AMC 10 · 2003 · #14
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 수는 이미 소인수분해된 꼴 3⁸ · 5²이므로, a^b로 쓴다는 것은 밑 a 밖으로 지수 b를 끌어내는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 b가 될 수 있는 값을 못박는다: b는 모든 소수의 지수를 나누어야 하므로 8과 2의 공약수일 수밖에 없다. 그러면 b의 후보는 단 두 개만 남고, 도구 #3(가능성 지우기)이 각각을 확인한다. 지수 b가 클수록 밑 a는 훨씬 작아지고 — 합을 좌우하는 것은 a이므로 — 도구 #14(극단의 원리)는 b를 허용되는 가장 큰 값으로 밀어붙일 때 a + b가 가장 작아진다고 말한다. 이 하나의 아이디어가 곧바로 답을 가리킨다.
"a의 b제곱"이 요구하는 것 보기
3⁸ · 5² = a^b로 쓰면 각 지수가 b개로 똑같이 나뉘므로 b는 8과 2를 모두 나눠야 한다.
거듭제곱 a^b은 각 소수의 지수를 b개의 복사본에 똑같이 나눠 주므로, b는 모든 지수를 나누어야 한다.
거듭제곱은 각 소수의 지수를 모든 벌에 고르게 나눠 주므로, 그 지수가 그것들을 모두 나누어야 한다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱을 하면 모든 횟수가 곱해진다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 지수를 소수끼리 옮길 수 없다.
허용되는 지수만 나열하기
gcd(8, 2) = 2이므로 8과 2의 공약수는 1과 2뿐이고, b는 1 또는 2로 경우는 둘뿐이다.
8과 2를 모두 나누어야 하는 지수는 그 둘의 최대공약수보다 클 수 없다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities가장 큰 지수 b = 2 택하기
지수를 반으로 나누면 밑은 a = 3⁴ · 5 = 405이고, 405² = 3⁸ · 5²으로 확인된다.
모든 지수를 반으로 줄이면 이 수는 제곱근이 3⁴ · 5 = 405인 완전제곱수가 된다.
8.EE.A.1Extreme Principle두 경우를 비교해 더 작은 합 고르기
b = 2이면 405 + 2 = 407, b = 1이면 164026이므로 최솟값은 407이고 정답은 (D)이다.
더 큰 지수는 밑을 급격히 끌어내리고, 합을 좌우하는 것은 밑이므로, 허용되는 가장 큰 b가 가장 작은 합을 준다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities수를 a + b가 가장 작은 a^b로 압축하려면 모든 소수의 지수를 나누는 가장 큰 지수를 써라 — 큰 지수는 더해지는 것보다 밑을 훨씬 더 많이 줄인다.
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- 허용되는 지수만 나열하기
- 가장 큰 지수 b = 2 택하기
- 두 경우를 비교해 더 작은 합 고르기