AMC 10 · 2003 · #16
학년 6 counting한 식당에서 디저트 세 가지를 제공하고, 애피타이저는 메인 요리보다 정확히 두 배 많이 제공한다. 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 메인 요리 하나, 디저트 하나로 이루어진다. 손님이 2003년 내내 매일 밤 서로 다른 저녁을 먹을 수 있으려면, 식당이 제공해야 하는 메인 요리의 최소 개수는 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 식당에 디저트가 $3$가지 있고, 애피타이저는 메인 요리의 두 배만큼 있다. 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 메인 요리 하나, 디저트 하나로 구성된다. $2003$년의 매일 서로 다른 저녁을 낼 수 있도록 하는 메인 요리의 최소 개수를 구하라.
주어진 것: 디저트는 정확히 $3$가지이다.; 애피타이저의 수는 메인 요리 수의 두 배이다.; 한 끼 저녁은 애피타이저 하나 그리고 메인 요리 하나 그리고 디저트 하나를 각각 독립적으로 고른 것이다.; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$
구하는 것: 식당이 제공해야 하는 메인 요리의 최소 개수
이해
문제 재정리: 한 식당에 디저트가 $3$가지 있고, 애피타이저는 메인 요리의 두 배만큼 있다. 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 메인 요리 하나, 디저트 하나로 구성된다. $2003$년의 매일 서로 다른 저녁을 낼 수 있도록 하는 메인 요리의 최소 개수를 구하라.
주어진 것: 디저트는 정확히 $3$가지이다.; 애피타이저의 수는 메인 요리 수의 두 배이다.; 한 끼 저녁은 애피타이저 하나 그리고 메인 요리 하나 그리고 디저트 하나를 각각 독립적으로 고른 것이다.; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
세 가지 메뉴의 개수가 서로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 가장 빠른 진입로이다: 메인 요리의 수를 $m$ 이라 하면 애피타이저는 $2m$, 디저트는 그대로 $3$ 이다. 한 끼 저녁은 각 목록에서 하나씩 독립적으로 고르므로, 서로 다른 저녁의 수는 곱 $2m \cdot m \cdot 3 = 6m^2$ 이다. 문제는 이제 $6m^2 \ge 365$ 를 만족하는 가장 작은 자연수 $m$ 을 찾는 것이 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 이를 깔끔하게 마무리한다 — 답은 작은 자연수들이므로 $m = 7$ 과 $m = 8$ 을 $365$ 에 대해 확인하면 결판이 나고, 도구 #3(가능성 지우기)은 저녁의 수가 $m$ 이 커질수록 함께 커진다는 사실을 이용해 처음으로 조건을 만족하는 값보다 작은 것들을 모두 지운다.
실행 — 정답: E
6.EE.B.6 단계 1 메인 요리를 m 으로 이름 붙이기
- 메인 요리의 수를 $m$ 이라 하자.
- 문제에서 애피타이저는 메인 요리의 두 배라고 했으므로, 애피타이저의 수는 $2m$ 이다.
- 디저트의 수는 $3$ 으로 고정되어 있다.
- 이제 모든 메뉴의 개수가 하나의 미지수 $m$ 으로 표현된다.
💡 모르는 하나에 이름을 붙이면, 메뉴의 나머지는 모두 그것을 기준으로 잰다.
3.OA.A.1 단계 2 저녁의 수를 곱으로 세기
- 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 그다음 메인 요리 하나, 그다음 디저트 하나를 각각 따로 고른 것이다.
- 선택을 차례로 독립적으로 할 때, 각 단계의 선택지 수를 곱한다.
- 그래서 서로 다른 저녁의 수는 $2m$(애피타이저) 곱하기 $m$(메인 요리) 곱하기 $3$(디저트)이다.
- 곱하면 $m \cdot m = m^2$ 이므로 $2m \cdot m \cdot 3 = 6m^2$ 이다.
💡 모든 애피타이저를 모든 메인 요리, 모든 디저트와 짝지으면 세 목록의 길이가 서로 곱해진다.
6.EE.B.8 단계 3 날짜 수로 식 세우기
- 손님은 $2003$년의 매일 밤 서로 다른 저녁을 원한다.
- $2003$년은 윤년이 아니므로($2003$은 $4$로 나누어떨어지지 않는다) $365$일이다.
- 따라서 저녁의 수는 최소 $365$가지여야 한다.
