AMC 10 · 2003 · #16

학년 6 counting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
fundamental-counting-principlelinear-equations-one-var bound-inequality-then-enumerateguess-and-check ↑ 선수 지식: fundamental-counting-principle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 식당은 디저트 세 가지를 제공하고, 애피타이저는 메인 요리의 정확히 두 배만큼 제공한다. 한 끼 저녁은 애피타이저 하나, 메인 요리 하나, 디저트 하나로 이루어진다. 손님이 2003년 내내 매일 밤 서로 다른 저녁을 먹을 수 있으려면, 식당이 제공해야 하는 메인 요리의 최소 개수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

세 가지 메뉴의 개수가 서로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 가장 빠른 진입로이다: 메인 요리의 수를 m 이라 하면 애피타이저는 2m, 디저트는 그대로 3이다. 한 끼 저녁은 각 목록에서 하나씩 독립적으로 고르므로, 서로 다른 저녁의 수는 곱 2m · m · 3 = 6m²이다. 문제는 이제 6m² ≥ 365를 만족하는 가장 작은 자연수 m 을 찾는 것이 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 이를 깔끔하게 마무리한다 — 답은 작은 자연수들이므로 m = 7과 m = 8을 365에 대해 확인하면 결판이 나고, 도구 #3(가능성 지우기)은 저녁의 수가 m 이 커질수록 함께 커진다는 사실을 이용해 처음으로 조건을 만족하는 값보다 작은 것들을 모두 지운다.

1STEP 1

메인 요리를 m 으로 이름 붙이기

메인 요리의 수를 m이라 하자. 그러면 애피타이저는 2m개이고, 디저트는 3가지로 고정이다.

메인 요리 = m, 애피타이저 = 2m, 디저트 = 3
2STEP 2

저녁의 수를 곱으로 세기

독립적인 선택은 곱해지므로, 저녁의 수는 2m · m · 3 = 6m²이다.

저녁의 수 = (2m)(m)(3) = 6m²
3STEP 3

날짜 수로 식 세우기

2003은 4로 나누어떨어지지 않아 365일이므로, 저녁의 수가 6m² ≥ 365를 만족해야 한다.

6m² ≥ 365
4STEP 4

후보들을 확인하기

6m²은 커지기만 하니 올려 보자. m = 7이면 294로 부족하고, m = 8이면 384로 충분하다. 답은 (E).

6 · 7² = 294 ＜ 365, 6 · 8² = 384 ≥ 365 → (E)
정답
8
경계를 직접 확인하자: m = 8 일 때 애피타이저 16개, 메인 요리 8개, 디저트 3개이므로 16 · 8 · 3 = 384 가지 저녁 — 필요한 365일을 넉넉히 넘어 19가지 여유가 있다. m = 7 일 때는 14 · 7 · 3 = 294 가지뿐으로 365에 71 가지 모자란다. 그러므로 8이 정확히 전환점이며 (E)와 일치한다. 6m²은 m 이 오를수록 큰 폭으로 뛰므로 7과 8 사이에 시도할 값은 없다.
💡핵심 정리

모르는 것에 이름을 붙이고, 메뉴 개수를 곱해 저녁 수를 센 다음, 365일 전부에 충분해질 때까지 수를 한 칸씩 올려라.

  • 메인 요리를 m 으로 이름 붙이기
  • 저녁의 수를 곱으로 세기
  • 날짜 수로 식 세우기
  • 후보들을 확인하기

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