AMC 10 · 2003 · #4

학년 5 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-rectanglesoptimizationdecimal-arithmetic optimization-counting ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 화단이 7×3, 4×5, 5×3, 6×1, 2×2 피트 크기의 다섯 직사각형 구역으로 나뉜다. 각 구역에는 한 종류의 꽃만 1제곱피트당 한 송이씩 심는다. 다섯 종류의 가격은 한 송이에 각각 1, 1.50, 2, 2.50, 3달러이고, 각 종류는 정확히 한 구역에만 쓴다. 가능한 가장 적은 총비용(달러)은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

108

(B)

115

(C)

132

(D)

144

(E)

156

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

총비용은 다섯 개의 곱(가격 × 넓이)을 더한 값이다. 이 합을 가장 작게 만들려면 어떤 가격을 어떤 넓이에 붙일지 정해야 하므로, 이것은 최소/최대 짝짓기 문제, 즉 도구 #14(극단의 원리)이다. 그 규칙은 간단하다. 가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에, 가장 비싼 꽃을 가장 작은 구역에 놓는다. 짝짓기 전에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 화단을 다섯 개의 직사각형으로 나누어 각 넓이를 따로 구하고, 도구 #8(단위 살펴보기)로 계산을 정확히 유지한다 — 제곱피트는 꽃 송이 수가 되고, 송이 수에 송이당 달러를 곱하면 달러가 된다.

1STEP 1

다섯 구역의 넓이 구하기

넓이는 가로×세로이므로 7×3, 4×5, 5×3, 6×1, 2×2는 각각 21, 20, 15, 6, 4 제곱피트이다.

21, 20, 15, 6, 4 제곱피트

2STEP 2

가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에

가격 1, 1.50, 2, 2.50, 3과 넓이 21, 20, 15, 6, 4를 반대 순서로 짝지어 가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에 둔다.

1⇔21, 1.50⇔20, 2⇔15, 2.50⇔6, 3⇔4

3STEP 3

각 구역의 비용

짝마다 곱하면 1×21=21, 1.50×20=30, 2×15=30, 2.50×6=15, 3×4=12이다. 소수에 주의하라.

21, 30, 30, 15, 12 달러

4STEP 4

가장 적은 총합 더하기

더하면 21+30+30+15+12=108. 다른 짝짓기는 합을 키우므로 108이 최솟값, 곧 (A)이다.

21+30+30+15+12=108 → (A)

정답

108

화단 전체에는 21+20+15+6+4=66송이가 심긴다. 모든 송이가 가장 싼 1이면 비용은 66, 모든 송이가 가장 비싼 3이면 198이다. 참값은 그 사이에 있어야 하고 108이 실제로 그 사이에 있다. 또한 평균 가격 추정치보다 작아야 한다. 평균 가격은 2이므로 2×66=132인데, 똑똑한 짝짓기는 이 평균보다 낮아야 한다 — 108이 그러하다. 반면 함정 선택지 (C) 132는 아무것도 하지 않은 평균 그대로이고 (D) 144, (E) 156은 평균보다도 나쁘다.

💡핵심 정리

가장 적게 쓰려면 가장 싼 꽃을 가장 넓은 구역에, 가장 비싼 꽃을 가장 좁은 구역에 심어라.

다섯 구역의 넓이 구하기
가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에
각 구역의 비용
가장 적은 총합 더하기

다섯 구역의 넓이 구하기

가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에

각 구역의 비용

가장 적은 총합 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기