AMC 10 · 2003 · #18
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
선택지가 정해진 짧은 목록이므로, 항상 나누는 것 중 가장 큰 것을 남기고 나머지를 지우는 것이 목표입니다 (도구 #3). 먼저 식을 다시 정리합니다. n이 짝수이므로 다섯 인수는 다섯 개의 연속한 홀수입니다 (도구 #15). 그러면 문제 전체가 연속한 홀수에 관한 사실로 바뀝니다. 다음으로 배수가 반복되는 구조를 봅니다 (도구 #5). 다섯 개의 연속한 홀수 중에는 항상 5의 배수가 정확히 하나, 3의 배수가 적어도 하나 있습니다. 그래서 3과 5, 따라서 15가 모든 곱을 나눕니다. 더 큰 선택지 11과 165는 둘 다 11이라는 인수가 필요하므로, 잘 고른 짝수 하나를 시험합니다 (도구 #6). 어떤 곱에 11의 배수가 하나도 없으면 둘 다 제외됩니다. 살아남은 것 중 가장 큰 것이 정답입니다.
다섯 개의 연속한 홀수 보기
n이 짝수라 다섯 인수는 모두 홀수이고 2씩 커지니, 연속한 다섯 홀수입니다. n=2이면 3,5,7,9,11.
짝수 더하기 홀수는 홀수이므로, 다섯 인수는 그냥 나란히 이어진 다섯 홀수입니다.
2.OA.C.3Organize Information In More Ways항상 하나는 5의 배수
2씩 더하면 5로 나눈 나머지가 0,1,2,3,4를 모두 지나므로, 정확히 한 인수가 5의 배수입니다.
2씩 떨어진 다섯 홀수는 5로 나눈 다섯 나머지를 모두 채우므로, 하나는 반드시 5의 배수에 놓입니다.
2씩 떨어진 홀수 다섯 개는 다섯 가지 나머지를 모두 지나므로, 하나는 5의 배수여야 한다.
▸ 왜?
5로 나눈 나머지만이 어떤 수가 어느 무리에 드는지를 정한다.
▸ 왜?
다섯 수가 겹침 없이 다섯 무리에 들어가면 모든 무리가 쓰이며, 0도 그 가운데 하나다.
항상 하나는 3의 배수
이어진 세 홀수는 3의 나머지를 다 덮으니 3의 배수도 있고, 3과 5는 서로소라 15가 항상 나눕니다.
이어진 세 홀수는 이미 3으로 나눈 모든 나머지를 덮으므로, 3의 배수는 항상 목록 안에 있습니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern예 하나로 11 시험하기
더 큰 11과 165는 인수 11이 필요한데, n=12이면 13,15,17,19,21이라 11의 배수가 없습니다.
11의 배수가 없는 예 하나가 11이 항상 나누는 약수일 수 없음을 증명합니다.
3.OA.C.7Guess And Check항상 나누는 가장 큰 약수 남기기
3과 5는 더 작고 11과 165는 실패하니, 항상 나누는 가장 큰 약수는 15, 곧 (D)입니다.
정답은 모든 곱이 공유하는 가장 큰 수이고, 그 공통 부분은 3×5=15입니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities나란히 이어진 다섯 홀수는 항상 3의 배수와 5의 배수를 숨기고 있어서 15는 항상 나눕니다 — 하지만 11은 빠질 수 있으니 그보다 큰 것은 보장되지 않습니다.
- 다섯 개의 연속한 홀수 보기
- 항상 하나는 5의 배수
- 항상 하나는 3의 배수
- 예 하나로 11 시험하기
- 항상 나누는 가장 큰 약수 남기기