AMC 10 · 2003 · #5

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-roots convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$d$ 와 $e$ 를 $2x^{2}+3x-5=0$ 의 두 해라 하자. $(d-1)(e-1)$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{5}{2}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $2x^{2}+3x-5=0$은 두 해를 가지며, 이를 $d$와 $e$라 한다. 이 두 해를 이용하여 곱 $(d-1)(e-1)$의 값을 구하라.

주어진 것: $d$와 $e$는 $2x^{2}+3x-5=0$의 두 해(근)이다; $2x^{2}+3x-5$에서 최고차항 계수는 $a=2$, 일차항 계수는 $b=3$, 상수항은 $c=-5$이다; 선택지: (A) $-\frac{5}{2}$, (B) $0$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: $(d-1)(e-1)$의 값

이해

문제 재정리: 방정식 $2x^{2}+3x-5=0$은 두 해를 가지며, 이를 $d$와 $e$라 한다. 이 두 해를 이용하여 곱 $(d-1)(e-1)$의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

구하려는 $(d-1)(e-1)$을 전개하면 $de-(d+e)+1$이 되므로, 필요한 사실은 두 근의 합 $d+e$와 곱 $de$뿐이다 — 이것이 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 각 근을 구하려 하지 말고 그 합과 곱에 초점을 맞춘다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 두 사실을 값싸게 준다: 근이 $d,e$인 이차식 $2x^{2}+3x-5$는 반드시 $2(x-d)(x-e)$와 같아야 하고, 이를 전개하여 계수를 맞추면 합과 곱을 $b$와 $c$에서 바로 읽어 낼 수 있다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 빠른 점검 경로를 준다: $x=1$을 넣으면 $2+3-5=0$이므로 $1$이 실제로 한 근이고, 이는 곱에 $(1-1)=0$이라는 인수를 강제하여 답을 재빨리 확인해 준다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

구하려는 곱 전개하기

분배법칙으로 $(d-1)(e-1)$을 전개한다: $(d-1)(e-1)=de-d-e+1$.
두 일차항을 하나의 합으로 묶으면 $de-(d+e)+1$이다.
그러므로 답은 두 근의 곱 $de$와 합 $d+e$에만 의존하며 — $d$와 $e$의 개별 값은 필요하지 않다.

$$(d-1)(e-1)=de-d-e+1=de-(d+e)+1$$

💡 먼저 전개하면 답이 근들의 합과 곱만 필요함이 드러나므로 각 근을 찾을 이유가 없다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

계수에서 합과 곱 읽어 내기

근이 $d$, $e$이고 최고차항 계수가 $2$인 이차식은 $2(x-d)(x-e)$로 쓸 수 있다.
전개하면 $2x^{2}-2(d+e)x+2de$이다.
이를 $2x^{2}+3x-5$와 맞추면, $x$항에서 $-2(d+e)=3$이므로 $d+e=-\frac{3}{2}$, 상수항에서 $2de=-5$이므로 $de=-\frac{5}{2}$이다.

$$2(x-d)(x-e)=2x^{2}-2(d+e)x+2de=2x^{2}+3x-5 \Rightarrow d+e=-\tfrac{3}{2},\; de=-\tfrac{5}{2}$$

💡 이차식을 인수분해된 형태로 쓰면 근들의 합과 곱이 일차항 계수와 상수항으로 곧바로 나타난다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 3

대입하여 계산하기

$de=-\frac{5}{2}$와 $d+e=-\frac{3}{2}$를 $de-(d+e)+1$에 넣는다: $-\frac{5}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)+1=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}+1$.
두 분수는 합쳐져 $-\frac{2}{2}=-1$이 되고, $-1+1=0$이다.
그러므로 $(d-1)(e-1)=0$이며, 이는 선택지 (B)이다.

$$-\tfrac{5}{2}-\left(-\tfrac{3}{2}\right)+1=-\tfrac{5}{2}+\tfrac{3}{2}+1=-1+1=0 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 합과 곱만 알면 답은 부호가 있는 분수의 짧은 계산일 뿐이다.

[1] #16 6.EE.A.3 분배법칙으로 $(d-1)(e-1)$을 전개한다: $(d-1)(e-1)=de-d-e+1$. 두 일차항을 하나의 합으로 묶으면 $de-(d+e)+1

[2] #4 8.EE.C.7 근이 $d$, $e$이고 최고차항 계수가 $2$인 이차식은 $2(x-d)(x-e)$로 쓸 수 있다. 전개하면 $2x^{2}-2(d+e)x+2de

[3] #4 7.NS.A.1 $de=-\frac{5}{2}$와 $d+e=-\frac{3}{2}$를 $de-(d+e)+1$에 넣는다: $-\frac{5}{2}-\left(-\

검토

합리성 확인: 곱이 $0$이 되는 것은 정확히 인수 중 하나가 $0$일 때이므로, 답이 $0$이라는 것은 한 근이 $1$이라는 강한 힌트이다. 확인해 보자: $2x^{2}+3x-5$에 $x=1$을 넣으면 $2+3-5=0$이므로 $x=1$은 실제로 한 근이다. 그러면 그 근은 $(d-1)(e-1)$에 인수 $(1-1)=0$을 만들어 곱 전체를 $0$으로 만든다 — 선택지 (B)와 일치한다.

대안 접근: 이차식을 바로 인수분해한다: $2x^{2}+3x-5=(2x+5)(x-1)$이고, 그 근은 $x=-\frac{5}{2}$와 $x=1$이다. 그러면 $(d-1)(e-1)=\left(-\frac{5}{2}-1\right)(1-1)=\left(-\frac{7}{2}\right)(0)=0$으로 같은 답 (B)이다 — 어느 근을 $d$ 또는 $e$라 부르든 근 $1$에서 나온 인수가 곱을 $0$으로 만든다는 것을 보여 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식 만들기 ($(d-1)(e-1)$을 $de-(d+e)+1$로 전개하여 근들의 합과 곱만 필요하게 만들기.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 ($2(x-d)(x-e)$를 $2x^{2}+3x-5$와 맞추고 $-2(d+e)=3$, $2de=-5$를 풀어 합과 곱 구하기.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수로 확장하기 ($-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}+1$을 계산하여 $0$에 이르기.)

⭐ 이차식의 두 근에 대한 식을 계산하려면, 근들의 합과 곱으로 전개하라 — 이 값들은 계수에서 바로 읽을 수 있어 근 자체를 구할 필요가 거의 없다.