AMC 10 · 2003 · #18

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesmodular-arithmeticmultiples caseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

모든 양의 짝수 $n$ 에 대하여

$(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$

를 나누는 가장 큰 정수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

165

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 인수 $n+1,\,n+3,\,n+5,\,n+7,\,n+9$를 곱하면 하나의 수가 됩니다. $n$이 양의 짝수 $2,4,6,\dots$을 차례로 지나갈 때 이 곱은 계속 바뀝니다. 어떤 양의 짝수 $n$을 골라도 항상 이 곱을 나누는 가장 큰 정수를 찾으세요.

주어진 것: 곱은 $(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$입니다.; $n$은 임의의 양의 짝수입니다 ($2, 4, 6, \dots$).; 나누는 수는 일부가 아니라 모든 그런 $n$에 대해 성립해야 합니다.; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $11$, (D) $15$, (E) $165$.

구하는 것: 모든 양의 짝수 $n$에 대해 $(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$을 나누는 가장 큰 정수.

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기, #15 다르게 정리하기

선택지가 정해진 짧은 목록이므로, 항상 나누는 것 중 가장 큰 것을 남기고 나머지를 지우는 것이 목표입니다 (도구 #3). 먼저 식을 다시 정리합니다. $n$이 짝수이므로 다섯 인수는 다섯 개의 연속한 홀수입니다 (도구 #15). 그러면 문제 전체가 연속한 홀수에 관한 사실로 바뀝니다. 다음으로 배수가 반복되는 구조를 봅니다 (도구 #5). 다섯 개의 연속한 홀수 중에는 항상 $5$의 배수가 정확히 하나, $3$의 배수가 적어도 하나 있습니다. 그래서 $3$과 $5$, 따라서 $15$가 모든 곱을 나눕니다. 더 큰 선택지 $11$과 $165$는 둘 다 $11$이라는 인수가 필요하므로, 잘 고른 짝수 하나를 시험합니다 (도구 #6). 어떤 곱에 $11$의 배수가 하나도 없으면 둘 다 제외됩니다. 살아남은 것 중 가장 큰 것이 정답입니다.

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 2.OA.C.3 단계 1

다섯 개의 연속한 홀수 보기

$n$이 짝수이므로 홀수를 더하면 여전히 홀수입니다.
따라서 $n+1, n+3, n+5, n+7, n+9$는 모두 홀수입니다.
매번 $2$씩 커지므로 다섯 개의 연속한 홀수입니다.
예를 들어 $n=2$이면 $3,5,7,9,11$, $n=8$이면 $9,11,13,15,17$입니다.
그래서 진짜 물음은 이것입니다.
다섯 개의 연속한 홀수의 곱을 항상 나누는 것은 무엇인가?

$$n=2:\;3,5,7,9,11\qquad n=8:\;9,11,13,15,17$$

💡 짝수 더하기 홀수는 홀수이므로, 다섯 인수는 그냥 나란히 이어진 다섯 홀수입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

항상 하나는 5의 배수

다섯 개의 연속한 홀수를 $5$로 나눈 나머지를 봅니다.
매번 $2$씩 더해지므로 나머지는 어떤 순서로든 $0, 2, 4, 1, 3$을 지나갑니다 — 다섯 개의 나머지가 모두 다릅니다.
그중 하나는 항상 $0$이므로, 다섯 수 중 정확히 하나가 $5$의 배수입니다.
확인: $3,5,7,9,11$에는 $5$, $7,9,11,13,15$에는 $15$가 있습니다.
그래서 모든 짝수 $n$에 대해 $5$가 곱을 나눕니다.

$$5\text{로 나눈 나머지}:\;\{0,1,2,3,4\}\;\Rightarrow\;5\text{의 배수가 정확히 하나}$$

💡 $2$씩 떨어진 다섯 홀수는 $5$로 나눈 다섯 나머지를 모두 채우므로, 하나는 반드시 $5$의 배수에 놓입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 3

항상 하나는 3의 배수

$3$에 대해서도 똑같이 합니다.
세 개의 연속한 홀수를 $3$으로 나눈 나머지는 모두 다릅니다 (매번 $2\equiv-1$을 더해 어떤 순서로든 $0,2,1$이 됩니다).
그래서 적어도 하나는 $3$의 배수이고, 다섯 개가 이어지면 당연히 여전히 하나를 포함합니다.
확인: $5,7,9,11,13$에는 $9$, $11,13,15,17,19$에는 $15$가 있습니다.
그래서 $3$도 모든 곱을 나눕니다.
$3$과 $5$는 공통인수가 없으므로, 그 곱 $15$가 모든 짝수 $n$에 대해 곱을 나눕니다.

$$3\mid\text{곱}\;\text{그리고}\;5\mid\text{곱}\;\Rightarrow\;15\mid\text{곱}$$

💡 이어진 세 홀수는 이미 $3$으로 나눈 모든 나머지를 덮으므로, $3$의 배수는 항상 목록 안에 있습니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 4

