AMC 10 · 2003 · #4

학년 5 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-rectanglesoptimizationdecimal-arithmetic optimization-counting ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Rose는 자신의 직사각형 화단을 이루는 각각의 직사각형 구역에 서로 다른 종류의 꽃을 심는다. 화단 속 직사각형 구역들의 변의 길이(피트)는 그림에 표시된 것과 같다. 각 구역에는 1제곱피트당 꽃 한 송이씩을 심는다. 아스터(Aster)는 한 송이에 $1, 베고니아(begonia)는 $1.50, 칸나(canna)는 $2, 달리아(dahlia)는 $2.50, 부활절 백합(Easter lily)은 $3이다. 그녀의 정원에 드는 가장 적은 비용(달러)은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

108

(B)

115

(C)

132

(D)

144

(E)

156

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 화단이 다섯 개의 직사각형 구역으로 나뉘고, 각 구역의 변의 길이가 그림에 주어져 있다. 각 구역에는 한 종류의 꽃을 1제곱피트당 한 송이씩 심는다. 다섯 종류의 꽃은 한 송이에 각각 \$1, \$1.50, \$2, \$2.50, \$3이다. 각 종류를 정확히 한 구역에만 쓸 때, 가장 적은 총비용(달러)을 구하여라.

주어진 것: 화단은 다섯 개의 직사각형 구역으로 나뉜다.; 각 구역의 변의 길이(피트)는 $6\times1$, $4\times5$, $7\times3$, $5\times3$, $2\times2$이다.; 1제곱피트당 꽃 한 송이를 심어 각 구역을 채운다.; 송이당 가격: 아스터 \$1, 베고니아 \$1.50, 칸나 \$2, 달리아 \$2.50, 부활절 백합 \$3.; 다섯 종류의 꽃은 각각 정확히 한 구역에 심는다.; 선택지: (A) $108$, (B) $115$, (C) $132$, (D) $144$, (E) $156$.

구하는 것: 다섯 구역을 모두 채우는 데 드는 가장 적은 총비용(달러).

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

총비용은 다섯 개의 곱(가격 $\times$ 넓이)을 더한 값이다. 이 합을 가장 작게 만들려면 어떤 가격을 어떤 넓이에 붙일지 정해야 하므로, 이것은 최소/최대 짝짓기 문제, 즉 도구 #14(극단의 원리)이다. 그 규칙은 간단하다. 가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에, 가장 비싼 꽃을 가장 작은 구역에 놓는다. 짝짓기 전에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 화단을 다섯 개의 직사각형으로 나누어 각 넓이를 따로 구하고, 도구 #8(단위 살펴보기)로 계산을 정확히 유지한다 — 제곱피트는 꽃 송이 수가 되고, 송이 수에 송이당 달러를 곱하면 달러가 된다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 1

다섯 구역의 넓이 구하기

각 구역은 직사각형이므로 넓이(그리고 꽃 송이 수)는 가로 곱하기 세로이다.
그림에서 다섯 직사각형의 크기는 $7\times3$, $4\times5$, $5\times3$, $6\times1$, $2\times2$이다.
각각 곱하면 $7\times3=21$, $4\times5=20$, $5\times3=15$, $6\times1=6$, $2\times2=4$.

$21,\;20,\;15,\;6,\;4$ 제곱피트

💡 직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 것일 뿐이다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.2 단계 2

가장 싼 꽃을 가장 큰 구역에

다섯 가격을 작은 것부터 나열하면 \$1, \$1.50, \$2, \$2.50, \$3이다. 다섯 넓이를 큰 것부터 나열하면 $21$, $20$, $15$, $6$, $4$이다.
한 구역 안의 모든 꽃은 같은 가격이므로, 더 큰 구역은 그 가격을 더 여러 번 곱한다.
총합을 작게 하려면 가장 싼 가격이 가장 큰 넓이에, 가장 비싼 가격이 가장 작은 넓이에 오도록 두 목록을 반대 순서로 짝지으면 된다.

