AMC 10 · 2003 · #9
학년 8 algebra다음 식을 간단히 하여라.
3x3x3xx
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 겹근호 식 $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}$을 $x$의 하나의 근호 형태로 간단히 하고, 다섯 선택지 중 하나와 맞춘다.
주어진 것: 식은 $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}$이며, 가장 안쪽의 제곱근 하나를 세 개의 세제곱근이 감싸고 있다; 각 층마다 세제곱근을 취하기 전에 $x$가 한 번 더 곱해진다; 선택지: (A) $\sqrt{x}$, (B) $\sqrt[3]{x^{2}}$, (C) $\sqrt[27]{x^{2}}$, (D) $\sqrt[54]{x}$, (E) $\sqrt[81]{x^{80}}$
구하는 것: 전체 탑이 같아지는 $x$의 하나의 간단한 근호
이해
문제 재정리: 겹근호 식 $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}$을 $x$의 하나의 근호 형태로 간단히 하고, 다섯 선택지 중 하나와 맞춘다.
주어진 것: 식은 $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}$이며, 가장 안쪽의 제곱근 하나를 세 개의 세제곱근이 감싸고 있다; 각 층마다 세제곱근을 취하기 전에 $x$가 한 번 더 곱해진다; 선택지: (A) $\sqrt{x}$, (B) $\sqrt[3]{x^{2}}$, (C) $\sqrt[27]{x^{2}}$, (D) $\sqrt[54]{x}$, (E) $\sqrt[81]{x^{80}}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기
네 층짜리 겹근호를 한 번에 정리하기는 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 안쪽에서 바깥으로 벗겨 내며 각 세제곱근을 하나의 작은 일로 다루라고 말한다. 모든 층을 쉽게 만드는 핵심은 근호를 분수 지수로 다시 쓰는 것이다. 그러면 "$x$를 곱하기"는 지수에 $1$을 더하는 것이고 "세제곱근"은 지수를 $3$으로 나누는 것이 되기 때문이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 곧바로 효과를 낸다: 가장 안쪽 층이 $x^{1/2}$로 줄어들고, 그 뒤의 모든 층이 똑같은 일을 하므로 다시 계산할 필요가 없다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 독립적인 확인을 준다 — $x=64$ 같은 완전제곱수를 넣고 손으로 정리하면 $\sqrt{x}$가 나와야 한다.
실행 — 정답: A
8.EE.A.2 단계 1 모든 근호를 거듭제곱으로 바꾸기
- 각 근호를 분수 지수로 바꾸어 연산을 지수에 대한 계산으로 만든다.
- 제곱근은 $\tfrac{1}{2}$ 거듭제곱, 세제곱근은 $\tfrac{1}{3}$ 거듭제곱이다: $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$.
- 이제 $x$를 곱하면 지수에 $1$이 더해지고(곱의 법칙), 세제곱근을 취하면 지수에 $\tfrac{1}{3}$이 곱해진다(거듭제곱의 거듭제곱 법칙).
💡 근호는 그저 분수 지수이므로, 지수로 바꾸면 무서운 탑이 간단한 지수 계산이 된다.
8.EE.A.1 단계 2 가장 안쪽 층 정리하기
- 한가운데에서 시작한다: $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ (지수를 더함).
- 이제 여기에 가장 안쪽 세제곱근을 취한다: $\sqrt[3]{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/3}=x^{(3/2)\cdot(1/3)}=x^{1/2}$.
- 그러므로 가장 안쪽 묶음 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$은 그냥 $x^{1/2}$이다.
💡 지수에 $1$을 더한 뒤 $3$으로 나누면 $\tfrac{3}{2}$이 다시 $\tfrac{1}{2}$로 돌아온다.
5.NF.B.4 단계 3 층이 반복됨을 알아채기
- 바깥쪽 다음 층은 그 $x^{1/2}$에서 시작하여 같은 두 연산을 한다: $x$를 곱해 $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$을 얻고, 세제곱근을 취해 다시 $\left(x^{3/2}\right)^{1/3}=x^{1/2}$을 얻는다.
- 지수에 $\tfrac{1}{3}$을 곱하는 것이 매번 $\tfrac{3}{2}$을 $\tfrac{1}{2}$로 되돌린다.
