AMC 10 · 2003 · #10

학년 6 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

fundamental-counting-principleexponentsratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fundamental-counting-principle

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

옛 번호판은 문자 한 개 다음에 숫자 네 개로 이루어지고, 새 번호판은 문자 세 개 다음에 숫자 세 개로 이루어진다. 가능한 문자는 26가지, 숫자는 10가지이며 둘 다 반복될 수 있다. 만들 수 있는 번호판의 수는 몇 배로 늘어났는가 — 즉 새 개수를 옛 개수로 나눈 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{26}{10}$

(B)

$\frac{26^2}{10^2}$

(C)

$\frac{26^2}{10}$

(D)

$\frac{26^3}{10^3}$

(E)

$\frac{26^3}{10^2}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

번호판은 자리 하나하나 채워지고 각 자리는 독립적으로 선택되므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이렇게 말한다: 각 자리의 선택 수를 세어 서로 곱하면 전체 번호판 수가 나온다. 이를 옛 방식과 새 방식에 각각 한 번씩 한다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)은 "몇 배 증가했는가"를 뺄셈이 아니라 새 전체를 옛 전체로 나누는 하나의 나눗셈으로 다시 본다. 선택지가 모두 26과 10의 거듭제곱 비율이므로, 도구 #3(가능성 지우기)은 큰 곱셈 없이 간단히 정리한 지수만으로 맞는 선택지를 바로 가리키게 해 준다.

1STEP 1

옛 번호판 세기

자리는 다섯 개 — 문자는 26가지, 숫자는 각각 10가지. 곱하면 옛 번호판은 26 · 10⁴개이다.

26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 10⁴

2STEP 2

새 번호판 세기

이번엔 문자 자리 셋(각 26가지)과 숫자 자리 셋(각 10가지). 곱하면 새 번호판은 26³ · 10³개이다.

26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 = 26³ · 10³

3STEP 3

"몇 배"를 나눗셈으로 바꾸기

"몇 배"는 차이가 아니라 새 ÷ 옛을 묻는다. 그래서 새를 옛으로 나눈 분수 하나를 세운다.

새/옛 = (26³ · 10³)/(26 · 10⁴)

4STEP 4

비율 간단히 하기

공통 인수를 약분하면 위에는 26³⁻¹ = 26²이, 아래에는 10이 하나 남는다. 비율은 26²/10, 곧 (C)이다.

(26³ · 10³)/(26 · 10⁴) = 26³⁻¹ · 10³⁻⁴ = 26²/10 → (C)

정답

26²/10

문자가 한 개에서 세 개로 늘면 개수가 26²배가 되고, 숫자가 네 개에서 세 개로 줄면 10으로 나뉜다. 그래서 번호판 수는 정확히 26²배로 늘고 10으로 줄어 26²/10이 되며, 이는 (C)와 일치한다. 결과는 1보다 크고(약 67.6), 이는 타당하다: 문자 자리 두 개가 늘어난 것( × 676)이 숫자 자리 하나가 줄어든 것( ÷ 10)을 훨씬 웃돌아, 새 방식이 실제로 더 많은 번호판을 허용한다.

💡핵심 정리

번호판은 모든 자리의 선택 수를 곱해서 세고, 새 개수를 옛 개수로 나누면 몇 배 커졌는지 알 수 있다.

옛 번호판 세기
새 번호판 세기
"몇 배"를 나눗셈으로 바꾸기
비율 간단히 하기

옛 번호판 세기

새 번호판 세기

"몇 배"를 나눗셈으로 바꾸기

비율 간단히 하기

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