$\$1\leftrightarrow21,\;\$1.50\leftrightarrow20,\;\$2\leftrightarrow15,\;\$2.50\leftrightarrow6,\;\$3\leftrightarrow4$

💡 비싼 가격은 꽃이 가장 많은 곳에서 가장 크게 손해이므로, 비싼 가격은 작은 구역에 두어라.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 3

각 구역의 비용

짝지은 가격에 넓이를 각각 곱한다.
$\$1\times21=\$21$; $\$1.50\times20=\$30$; $\$2\times15=\$30$; $\$2.50\times6=\$15$; $\$3\times4=\$12$.
소수에 주의하라.
$1.50\times20$은 $3$이 아니라 $30$이고, $2.50\times6$은 $15$이다.

$21,\;30,\;30,\;15,\;12$ 달러

💡 각 구역의 비용은 그 구역이 덮는 제곱피트마다 한 가격을 한 번씩 복사한 것이다.

#14 극단의 원리 5.NBT.B.7 단계 4

가장 적은 총합 더하기

다섯 구역의 비용을 더한다.
$21+30+30+15+12=108$.
다른 어떤 짝짓기도 어딘가에서 더 비싼 가격을 더 큰 넓이에 붙이므로 합을 키울 수밖에 없다.
따라서 $108$이 가능한 최솟값이다.
이것은 선택지 (A)이다.

$$21+30+30+15+12=108\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 가장 똑똑한 짝짓기를 더하면 화단이 가질 수 있는 가장 낮은 비용이 나온다.

[1] #7 4.MD.A.3 각 구역은 직사각형이므로 넓이(그리고 꽃 송이 수)는 가로 곱하기 세로이다. 그림에서 다섯 직사각형의 크기는 $7\times3$, $4\time

[2] #14 4.OA.A.2 다섯 가격을 작은 것부터 나열하면 \$1, \$1.50, \$2, \$2.50, \$3이다. 다섯 넓이를 큰 것부터 나열하면 $21$, $20$

[3] #8 5.NBT.B.7 짝지은 가격에 넓이를 각각 곱한다. $\$1\times21=\$21$; $\$1.50\times20=\$30$; $\$2\times15=\$30

[4] #14 5.NBT.B.7 다섯 구역의 비용을 더한다. $21+30+30+15+12=108$. 다른 어떤 짝짓기도 어딘가에서 더 비싼 가격을 더 큰 넓이에 붙이므로 합을

검토

합리성 확인: 화단 전체에는 $21+20+15+6+4=66$송이가 심긴다. 모든 송이가 가장 싼 \$1이면 비용은 \$66, 모든 송이가 가장 비싼 \$3이면 \$198이다. 참값은 그 사이에 있어야 하고 \$108이 실제로 그 사이에 있다. 또한 평균 가격 추정치보다 작아야 한다. 평균 가격은 \$2이므로 $2\times66=\$132$인데, 똑똑한 짝짓기는 이 평균보다 낮아야 한다 — \$108이 그러하다. 반면 함정 선택지 (C) $132$는 아무것도 하지 않은 평균 그대로이고 (D) $144$, (E) $156$은 평균보다도 나쁘다.

대안 접근: 평균 비용 총합 $\$2\times66=\$132$에서 출발해 똑똑한 짝짓기로 아끼는 금액을 따진다. 싼 꽃을 큰 구역에 두면 돈을 아끼고, 비싼 꽃을 작은 구역에 두어도 아낀다. 모든 구역에 \$2를 매기는 것과 비교하면 할인과 추가가 합쳐서 $-\$24$가 된다 (예: $21$에 \$1 꽃은 $\$1\times21=\$21$ 절약, $4$에 \$3 꽃은 $\$1\times4=\$4$ 추가, 이런 식으로). 그 결과 $132-24=108$로 돌아온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (각 구역의 넓이(꽃 송이 수)를 가로 곱하기 세로로 구함: $21,20,15,6,4$ 제곱피트.)
4.OA.A.2 Multiply or divide to solve word problems involving multiplicative comparison (고정된 가격을 더 큰 넓이에 곱하면 비용이 커지므로, 가장 싼 가격을 가장 큰 구역에 두어야 함을 추론.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths (소수 가격으로 각 구역 비용 계산($1.50\times20$, $2.50\times6$)하고 합해 $108$을 구함.)

⭐ 가장 적게 쓰려면 가장 싼 꽃을 가장 넓은 구역에, 가장 비싼 꽃을 가장 좁은 구역에 심어라.