AMC 10 · 2003 · #14
학년 8 number-theory38⋅52=ab이고 a와 b가 모두 양의 정수일 때, a+b의 가능한 가장 작은 값을 구하라.
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 수 $3^8 \cdot 5^2$을 하나의 거듭제곱 $a^b$ 꼴로 쓰려고 한다. 여기서 $a$와 $b$는 양의 정수이다. 그렇게 쓰는 모든 방법 중에서 $a + b$의 가장 작은 값을 구하라.
주어진 것: 이 수는 $3^8 \cdot 5^2$과 같다; $a$와 $b$가 양의 정수인 $a^b$ 꼴로 다시 써야 한다; 선택지: (A) $25$, (B) $34$, (C) $351$, (D) $407$, (E) $900$
구하는 것: 이 수를 $a^b$로 쓰는 모든 방법에서 $a + b$의 가장 작은 값
이해
문제 재정리: 수 $3^8 \cdot 5^2$을 하나의 거듭제곱 $a^b$ 꼴로 쓰려고 한다. 여기서 $a$와 $b$는 양의 정수이다. 그렇게 쓰는 모든 방법 중에서 $a + b$의 가장 작은 값을 구하라.
주어진 것: 이 수는 $3^8 \cdot 5^2$과 같다; $a$와 $b$가 양의 정수인 $a^b$ 꼴로 다시 써야 한다; 선택지: (A) $25$, (B) $34$, (C) $351$, (D) $407$, (E) $900$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기
이 수는 이미 소인수분해된 꼴 $3^8 \cdot 5^2$이므로, $a^b$로 쓴다는 것은 밑 $a$ 밖으로 지수 $b$를 끌어내는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 $b$가 될 수 있는 값을 못박는다: $b$는 모든 소수의 지수를 나누어야 하므로 $8$과 $2$의 공약수일 수밖에 없다. 그러면 $b$의 후보는 단 두 개만 남고, 도구 #3(가능성 지우기)이 각각을 확인한다. 지수 $b$가 클수록 밑 $a$는 훨씬 작아지고 — 합을 좌우하는 것은 $a$이므로 — 도구 #14(극단의 원리)는 $b$를 허용되는 가장 큰 값으로 밀어붙일 때 $a + b$가 가장 작아진다고 말한다. 이 하나의 아이디어가 곧바로 답을 가리킨다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.1 단계 1 "a의 b제곱"이 요구하는 것 보기
- $3^8 \cdot 5^2 = a^b$로 쓴다는 것은 모든 소인수가 $b$개의 똑같은 묶음으로 나뉜다는 뜻이다.
- 그래서 $3$의 지수인 $8$이 $b$개의 묶음으로 고르게 나뉘어야 하고, $5$의 지수인 $2$도 $b$개의 묶음으로 고르게 나뉘어야 한다.
- 이는 $b$가 $8$과 $2$를 모두 나누도록 강제한다.
💡 거듭제곱 $a^b$은 각 소수의 지수를 $b$개의 복사본에 똑같이 나눠 주므로, $b$는 모든 지수를 나누어야 한다.
6.NS.B.4 단계 2 허용되는 지수만 나열하기
- $8$과 $2$를 모두 나누는 $b$의 값은 정확히 $8$과 $2$의 공약수이다.
- 이 둘의 최대공약수는 $2$이므로 공약수는 $1$과 $2$이다.
- 즉 $b$는 $1$ 또는 $2$일 수밖에 없어 확인할 경우는 단 두 가지이다.
💡 $8$과 $2$를 모두 나누어야 하는 지수는 그 둘의 최대공약수보다 클 수 없다.
8.EE.A.1 단계 3 가장 큰 지수 b = 2 택하기
- $b = 2$를 택하면 각 소수의 지수가 절반으로 나뉜다: 여덟 개의 $3$은 네 개짜리 두 묶음이 되고, 두 개의 $5$는 한 개짜리 두 묶음이 된다.
- 그래서 밑은 $a = 3^4 \cdot 5^1 = 81 \cdot 5 = 405$이다.
- 이를 제곱하면 원래 수가 되돌아온다: $405^2 = (3^4 \cdot 5)^2 = 3^8 \cdot 5^2$이므로 이는 유효하다.
💡 모든 지수를 반으로 줄이면 이 수는 제곱근이 $3^4 \cdot 5 = 405$인 완전제곱수가 된다.
