AMC 10 · 2003 · #5

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Unit Conversion Chain

area-rectanglesunit-conversionrate dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: unit-conversionarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Moe는 잔디깎이로 가로 $90$ 피트, 세로 $150$ 피트인 직사각형 잔디밭을 깎는다. 한 번에 깎이는 폭은 $28$ 인치이지만, 빠뜨리는 곳이 없도록 이전에 깎은 자국을 $4$ 인치씩 겹쳐서 깎는다. 그는 잔디깎이를 밀며 시속 $5000$ 피트로 걷는다. 다음 중 Moe가 잔디밭을 다 깎는 데 걸리는 시간에 가장 가까운 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.75

(B)

0.8

(C)

1.35

(D)

1.5

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모(Moe)는 가로 $90$피트, 세로 $150$피트인 직사각형 잔디밭을 깎는다. 잔디깎이는 한 번에 $28$인치 폭을 깎지만, 빠뜨리지 않으려고 이전 자국을 $4$인치씩 겹쳐 깎는다. 그래서 한 번 지날 때 새로 깎이는 폭은 $28$인치보다 좁다. 모는 시속 $5000$피트로 걷는다. 잔디를 다 깎는 데 걸리는 시간에 가장 가까운 선택지를 구하라.

주어진 것: 잔디밭은 $90$피트 $\times$ $150$피트인 직사각형이다; 잔디깎이 폭은 $28$인치이다; 지날 때마다 이전 자국을 $4$인치씩 겹친다; 모는 시속 $5000$피트로 걷는다; 선택지: (A) $0.75$, (B) $0.8$, (C) $1.35$, (D) $1.5$, (E) $3$

구하는 것: 모가 잔디밭 전체를 깎는 데 걸리는 시간(시간 단위)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 인치, 피트, 제곱피트, 시속 피트로 이어지는 비율과 측정값의 사슬이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)이 중심축이다 — 모든 양을 피트로 맞추면 계산이 자연스럽게 들어맞고, 넓이를 속력으로 곧장 나누는 흔한 실수를 막아 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 실제 깎이는 폭, 잔디밭 넓이, 걸은 총 거리라는 세 조각으로 나눠 각각 한 단계로 쉽게 만든다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마무리를 지킨다 — 겹침을 잊거나 깎는 폭을 아예 빼먹으면 함정 선택지로 떨어지므로, 단위를 확인해 살아남는 답을 확정한다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 1

실제 깎이는 폭 구하기

한 번 지날 때 $28$인치를 깎지만 그중 $4$인치는 이전 자국을 다시 깎는 것이다.
그래서 한 번에 새로 깎이는 폭은 $28-4=24$인치다.
피트로 바꾸면 $12$인치가 $1$피트이므로 $24$인치는 $\frac{24}{12}=2$피트다.

$$28-4=24\text{ in}=\frac{24}{12}=2\text{ ft}$$

💡 겹친다는 것은 매번 일부가 낭비된다는 뜻이므로, 실제로 세는 폭은 깎는 폭에서 겹침을 뺀 값이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

잔디밭 넓이 구하기

잔디밭은 직사각형이므로 넓이는 가로 곱하기 세로다: $90\times150=13500$ 제곱피트.
이것이 깎아야 할 잔디의 전체 양이다.

$$90\times150=13500\text{ ft}^2$$

💡 잔디를 전부 덮어야 하고, 직사각형에서 그 총량은 두 변을 곱한 값일 뿐이다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.3 단계 3

넓이를 걸은 거리로 바꾸기

모가 깎은 부분을 전부 폭 $2$피트짜리 하나의 긴 띠라고 생각하자.
이 띠의 넓이가 $13500$ 제곱피트이므로, 길이 — 즉 그가 걷는 거리 — 는 넓이를 폭으로 나눈 값이다: $13500\div2=6750$피트.

$$\dfrac{13500\text{ ft}^2}{2\text{ ft}}=6750\text{ ft}$$

💡 넓이와 폭을 아는 띠의 길이는 넓이를 폭으로 나누면 나온다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

거리를 속력으로 나누기

모는 한 시간에 $5000$피트를 걸으므로, 걸리는 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이다: $6750\div5000=1.35$시간.
이것은 선택지 (C)와 정확히 같으므로 답은 (C)이다.

$$\dfrac{6750\text{ ft}}{5000\text{ ft/hr}}=1.35\text{ hr}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 일정한 속력으로 걸으면 시간은 간 거리를 속력으로 나눈 것일 뿐이다.

[1] #8 5.MD.A.1 한 번 지날 때 $28$인치를 깎지만 그중 $4$인치는 이전 자국을 다시 깎는 것이다. 그래서 한 번에 새로 깎이는 폭은 $28-4=24$인치다

[2] #7 4.MD.A.3 잔디밭은 직사각형이므로 넓이는 가로 곱하기 세로다: $90\times150=13500$ 제곱피트. 이것이 깎아야 할 잔디의 전체 양이다.

[3] #8 4.MD.A.3 모가 깎은 부분을 전부 폭 $2$피트짜리 하나의 긴 띠라고 생각하자. 이 띠의 넓이가 $13500$ 제곱피트이므로, 길이 — 즉 그가 걷는 거리

[4] #8 6.RP.A.3 모는 한 시간에 $5000$피트를 걸으므로, 걸리는 시간은 거리를 속력으로 나눈 값이다: $6750\div5000=1.35$시간. 이것은 선택지

검토

합리성 확인: $5000$피트를 걸으면 정확히 한 시간이고 $6750$피트는 그보다 조금 많지만 $7500$피트($1.5$시간에 해당)에는 한참 못 미치므로, 시간은 $1$시간과 $1.5$시간 사이여야 한다 — $1.35$가 바로 거기에 든다. 가장 큰 함정은 (E) $3$이다: 넓이 $13500$을 속력 $5000$으로 곧장 나누면 $2.7\approx3$이 나오지만, 이는 깎는 폭을 무시하고 제곱피트와 피트를 뒤섞은 것이라 단위를 보면 틀렸음이 드러난다. $2$피트라는 깎는 폭을 살려 두는 것이 답을 (C)로 이끄는 핵심이다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 띠를 세기: $90$피트 변과 평행하게 왔다 갔다 하며 깎으면 각 띠는 길이가 $90$피트다. 각 띠는 폭 $2$피트를 덮으므로 띠의 개수는 $150\div2=75$개다. 걷는 총 거리는 $75\times90=6750$피트이고, 이를 시속 $5000$피트로 나누면 $1.35$시간 — 넓이를 구하지 않고도 똑같이 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.A.1 Convert among different-sized standard measurement units within a given measurement system, and use these conversions in solving multi-step real world problems (겹침을 빼고 $24$인치인 깎는 폭을 $2$피트로 바꾼다.)
4.MD.A.3 Apply the area and perimeter formulas for rectangles in real world and mathematical problems (잔디밭 넓이 $90\times150=13500$ ft$^2$을 구하고, 그 넓이를 $2$피트 폭으로 나눠 $6750$피트의 걷는 거리를 얻는다.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시속 $5000$피트라는 비율을 이용해 $6750$피트의 걷기를 $1.35$시간으로 바꾼다.)

⭐ 깎은 잔디밭 전체를 하나의 긴 띠로 바꿔라 — 넓이를 폭으로 나누면 걷는 거리가 되고, 거리를 속력으로 나누면 걸린 시간이 된다.