003$개가 있으므로 $2r-1=2003$, 즉 $r=1002$줄이다.

$$2r-1=2003 \;\Rightarrow\; r=1002 \text{줄}$$

💡 한 줄 내려갈 때마다 양쪽 빗변에 삼각형이 하나씩 더해져, 개수가 홀수를 따라 올라간다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.C.5 단계 2

위를 향한 삼각형만 보기

여기가 핵심이다.
이쑤시개를 세는 대신 위를 향한 작은 삼각형을 세자.
그림 전체의 모든 이쑤시개는 정확히 하나의 위 삼각형의 변이고, 서로 다른 두 위 삼각형은 절대 이쑤시개를 공유하지 않는다(공유되는 변은 항상 위 삼각형과 아래 삼각형 사이에 있다).
그래서 위 삼각형을 세면 모든 이쑤시개를 한 번씩, 빠짐없이 그리고 중복 없이 세게 된다.
즉 총 이쑤시개는 위 삼각형 개수의 $3$배다.

$$\text{이쑤시개} = 3 \times (\text{위를 향한 삼각형 개수})$$

💡 아래를 향한 삼각형은 이미 위 삼각형 이웃에게 속한 변들로만 이루어져 있어, 모든 이쑤시개는 위 삼각형이 독차지한다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 3

예시 그림으로 아이디어 검증하기

$2003$에 쓰기 전에 주어진 $3$줄 그림으로 시험해 보자.
위를 향한 삼각형은 $1+2+3=6$개이므로 이 규칙은 $3\times 6=18$개의 이쑤시개를 예측한다.
다른 방법으로 확인하자.
전체 그림에는 $3^2=9$개의 작은 삼각형이 있어 삼각형 변이 $3\times 9=27$개 생기고, 큰 삼각형의 세 바깥 변은 각각 이쑤시개 $3$개씩(즉 한 번만 세는 경계 이쑤시개 $9$개)이며, 나머지 이쑤시개는 모두 두 삼각형이 공유한다.
$27 = 2\cdot(\text{내부}) + 9$를 풀면 내부 이쑤시개는 $9$개, 합쳐서 $9+9=18$개다.
두 방법이 일치하니 위 삼각형 규칙은 옳다.

$$3\times(1+2+3)=18 \;=\; 9_{\text{경계}} + 9_{\text{내부}}$$

💡 손으로 확인할 수 있는 경우에서 맞는 규칙은 거대한 경우로 자신 있게 밀어붙일 수 있다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.2 단계 4

위를 향한 삼각형 전부 세기

맨 위부터 줄마다 위를 향한 삼각형은 $1, 2, 3, \dots$개로, $k$번째 줄에는 정확히 $k$개가 있다.
$1002$줄이므로 위 삼각형 총합은 $1+2+3+\cdots+1002$다.
$1$부터 $n$까지의 합 공식 $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$에 $n=1002$를 넣으면 $\dfrac{1002\cdot 1003}{2}=501\cdot 1003=502{,}503$이다.

$$\sum_{k=1}^{1002} k=\frac{1002\cdot 1003}{2}=502{,}503$$

💡 첫 항과 끝 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항을 짝지으면 긴 덧셈이 곱셈 하나로 바뀐다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.5 단계 5

삼각형 개수에 3을 곱해 이쑤시개 총합 구하기

각 위 삼각형은 이쑤시개 $3$개를 가지고, 모두 합쳐 모든 이쑤시개를 정확히 한 번씩 가지므로 개수에 $3$을 곱한다.
$3\times 502{,}503 = 1{,}507{,}509$이다.
이는 선택지 (C)와 일치한다.

$$3\times 502{,}503 = 1{,}507{,}509 \;\textbf{(C)}$$

💡 각 이쑤시개가 정확히 한 삼각형에 배정되면, 총합은 삼각형 수 곱하기 삼각형당 변의 수일 뿐이다.

[1] #5 4.OA.C.5 각 줄에 작은 삼각형이 몇 개인지 보자. 맨 윗줄은 $1$개, 그다음은 $3$개, 그다음 $5$개, 이렇게 홀수로 늘어난다. 맨 아랫줄은 $r$

[2] #16 4.OA.C.5 여기가 핵심이다. 이쑤시개를 세는 대신 위를 향한 작은 삼각형을 세자. 그림 전체의 모든 이쑤시개는 정확히 하나의 위 삼각형의 변이고, 서로 다

[3] #9 4.OA.A.3 $2003$에 쓰기 전에 주어진 $3$줄 그림으로 시험해 보자. 위를 향한 삼각형은 $1+2+3=6$개이므로 이 규칙은 $3\times 6=18

[4] #5 6.EE.A.2 맨 위부터 줄마다 위를 향한 삼각형은 $1, 2, 3, \dots$개로, $k$번째 줄에는 정확히 $k$개가 있다. $1002$줄이므로 위 삼각

[5] #16 5.NBT.B.5 각 위 삼각형은 이쑤시개 $3$개를 가지고, 모두 합쳐 모든 이쑤시개를 정확히 한 번씩 가지므로 개수에 $3$을 곱한다. $3\times 502

검토

합리성 확인: 답 $1{,}507{,}509$는 선택지 (C)다. 크기 점검: 선택지 (A) $1{,}004{,}004=1002^2$은 정확히 작은 삼각형의 개수인데, 이는 이쑤시개보다 적어야 한다(삼각형마다 변이 $3$개이고 대부분 공유되므로 이쑤시개는 삼각형 수의 약 $1.5$배가 되어야 한다). 실제로 $1{,}507{,}509 \approx 1.5\times 1{,}004{,}004$이라 잘 맞는다. 일의 자리 점검으로도 (C)만 남는다. $1002\cdot 1003$의 일의 자리는 $6$, 반으로 나누면 일의 자리가 $3$, 세 배 하면 일의 자리가 $9$인데, $9$로 끝나는 것은 (C)뿐이다.

대안 접근: 빗변 이쑤시개와 가로 이쑤시개를 따로 센다. 맨 아랫줄에는 $2\cdot 1002+1=2005$개의 빗변 이쑤시개가 필요하고, 한 줄 올라갈 때마다 $2$개씩 줄어 빗변 이쑤시개는 $2005+2003+\cdots+3$이다. 가로 이쑤시개는 각 줄의 아랫변으로 세면 $1002+1001+\cdots+1$이다. 두 합을 더하면 같은 $1{,}507{,}509$가 나오지만, 위 삼각형 방법은 긴 합 두 개 대신 곱셈 하나로 답에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형의 패턴 만들기 (줄의 크기가 홀수($2r-1$)를 따름을 보아 $1002$줄을 찾고, 각 이쑤시개가 정확히 하나의 위 삼각형에 속함을 파악하기.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결하기 ($3$줄 예시에서 세는 규칙을 두 가지 방법으로 검증하기($3\times 6=18$과 경계+내부$=18$).)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (공식 $\frac{n(n+1)}{2}$로 $1+2+\cdots+1002$를 합하여 위 삼각형 $502{,}503$개 구하기.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수 능숙하게 곱하기 ($1002\cdot 1003$과 최종 $3\times 502{,}503 = 1{,}507{,}509$ 계산하기.)

⭐ 조각들이 변을 공유할 때는 위를 향한 조각만 세라. 각 변은 그중 정확히 하나에 속하므로, 전체 변의 수는 그 개수의 세 배일 뿐이다.