- 그러므로 각 세제곱근 층은 고정점이다: 아무리 깊어도 계속 $x^{1/2}$을 되돌려 준다.
💡 곱 $\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}$이 모든 층이 같은 거듭제곱으로 되돌아오는 이유이다.
8.EE.A.1 단계 4 가장 바깥 층 적용하기
- 한 층이 남았다.
- 지금까지의 $x^{1/2}$에 $x$를 곱한다: $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$.
- 마지막 세제곱근을 취한다: $\sqrt[3]{x^{3/2}}=x^{1/2}$.
- 다시 근호로 쓰면 $x^{1/2}=\sqrt{x}$이다.
- 전체 탑은 $\sqrt{x}$로 간단해지며, 이는 선택지 (A)이다.
💡 가장 바깥 세제곱근이 같은 되돌림을 마지막으로 한 번 더 하여 $x^{1/2}=\sqrt{x}$을 남긴다.
8.EE.A.2 각 근호를 분수 지수로 바꾸어 연산을 지수에 대한 계산으로 만든다. 제곱근은 $\tfrac{1}{2}$ 거듭제곱, 세제곱근은 $\tfrac{1} 8.EE.A.1 한가운데에서 시작한다: $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ (지수를 더함). 이제 여기에 가장 안쪽 세제곱근을 5.NF.B.4 바깥쪽 다음 층은 그 $x^{1/2}$에서 시작하여 같은 두 연산을 한다: $x$를 곱해 $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$을 8.EE.A.1 한 층이 남았다. 지금까지의 $x^{1/2}$에 $x$를 곱한다: $x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$. 마지막 세제곱근을 취한다 검토
합리성 확인: 선택지의 크기를 보라. 여기서의 연산은 지수에 $1$을 더하거나 지수를 $3$으로 나누는 것뿐이고 작은 수에서 시작하므로, 지수는 결코 $\tfrac{1}{54}$나 $\tfrac{80}{81}$ 같은 값으로 커질 수 없다 — 크기만으로 (C), (D), (E)가 제외된다. 지수는 $\tfrac{3}{2}$과 $\tfrac{1}{2}$ 사이를 오가고, 탑이 세제곱근으로 끝나므로 $\tfrac{1}{2}$에 도달한다. 즉 $\sqrt{x}$이며 — 선택지 (A)와 일치하고 (B)의 $x^{2/3}$과는 다르다.
대안 접근: 완전제곱수로 추측하고 확인한다. $x=64$를 택하면: $\sqrt{64}=8$이므로 $x\sqrt{x}=64\cdot 8=512$이고 $\sqrt[3]{512}=8$이다. 다음 층은 $64\cdot 8=512$, $\sqrt[3]{512}=8$을 다시 주고, 바깥 층도 반복하여 $8$을 준다. 최종 값은 $8=\sqrt{64}$이므로 식은 $\sqrt{x}$와 같다 — (A)를 확인한다. $x=16$을 넣으면 같은 방식으로 $4=\sqrt{16}$이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타내고 근을 계산하기 ($\sqrt{x}$와 $\sqrt[3]{y}$를 분수 거듭제곱 $x^{1/2}$, $y^{1/3}$로 다시 쓰고 $x^{1/2}$을 다시 $\sqrt{x}$로 읽기.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용하여 동치인 식 만들기 ($x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$(곱의 법칙)와 $(x^{3/2})^{1/3}=x^{1/2}$(거듭제곱의 거듭제곱 법칙)을 사용하여 각 층을 접기.)5.NF.B.4분수와 분수 곱하기 (모든 세제곱근 층을 $x^{1/2}$로 되돌리는 지수 곱 $\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}$ 계산하기.)
⭐ 근호를 분수 지수로 바꾼 뒤 겹근호를 안쪽에서 바깥으로 정리하라 — $x$를 곱하면 지수에 $1$이 더해지고 세제곱근은 지수를 $3$으로 나눈다.
⭐ 근호를 분수 지수로 바꾼 뒤 겹근호를 안쪽에서 바깥으로 정리하라 — $x$를 곱하면 지수에 $1$이 더해지고 세제곱근은 지수를 $3$으로 나눈다.
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