AMC 10 · 2003 · #9

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

exponentsfraction-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

식

\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}

은 가장 안쪽 제곱근 하나를 세제곱근 세 개가 감싼 모양이고, 각 세제곱근 안에서

x

가 한 번 더 곱해진다. 모든 근이 정의되도록

x

는 0 이상이라고 하자. 이 탑 전체를

x

의 근호 하나로 간단히 하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{x}$

(B)

$\sqrt[3]{x^{2}}$

(C)

$\sqrt[27]{x^{2}}$

(D)

$\sqrt[54]{x}$

(E)

$\sqrt[81]{x^{80}}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

네 층짜리 겹근호를 한 번에 정리하기는 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 안쪽에서 바깥으로 벗겨 내며 각 세제곱근을 하나의 작은 일로 다루라고 말한다. 모든 층을 쉽게 만드는 핵심은 근호를 분수 지수로 다시 쓰는 것이다. 그러면 "x를 곱하기"는 지수에 1을 더하는 것이고 "세제곱근"은 지수를 3으로 나누는 것이 되기 때문이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 곧바로 효과를 낸다: 가장 안쪽 층이 x¹/2로 줄어들고, 그 뒤의 모든 층이 똑같은 일을 하므로 다시 계산할 필요가 없다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 독립적인 확인을 준다 — x=64 같은 완전제곱수를 넣고 손으로 정리하면 √(x)가 나와야 한다.

1STEP 1

모든 근호를 거듭제곱으로 바꾸기

근호는 분수 지수다: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , 세제곱근은 $\frac{1}{3}$ 제곱. $x$ 를 곱하면 지수에 1이 더해진다.

√(x)=x¹/2, ∛(y)=y¹/3

2STEP 2

가장 안쪽 층 정리하기

가장 안쪽은 $x\sqrt{x}=x^{3/2}$ 이고, 세제곱근을 취하면 $(x^{3/2})^{1/3}=$ $x^{1/2}$ 이다.

x√(x)=x¹ · x¹/2=x³/2 → ∛(x³/2)=x^(3/2)(1/3)=x¹/2

3STEP 3

층이 반복됨을 알아채기

다음 층도 같다: $x$ 를 곱하면 $x^{3/2}$ , 세제곱근으로 다시 $x^{1/2}$ . $\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ 이라 매 층이 고정점이다.

x · x¹/2=x³/2 → (x³/2)¹/3=x^(3/2)(1/3)=x¹/2

4STEP 4

가장 바깥 층 적용하기

한 층 남았다: $x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ , 마지막 세제곱근으로 $x^{1/2}$ , 곧 $x$ 의 제곱근이니 선택지 (A)이다.

∛(x · x¹/2)=∛(x³/2)=x¹/2=√(x) → (A)

정답

√(x)

선택지의 크기를 보라. 여기서의 연산은 지수에 1을 더하거나 지수를 3으로 나누는 것뿐이고 작은 수에서 시작하므로, 지수는 결코

\frac{1}{54}

나

\frac{80}{81}

같은 값으로 커질 수 없다 — 크기만으로 (C), (D), (E)가 제외된다. 지수는

\frac{3}{2}

과

\frac{1}{2}

사이를 오가고, 탑이 세제곱근으로 끝나므로

\frac{1}{2}

에 도달한다. 즉

\sqrt{x}

이며 — 선택지 (A)와 일치하고 (B)의

x^{2/3}

과는 다르다.

💡핵심 정리

근호를 분수 지수로 바꾼 뒤 겹근호를 안쪽에서 바깥으로 정리하라 — x를 곱하면 지수에 1이 더해지고 세제곱근은 지수를 3으로 나눈다.

모든 근호를 거듭제곱으로 바꾸기
가장 안쪽 층 정리하기
층이 반복됨을 알아채기
가장 바깥 층 적용하기

모든 근호를 거듭제곱으로 바꾸기

가장 안쪽 층 정리하기

층이 반복됨을 알아채기

가장 바깥 층 적용하기

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