AMC 10 · 2003 · #5

학년 8 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta
vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-roots convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
방정식 2x²+3x-5=0은 두 해를 가지며, 이를 d와 e라 한다. 이 두 해를 이용하여 곱 (d-1)(e-1)의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$-\frac{5}{2}$
(B)
0
(C)
3
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

구하려는 (d-1)(e-1)을 전개하면 de-(d+e)+1이 되므로, 필요한 사실은 두 근의 합 d+e와 곱 de뿐이다 — 이것이 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 각 근을 구하려 하지 말고 그 합과 곱에 초점을 맞춘다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 두 사실을 값싸게 준다: 근이 d,e인 이차식 2x²+3x-5는 반드시 2(x-d)(x-e)와 같아야 하고, 이를 전개하여 계수를 맞추면 합과 곱을 b와 c에서 바로 읽어 낼 수 있다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 빠른 점검 경로를 준다: x=1을 넣으면 2+3-5=0이므로 1이 실제로 한 근이고, 이는 곱에 (1-1)=0이라는 인수를 강제하여 답을 재빨리 확인해 준다.

1STEP 1

구하려는 곱 전개하기

전개하면 (d-1)(e-1)=de-d-e+1=de-(d+e)+1이므로 근들의 곱과 합만 필요하다.

(d-1)(e-1)=de-d-e+1=de-(d+e)+1
2STEP 2

계수에서 합과 곱 읽어 내기

2(x-d)(x-e)=2x²-2(d+e)x+2de를 2x²+3x-5와 비교하면 d+e=-3/2, de=-5/2이다.

2(x-d)(x-e)=2x²-2(d+e)x+2de=2x²+3x-5 → d+e=-3/2, de=-5/2
3STEP 3

대입하여 계산하기

de=-5/2와 d+e=-3/2를 de-(d+e)+1에 대입하면 -5/2+3/2+1, 즉 -1+1=0이므로 (B)이다.

-5/2-(-3/2)+1=-5/2+3/2+1=-1+1=0 → (B)
정답
0
곱이 0이 되는 것은 정확히 인수 중 하나가 0일 때이므로, 답이 0이라는 것은 한 근이 1이라는 강한 힌트이다. 확인해 보자: 2x²+3x-5에 x=1을 넣으면 2+3-5=0이므로 x=1은 실제로 한 근이다. 그러면 그 근은 (d-1)(e-1)에 인수 (1-1)=0을 만들어 곱 전체를 0으로 만든다 — 선택지 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리

이차식의 두 근에 대한 식을 계산하려면, 근들의 합과 곱으로 전개하라 — 이 값들은 계수에서 바로 읽을 수 있어 근 자체를 구할 필요가 거의 없다.

  • 구하려는 곱 전개하기
  • 계수에서 합과 곱 읽어 내기
  • 대입하여 계산하기

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