예 하나로 11 시험하기

이제 더 큰 선택지 $11$과 $165 = 3\cdot5\cdot11$은 둘 다 $11$이라는 인수가 필요합니다.
항상 나누는 약수는 모든 짝수 $n$에 대해 성립해야 하므로, 나쁜 예 하나면 제외하기에 충분합니다.
$n=12$를 잡으면 인수는 $13, 15, 17, 19, 21$입니다.
각각을 $11$로 나누면 나머지가 남습니다 — 어느 것도 $11$의 배수가 아닙니다 (가장 가까운 배수는 $11$과 $22$).
그래서 $11$은 모든 짝수 $n$에 대해 곱을 나누지 못하고, $165$도 마찬가지입니다.

$$n=12:\;13,15,17,19,21\;\text{— 어느 것도 }11\text{로 나누어지지 않음}$$

💡 $11$의 배수가 없는 예 하나가 $11$이 항상 나누는 약수일 수 없음을 증명합니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 5

항상 나누는 가장 큰 약수 남기기

선택지를 비교합니다.
$3$ (A)과 $5$ (B)는 항상 나누지만 $15$보다 작습니다.
$11$ (C)과 $165$ (E)는 둘 다 $11$이라는 인수가 필요한데, $n=12$ 예가 이를 무너뜨렸습니다.
남는 것은 $15$ (D)입니다.
$15$는 ($3$과 $5$가 함께) 항상 나누고, 살아남은 선택지 중 가장 큽니다.
그래서 모든 양의 짝수 $n$에 대해 곱을 나누는 가장 큰 정수는 $15$, 즉 (D)입니다.

$$A,B<15;\;\;C,E\text{는 }11\text{ 필요 (실패)}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}\;15$$

💡 정답은 모든 곱이 공유하는 가장 큰 수이고, 그 공통 부분은 $3\times5=15$입니다.

[1] #15 2.OA.C.3 $n$이 짝수이므로 홀수를 더하면 여전히 홀수입니다. 따라서 $n+1, n+3, n+5, n+7, n+9$는 모두 홀수입니다. 매번 $2$씩 커

[2] #5 4.OA.B.4 다섯 개의 연속한 홀수를 $5$로 나눈 나머지를 봅니다. 매번 $2$씩 더해지므로 나머지는 어떤 순서로든 $0, 2, 4, 1, 3$을 지나갑니

[3] #5 4.OA.B.4 $3$에 대해서도 똑같이 합니다. 세 개의 연속한 홀수를 $3$으로 나눈 나머지는 모두 다릅니다 (매번 $2\equiv-1$을 더해 어떤 순서로

[4] #6 3.OA.C.7 이제 더 큰 선택지 $11$과 $165 = 3\cdot5\cdot11$은 둘 다 $11$이라는 인수가 필요합니다. 항상 나누는 약수는 모든 짝수

[5] #3 6.NS.B.4 선택지를 비교합니다. $3$ (A)과 $5$ (B)는 항상 나누지만 $15$보다 작습니다. $11$ (C)과 $165$ (E)는 둘 다 $11$

검토

합리성 확인: $15 = 3\cdot5$이고, 다섯 홀수 인수 중에 항상 $3$의 배수와 $5$의 배수가 있음을 보였으므로 $15$는 모든 곱을 진짜로 나눕니다 — 우연히 맞은 것이 아닙니다. 또한 가능한 것 중 가장 큽니다. $11$과 $165$는 $n=12$ (인수 $13,15,17,19,21$, $11$의 배수 없음)에서 죽고, $3$과 $5$는 $15$보다 작습니다. $15$보다 큰 것도 강제되지 않습니다. $n=10$은 $11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19$을 주는데, 여기서 유일한 $3$의 인수와 유일한 $5$의 인수가 모두 하나뿐인 $15$에서 나오므로 두 번째 $3$이나 $5$는 보장되지 않습니다. 그래서 정답은 정확히 $15$로 고정됩니다.

대안 접근: 두 개의 시험값으로만 지워서 풉니다. 정답은 첫 번째 경우 $n=2$, 즉 $3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11$을 나눠야 합니다. 모든 선택지 $3,5,11,15,165$가 이를 나누므로 이것만으로는 구분되지 않습니다. 하지만 정답은 $n=12$, 즉 $13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21$도 나눠야 합니다. 여기서 $11$ (따라서 $165$)은 실패하고, $3,5,15$는 모두 여전히 나눕니다. 가장 큰 생존자는 $15$로, 직접 증명과 일치합니다. 이는 도구 #6 (특정 경우 시험하기)이 도구 #3 (지우기)에 연결되는 방식입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.C.3 물건의 개수가 홀수인지 짝수인지 판단하기 (짝수 $n$이 다섯 인수를 모두 홀수로 만들어 다섯 개의 연속한 홀수가 됨을 알아채기.)
4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 알아보기; 소수인지 합성수인지 판단하기 (다섯 개의 연속한 홀수가 항상 $5$의 배수와 $3$의 배수를 포함하여 $15$가 항상 나눔을 보이기.)
3.OA.C.7 $100$ 이내에서 능숙하게 곱하고 나누기 ($13,15,17,19,21$을 $11$로 나누어 어느 것도 $11$의 배수가 아님을 확인하기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 찾기 (문제를 모든 곱이 공유하는 최대공약수로 읽고 그것이 $3\times5=15$임을 알아내기.)

⭐ 나란히 이어진 다섯 홀수는 항상 $3$의 배수와 $5$의 배수를 숨기고 있어서 $15$는 항상 나눕니다 — 하지만 $11$은 빠질 수 있으니 그보다 큰 것은 보장되지 않습니다.