AMC 10 · 2003 · #4

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

rateunit-conversion dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Anna는 집에서 학교까지 $1$ km 오르막을 걸어 올라가는 데 $30$ 분이 걸리지만, 같은 길을 따라 학교에서 집으로 걸어 내려오는 데는 $10$ 분밖에 걸리지 않는다. 왕복 전체에 대한 그녀의 평균 속력은 km/hr 단위로 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

3.125

(C)

3.5

(D)

(E)

4.5

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Anna는 집에서 학교까지 $1$ km 오르막을 $30$분에 걸어 올라가고, 같은 길 $1$ km 내리막을 $10$분에 걸어 내려온다. 왕복 전체의 평균 속력을 km/hr 단위로 구하라.

주어진 것: 오르막 구간: $1$ km, $30$분 소요; 내리막 구간(같은 길): $1$ km, $10$분 소요; 선택지: (A) $3$, (B) $3.125$, (C) $3.5$, (D) $4$, (E) $4.5$

구하는 것: 왕복 전체의 평균 속력 (km/hr 단위)

이해

주어진 것: 오르막 구간: $1$ km, $30$분 소요; 내리막 구간(같은 길): $1$ km, $10$분 소요; 선택지: (A) $3$, (B) $3.125$, (C) $3.5$, (D) $4$, (E) $4.5$

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"속력"이라는 말과 km/hr라는 목표 단위는 Tool #8(단위 살펴보기)를 쓰라는 신호다. 평균 속력은 $\frac{\text{전체 거리(km)}}{\text{전체 시간(hr)}}$로 정의되므로, 단위 자체가 무엇을 모아야 하는지를 알려준다 — 전체 거리와 전체 시간을 모으고, 나누기 전에 분을 시간으로 바꿔야 한다는 경고도 담겨 있다. 이어서 Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔하게 나눈다: 먼저 거리를 더하고, 따로 시간을 더한 뒤, 마지막에만 둘을 합친다. 단위로 접근하면 두 속력($2$와 $6$)을 평균 내서 $4$를 얻는 흔한 함정도 피할 수 있는데, 그 방법은 하나의 전체를 다른 전체로 나누는 대신 서로 다른 비율을 뒤섞는 실수다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

목표 단위 읽기

답은 km/hr로 나와야 하므로, 평균 속력은 전체 거리(km)를 전체 시간(hr)으로 나눈 값이다.
이것은 마지막에 한 번 나누는 것이지, 오르막 속력과 내리막 속력을 평균 내는 것이 아니다.

$$\text{평균 속력} = \dfrac{\text{전체 거리}}{\text{전체 시간}}$$

💡 "시간당 킬로미터"라는 단위는 글자 그대로 킬로미터를 시간으로 나눈 것이므로, 모아야 할 두 전체가 무엇인지 이름을 붙여 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.A.1 단계 2

거리와 시간 더하기

작은 문제 1 — 전체 거리: 갈 때 $1$ km, 올 때 $1$ km이므로 $2$ km.
작은 문제 2 — 전체 시간: $30 + 10 = 40$분인데, 답이 시간당이므로 시간으로 바꿔야 한다.
$60$분이 $1$시간이므로 $40$분은 $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$시간이다.

$$\text{전체 거리} = 1 + 1 = 2\text{ km}, \qquad \text{전체 시간} = 40\text{ min} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\text{ hr}$$

💡 두 더미를 따로 두자 — 거리는 그냥 $1+1$이고, 시간은 km/hr 목표에 맞게 시간 단위로 바꾼 뒤에야 쓸 수 있다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.A.1 단계 3

전체끼리 나눠 속력 구하기

전체 거리를 전체 시간으로 나눈다.
$\frac{2}{3}$로 나누는 것은 그 역수 $\frac{3}{2}$을 곱하는 것과 같아 $3$이 된다.
따라서 Anna의 평균 속력은 $3$ km/hr, 선택지 (A)이다.

$$\dfrac{2\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ hr}} = 2 \times \dfrac{3}{2} = 3\text{ km/hr} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $2$ km를 $\frac{2}{3}$시간에 나누는 것은 한 시간에 얼마나 가는지를 묻는 것과 같고, $2 \div \frac{2}{3}$는 그것을 $3$으로 키운다.

[1] #8 6.RP.A.3 답은 km/hr로 나와야 하므로, 평균 속력은 전체 거리(km)를 전체 시간(hr)으로 나눈 값이다. 이것은 마지막에 한 번 나누는 것이지, 오

[2] #7 5.MD.A.1 작은 문제 1 — 전체 거리: 갈 때 $1$ km, 올 때 $1$ km이므로 $2$ km. 작은 문제 2 — 전체 시간: $30 + 10 = 4

[3] #8 6.NS.A.1 전체 거리를 전체 시간으로 나눈다. $\frac{2}{3}$로 나누는 것은 그 역수 $\frac{3}{2}$을 곱하는 것과 같아 $3$이 된다.

검토

합리성 확인: 실제 두 속력은 오르막 $2$ km/hr($1$ km를 반 시간에)와 내리막 $6$ km/hr($1$ km를 $\frac{1}{6}$시간에)이므로, 왕복 평균은 $2$와 $6$ 사이에 있어야 하고 $3$이 그 안에 든다. 또한 $4$보다 느린 쪽에 더 가까운데, 이는 그녀가 내리막을 미끄러지는 시간보다 오르막을 기어오르는 데 훨씬 오래 걸리기 때문에 옳다. 이 점이 함정 답 (D) $4$의 정체도 드러낸다: 그것은 단순 평균 $\frac{2+6}{2}$로, 느린 구간이 시간의 대부분을 차지한다는 사실을 잘못 무시한 값이다.

대안 접근: Tool #5(패턴 찾기)를 조화평균으로 적용: 같은 거리를 속력 $x$와 $y$로 갈 때 평균 속력은 $\frac{2xy}{x+y}$이다. $x=2$, $y=6$이면 $\frac{2\cdot 2\cdot 6}{2+6} = \frac{24}{8} = 3$ km/hr로 (A)와 일치한다. 여기서는 두 거리가 이미 주어져 있어 전체 거리$\div$전체 시간 방법이 더 직접적이지만, 조화평균 공식도 같은 값을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (평균 속력을 두 구간 속력의 평균이 아니라 전체 거리 $\div$ 전체 시간이라는 하나의 비율로 해석하는 데 사용.)
5.MD.A.1 Convert among different-sized standard measurement units within a given system (전체 이동 시간 $40$분을 $\frac{2}{3}$시간으로 바꿔 속력이 km/hr로 나오게 하는 데 사용.)
6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems (평균 속력을 얻기 위해 $2 \div \frac{2}{3} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$을 계산하는 데 사용.)

⭐ 평균 속력은 모든 거리를 모든 시간으로 나눈 것 — 두 속력의 평균이 아니다. 느린 구간이 시계를 더 많이 잡아먹기 때문이다.