6.EE.A.1 단계 4 두 경우를 비교해 더 작은 합 고르기
- $b = 2$일 때: $a = 405$이므로 $a + b = 405 + 2 = 407$이다.
- $b = 1$일 때: $a$는 수 전체 $3^8 \cdot 5^2 = 164025$이므로 $a + b = 164026$으로 엄청나게 크다.
- 더 큰 지수는 $b$에 더해지는 것보다 밑을 훨씬 더 많이 줄이므로 $b = 2$가 이긴다.
- $a + b$의 가장 작은 값은 $407$이며, 이것이 선택지 (D)이다.
💡 더 큰 지수는 밑을 급격히 끌어내리고, 합을 좌우하는 것은 밑이므로, 허용되는 가장 큰 $b$가 가장 작은 합을 준다.
6.EE.A.1 $3^8 \cdot 5^2 = a^b$로 쓴다는 것은 모든 소인수가 $b$개의 똑같은 묶음으로 나뉜다는 뜻이다. 그래서 $3$의 지수인 $8$이 6.NS.B.4 $8$과 $2$를 모두 나누는 $b$의 값은 정확히 $8$과 $2$의 공약수이다. 이 둘의 최대공약수는 $2$이므로 공약수는 $1$과 $2$이다 8.EE.A.1 $b = 2$를 택하면 각 소수의 지수가 절반으로 나뉜다: 여덟 개의 $3$은 네 개짜리 두 묶음이 되고, 두 개의 $5$는 한 개짜리 두 묶음 6.EE.A.1 $b = 2$일 때: $a = 405$이므로 $a + b = 405 + 2 = 407$이다. $b = 1$일 때: $a$는 수 전체 $3^8 \ 검토
합리성 확인: 이긴 꼴을 직접 확인하자: $405^2 = 164025$이고 $3^8 \cdot 5^2 = 6561 \cdot 25 = 164025$이므로 $405^2$은 정말 원래 수와 같고 $a + b = 407$이다. 유일한 다른 합법적 꼴인 $b = 1$은 $a + b = 164026$으로 훨씬 크므로 $407$이 진짜 최솟값이다. 선택지 (A) $25$, (B) $34$, (C) $351$은 모두 $407$보다 작지만 어느 것도 합법적인 $a^b$에 대응하지 않는다: $b$가 $1$ 또는 $2$일 수밖에 없으므로 지수를 어떻게 나눠도 그런 합을 주는 밑과 지수는 나오지 않는다. 그래서 $407$이 유지된다.
대안 접근: 공약수 대신 완전거듭제곱으로 따져 본다. $3^8 \cdot 5^2$은 두 지수가 모두 짝수이므로 완전제곱수이다. 그 제곱근은 $\sqrt{3^8 \cdot 5^2} = 3^4 \cdot 5 = 405$이며, $405^2$을 주어 $a + b = 407$이 된다. 이 수는 완전세제곱수도, 네제곱수도, 그 이상의 어떤 거듭제곱도 아니다. $5$의 지수가 $2$뿐이라 $b > 2$인 어떤 정수도 $2$를 나누지 못하기 때문이다. 그래서 제곱이 가능한 가장 강한 압축이고, $407$이 가장 작은 합이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 ($3^8 \cdot 5^2 = a^b$을 각 소수의 지수를 $b$개의 똑같은 묶음으로 나누는 것으로 읽고, $3^4 \cdot 5 = 405$과 그로 나온 합을 계산하기.)6.NS.B.4두 자연수의 최대공약수 구하기 ($\gcd(8, 2) = 2$를 이용해 지수 $b$가 $1$ 또는 $2$일 수밖에 없음을 밝히기.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용해 동치인 수식 만들기 ($(3^4 \cdot 5)^2 = 3^8 \cdot 5^2$을 확인해 $405^2$이 정말 원래 수와 같음을 보이기.)
⭐ 수를 $a + b$가 가장 작은 $a^b$로 압축하려면 모든 소수의 지수를 나누는 가장 큰 지수를 써라 — 큰 지수는 더해지는 것보다 밑을 훨씬 더 많이 줄인다.
⭐ 수를 $a + b$가 가장 작은 $a^b$로 압축하려면 모든 소수의 지수를 나누는 가장 큰 지수를 써라 — 큰 지수는 더해지는 것보다 밑을 훨씬 더 많이 줄인다.
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