AMC 10 · 2003 · #6

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

absolute-valueif-then-reasoning casework ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

모든 실수 $x$ 와 $y$ 에 대해 $x \heartsuit y$ 를 $|x-y|$ 로 정의한다. 다음 중 참이 아닌 것은?

$\mathrm{(A) \ }$ 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $x \heartsuit y = y \heartsuit x$

$\mathrm{(B) \ }$ 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$

$\mathrm{(C) \ }$ 모든 $x$ 에 대해 $x \heartsuit 0 = x$

$\mathrm{(D) \ }$ 모든 $x$ 에 대해 $x \heartsuit x = 0$

$\mathrm{(E) \ }$ $x \neq y$ 이면 $x \heartsuit y > 0$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$x \heartsuit y = y \heartsuit x \text{ for all } x, y$

(B)

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y) \text{ for all } x, y$

(C)

$x \heartsuit 0 = x \text{ for all } x$

(D)

$x \heartsuit x = 0 \text{ for all } x$

(E)

$x \heartsuit y > 0 \text{ if } x \neq y$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모든 실수 $x$, $y$에 대해 새로운 연산 $\heartsuit$을 $x \heartsuit y = |x-y|$로 정의한다. 이 연산에 관한 다섯 문장 (A)~(E) 중 넷은 항상 참이다. 참이 아닌 문장 하나를 찾아라.

주어진 것: 모든 실수 $x$, $y$에 대해 $x \heartsuit y = |x-y|$; (A) 모든 $x$, $y$에 대해 $x \heartsuit y = y \heartsuit x$; (B) 모든 $x$, $y$에 대해 $2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$; (C) 모든 $x$에 대해 $x \heartsuit 0 = x$; (D) 모든 $x$에 대해 $x \heartsuit x = 0$; (E) $x \neq y$이면 $x \heartsuit y > 0$

구하는 것: 다섯 문장 (A)~(E) 중 참이 아닌 문장 하나

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #14 극단의 원리

문제는 어떤 문장이 어긋나는지를 묻는다. 그래서 도구 #3(가능성 지우기)이 정확히 들어맞는다: 다섯 주장을 각각 검사하여 항상 성립하는 것을 버리면 남는 것이 답이다. $x \heartsuit y = |x-y|$는 $x$와 $y$ 사이의 거리일 뿐이므로 네 주장은 빠른 거리 성질(대칭성, 배수, 거리 0, 양의 거리)이며 참으로 확인된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 반증을 이끈다: '모든 $x$에 대해'라고 주장하는 문장은 어긋나는 수 하나로 무너진다. 도구 #14(극단의 원리)는 그 수를 어디서 찾을지 알려 준다 — 절대값은 음수에서만 값을 바꾸므로, 음의 입력을 넣어 보는 것이 거짓 주장을 드러낼 가능성이 가장 높은 경우이고, 문장 (C)가 바로 거기서 무너진다.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 1

하트를 거리로 읽기

연산 $x \heartsuit y = |x-y|$는 수직선에서 $x$와 $y$ 사이의 거리이다.
거리는 결코 음수가 아니다.
'모든' 값에 대해 성립한다고 주장하는 문장은 한 번도 어긋나지 않아야만 참이므로, 하나를 반증하려면 그것을 깨뜨리는 예 하나만 찾으면 된다.

$$x \heartsuit y = |x-y| = x \text{에서 } y \text{까지의 거리} \ge 0$$

💡 $|x-y|$을 거리로 보면 대부분의 주장이 자명해지고, 나쁜 예 하나면 '모든' 주장을 무너뜨리기에 충분하다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 2

A, B, D, E가 참임을 확인하기

(A) $x \heartsuit y = |x-y|$이고 $y \heartsuit x = |y-x|$인데, $|x-y| = |y-x|$(거리는 양방향으로 같다)이므로 (A)는 성립한다.
(B) $2(x \heartsuit y) = 2|x-y|$이고 $(2x) \heartsuit (2y) = |2x-2y| = 2|x-y|$이므로 양변이 같다.
따라서 (B)는 참이다 — 함정 같지만 실제로 맞다.
(D) $x \heartsuit x = |x-x| = |0| = 0$으로 항상 참이다.
(E) $x \neq y$이면 두 수의 거리가 양수이므로 $|x-y| > 0$이다.
참이다.
넷 모두 항상 참이므로 답이 될 수 없다.

$$|x-y|=|y-x|;\quad |2x-2y|=2|x-y|;\quad |x-x|=0;\quad x\neq y \Rightarrow |x-y|>0$$

💡 각 주장을 거리 성질로 점검하면 참인 네 문장이 지워지고 남은 하나로 좁혀진다.

