AMC 10 · 2003 · #10

학년 6 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

fundamental-counting-principleexponentsratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fundamental-counting-principle

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

AMC의 본고장인 Nebraska주가 번호판 체계를 바꾸었다. 옛 번호판은 문자 한 개 다음에 숫자 네 개로 이루어졌다. 새 번호판은 문자 세 개 다음에 숫자 세 개로 이루어진다. 만들 수 있는 번호판의 수는 몇 배로 늘어났는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{26}{10}$

(B)

$\frac{26^2}{10^2}$

(C)

$\frac{26^2}{10}$

(D)

$\frac{26^3}{10^3}$

(E)

$\frac{26^3}{10^2}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 옛 번호판은 문자 $1$개 다음에 숫자 $4$개이고, 새 번호판은 문자 $3$개 다음에 숫자 $3$개이다. 새 방식이 옛 방식보다 몇 배 더 많은 번호판을 만들 수 있는지 — 즉 새 개수를 옛 개수로 나눈 값을 구하라.

주어진 것: 옛 번호판: 문자 한 개 다음에 숫자 네 개; 새 번호판: 문자 세 개 다음에 숫자 세 개; 가능한 문자는 $26$개, 가능한 숫자는 $10$개($0$–$9$)이다; 선택지: (A) $\frac{26}{10}$, (B) $\frac{26^2}{10^2}$, (C) $\frac{26^2}{10}$, (D) $\frac{26^3}{10^3}$, (E) $\frac{26^3}{10^2}$

구하는 것: 새 번호판 개수가 옛 번호판 개수의 몇 배인지 (새 $\div$ 옛)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

번호판은 자리 하나하나 채워지고 각 자리는 독립적으로 선택되므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이렇게 말한다: 각 자리의 선택 수를 세어 서로 곱하면 전체 번호판 수가 나온다. 이를 옛 방식과 새 방식에 각각 한 번씩 한다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)은 "몇 배 증가했는가"를 뺄셈이 아니라 새 전체를 옛 전체로 나누는 하나의 나눗셈으로 다시 본다. 선택지가 모두 $26$과 $10$의 거듭제곱 비율이므로, 도구 #3(가능성 지우기)은 큰 곱셈 없이 간단히 정리한 지수만으로 맞는 선택지를 바로 가리키게 해 준다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 1

옛 번호판 세기

옛 번호판은 자리가 다섯 개이다: 문자 하나, 그다음 숫자 넷.
문자 자리는 $26$가지, 각 숫자 자리는 $10$가지이다.
자리들이 독립적으로 채워지므로 선택 수를 모두 곱한다.
그러면 $26$에 $10$을 네 번 곱한 $26 \cdot 10^4$개의 옛 번호판이 나온다.

$$26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26 \cdot 10^4$$

💡 독립적인 자리를 채우면 선택 수가 곱해지므로, 문자 자리 하나와 숫자 자리 넷은 $26 \cdot 10^4$가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

새 번호판 세기

새 번호판은 문자 자리 세 개와 숫자 자리 세 개를 가진다.
각 문자 자리는 $26$가지, 각 숫자 자리는 $10$가지이며 모두 독립적으로 채워진다.
곱하면 $26$을 세 번, $10$을 세 번 곱한 $26^3 \cdot 10^3$개의 새 번호판이 나온다.

$$26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^3 \cdot 10^3$$

💡 문자 자리 세 개와 숫자 자리 세 개는 곱해져 $26^3 \cdot 10^3$이 된다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.2 단계 3

"몇 배"를 나눗셈으로 바꾸기

"개수가 몇 배 증가했는가"는 새 개수가 옛 개수의 몇 배인지를 뜻한다.
이는 뺄셈이 아니라 새 전체를 옛 전체로 나누어 답한다.
그래서 새 나누기 옛의 하나의 분수를 세운다.

$$\dfrac{\text{새}}{\text{옛}} = \dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4}$$

💡 "몇 배 더 많은가"는 언제나 큰 양을 작은 양으로 나누는 것이다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.3 단계 4

비율 간단히 하기

분자와 분모에서 공통인 $26$과 $10$을 약분한다.
분자에는 $26$이 셋, 분모에는 하나 있어 $26^{3-1} = 26^2$이 남는다.
분자에는 $10$이 셋, 분모에는 넷 있어 분모에 $10$이 하나 더 남으므로 $\frac{1}{10}$의 인수가 된다.
비율은 $\dfrac{26^2}{10}$이며, 이것이 선택지 (C)이다.

$$\dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4} = 26^{3-1} \cdot 10^{3-4} = \dfrac{26^2}{10} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 같은 밑을 나누면 그 개수가 빼진다: $26$은 $3$에서 $2$로, $10$은 $3$에서 $-1$로 줄어든다.

[1] #7 3.OA.A.1 옛 번호판은 자리가 다섯 개이다: 문자 하나, 그다음 숫자 넷. 문자 자리는 $26$가지, 각 숫자 자리는 $10$가지이다. 자리들이 독립적으로

[2] #7 6.EE.A.1 새 번호판은 문자 자리 세 개와 숫자 자리 세 개를 가진다. 각 문자 자리는 $26$가지, 각 숫자 자리는 $10$가지이며 모두 독립적으로 채워

[3] #16 4.OA.A.2 "개수가 몇 배 증가했는가"는 새 개수가 옛 개수의 몇 배인지를 뜻한다. 이는 뺄셈이 아니라 새 전체를 옛 전체로 나누어 답한다. 그래서 새 나

[4] #3 6.EE.A.3 분자와 분모에서 공통인 $26$과 $10$을 약분한다. 분자에는 $26$이 셋, 분모에는 하나 있어 $26^{3-1} = 26^2$이 남는다.

검토

합리성 확인: 문자가 한 개에서 세 개로 늘면 개수가 $26^2$배가 되고, 숫자가 네 개에서 세 개로 줄면 $10$으로 나뉜다. 그래서 번호판 수는 정확히 $26^2$배로 늘고 $10$으로 줄어 $\frac{26^2}{10}$이 되며, 이는 (C)와 일치한다. 결과는 $1$보다 크고(약 $67.6$), 이는 타당하다: 문자 자리 두 개가 늘어난 것($\times 676$)이 숫자 자리 하나가 줄어든 것($\div 10$)을 훨씬 웃돌아, 새 방식이 실제로 더 많은 번호판을 허용한다.

대안 접근: 전체 개수를 다 쓰는 대신 각 자리의 변화를 따로 추적한다. 문자는 $1$자리에서 $3$자리로, $26^3 / 26^1 = 26^2$배이다. 숫자는 $4$자리에서 $3$자리로, $10^3 / 10^4 = 1/10$배이다. 두 인수를 곱하면 $26^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{26^2}{10}$, 다시 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.A.1 자연수의 곱을 묶음 속 물건의 전체 개수로 해석하기 (독립적인 자리의 선택 수($26$과 $10$ 넷)를 곱해 옛 번호판을 세기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 (반복된 자리의 곱을 새 번호판의 $26^3 \cdot 10^3$으로 쓰기.)
4.OA.A.2 곱셈적 비교를 포함한 문장제를 곱셈이나 나눗셈으로 풀기 ("몇 배 증가했는가"를 새 $\div$ 옛 의 나눗셈으로 읽기.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($26$과 $10$의 공통 인수를 약분해 비율을 $\frac{26^2}{10}$로 줄이기.)

⭐ 번호판은 모든 자리의 선택 수를 곱해서 세고, 새 개수를 옛 개수로 나누면 몇 배 커졌는지 알 수 있다.