- 저녁의 수를 날짜 수와 견주면 조건 $6m^2 \ge 365$ 를 얻는다.
💡 한 해 전체를 채울 만큼 저녁이 충분하다는 것은, 저녁의 수가 날짜 수 $365$ 에 도달해야 한다는 뜻이다.
6.EE.B.5 단계 4 후보들을 확인하기
- 저녁의 수 $6m^2$ 은 $m$ 이 커질수록 커지기만 하므로, $365$ 에 처음 도달하는 자연수 $m$ 을 찾는다.
- $m = 7$ 을 넣으면 $6 \cdot 7^2 = 6 \cdot 49 = 294$ 로 $365$ 보다 작다 — 부족하다.
- $m = 8$ 을 넣으면 $6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384$ 로 $365$ 이상이다 — 충분하다.
- 따라서 메인 요리 $7$개는 모자라고 $8$이 조건을 만족하는 가장 작은 수이다.
- 답은 (E) $8$ 이다.
💡 $m$ 을 한 칸씩 올려 가며, 저녁의 수가 $365$ 를 처음 넘는 값이 답이다.
6.EE.B.6 메인 요리의 수를 $m$ 이라 하자. 문제에서 애피타이저는 메인 요리의 두 배라고 했으므로, 애피타이저의 수는 $2m$ 이다. 디저트의 수는 $ 3.OA.A.1 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 그다음 메인 요리 하나, 그다음 디저트 하나를 각각 따로 고른 것이다. 선택을 차례로 독립적으로 할 때, 각 단 6.EE.B.8 손님은 $2003$년의 매일 밤 서로 다른 저녁을 원한다. $2003$년은 윤년이 아니므로($2003$은 $4$로 나누어떨어지지 않는다) $36 6.EE.B.5 저녁의 수 $6m^2$ 은 $m$ 이 커질수록 커지기만 하므로, $365$ 에 처음 도달하는 자연수 $m$ 을 찾는다. $m = 7$ 을 넣으면 검토
합리성 확인: 경계를 직접 확인하자: $m = 8$ 일 때 애피타이저 $16$개, 메인 요리 $8$개, 디저트 $3$개이므로 $16 \cdot 8 \cdot 3 = 384$ 가지 저녁 — 필요한 $365$일을 넉넉히 넘어 $19$가지 여유가 있다. $m = 7$ 일 때는 $14 \cdot 7 \cdot 3 = 294$ 가지뿐으로 $365$ 에 $71$ 가지 모자란다. 그러므로 $8$이 정확히 전환점이며 (E)와 일치한다. $6m^2$ 은 $m$ 이 오를수록 큰 폭으로 뛰므로 $7$ 과 $8$ 사이에 시도할 값은 없다.
대안 접근: 확인 대신 부등식을 풀어도 된다: $6m^2 \ge 365$ 에서 $m^2 \ge 60.8\ldots$ 이므로 $m \ge \sqrt{60.8\ldots} \approx 7.8$ 이다. $7.8$ 이상인 가장 작은 자연수는 $8$ 로, 다시 (E)에 도달한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 풀기 ($m$ 을 메인 요리 수로 놓고 애피타이저를 $2m$ 으로 나타내기.)3.OA.A.1자연수의 곱을 묶음 속 물건의 총 개수로 해석하기 (세 메뉴의 개수를 곱해 저녁의 수를 $2m \cdot m \cdot 3 = 6m^2$ 으로 세기.)6.EE.B.8조건을 나타내는 x > c 또는 x < c 꼴의 부등식 세우기 ("$2003$년 매일 서로 다른 저녁"을 윤년이 아닌 $365$일을 이용해 $6m^2 \ge 365$ 로 바꾸기.)6.EE.B.5부등식을 푸는 것을 참이 되게 하는 값을 찾는 과정으로 이해하기 ($m = 7$ 과 $m = 8$ 을 확인해 $6m^2 \ge 365$ 를 만족하는 가장 작은 자연수 찾기.)
⭐ 모르는 것에 이름을 붙이고, 메뉴 개수를 곱해 저녁 수를 센 다음, $365$일 전부에 충분해질 때까지 수를 한 칸씩 올려라.
⭐ 모르는 것에 이름을 붙이고, 메뉴 개수를 곱해 저녁 수를 센 다음, $365$일 전부에 충분해질 때까지 수를 한 칸씩 올려라.
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