#14 극단의 원리 6.EE.A.2 단계 3

음수로 문장 C 깨뜨리기

문장 (C)는 모든 $x$에 대해 $x \heartsuit 0 = x$라고 주장한다.
그러나 $x \heartsuit 0 = |x-0| = |x|$이고, $|x| = x$는 $x \ge 0$일 때만 성립한다.
절대값이 실제로 부호를 바꾸는 음수를 넣어 보자: $x = -3$을 택한다.
그러면 $(-3) \heartsuit 0 = |-3| = 3$이고 이는 $-3$과 같지 않다.
따라서 (C)는 어긋나며, 올바른 식은 $x \heartsuit 0 = |x|$($x$가 아님)이므로 문장 (C)가 참이 아닌 문장이다.
답은 (C)이다.

$$x \heartsuit 0 = |x|;\quad (-3)\heartsuit 0 = |-3| = 3 \neq -3 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 절대값은 음수에서만 작용하므로, 음의 입력 하나가 $x \heartsuit 0 = x$라는 주장을 거짓으로 드러낸다.

[1] #3 6.NS.C.7 연산 $x \heartsuit y = |x-y|$는 수직선에서 $x$와 $y$ 사이의 거리이다. 거리는 결코 음수가 아니다. '모든' 값에 대해

[2] #6 6.EE.B.5 (A) $x \heartsuit y = |x-y|$이고 $y \heartsuit x = |y-x|$인데, $|x-y| = |y-x|$(거리는 양

[3] #14 6.EE.A.2 문장 (C)는 모든 $x$에 대해 $x \heartsuit 0 = x$라고 주장한다. 그러나 $x \heartsuit 0 = |x-0| = |x

검토

합리성 확인: 올바른 항등식은 $x \heartsuit 0 = |x|$이며, 이는 음이 아닌 $x$에서는 $x$와 같지만 음의 $x$에서는 $-x$와 같다. 그래서 문장 (C)는 수직선의 절반에서는 참이고 나머지 절반에서는 거짓이다 — '모든' 값에 대한 문장으로는 감당할 수 없는, 딱 '거의 맞는' 종류의 주장이다. 나머지 문장은 모두 거리의 진짜 성질(대칭성, 배수, 같은 점에서 0, 다를 때 양수)이므로, (C)가 유일한 거짓 문장이라는 것은 일관적이다.

대안 접근: 반례를 찾는 대신 각 변을 닫힌 형태로 다시 쓴다. (C)는 좌변이 $|x|$, 우변이 $x$로 간단해지는데, 방정식 $|x| = x$는 $x$가 음이 아니라는 정의 그 자체이므로 '모든 $x$에 대해' 성립할 수 없다 — 특정한 수 없이도 구조적으로 이미 어긋난다. 같은 닫힌 형태 점검이 (A), (B), (D), (E)가 참인 항등식으로 줄어듦을 보이며, 다시 (C)를 가리킨다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.7 유리수의 순서와 절대값 이해하기 ($x \heartsuit y = |x-y|$을 음이 아닌 거리로 읽고, $|x| = x$가 $x \ge 0$일 때만 성립함을 아는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 값을 찾는 과정으로 이해하기 ('모든 값에 대해'라는 각 문장 (A), (B), (D), (E)가 실제로 모든 값에서 성립하는지 검사하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($x \heartsuit 0 = |x|$을 $x = -3$에서 계산하여 문장 (C)를 깨뜨리는 반례를 만드는 데 사용.)

⭐ '모든' 수에 대해 참이라는 문장은 수 하나만 어긋나도 거짓이고, 절대값에서는 그 수로 음수를 넣어 보면 된다.