AMC 10 · 2003 · #7
학년 8 arithmetic기호 ⌊x⌋는 x를 넘지 않는 가장 큰 정수를 나타낸다. 예를 들어 ⌊3⌋=3, 이고 ⌊9/2⌋=4이다. 다음을 계산하여라.
⌊1⌋+⌊2⌋+⌊3⌋+⋯+⌊16⌋.
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 기호 $\lfloor x \rfloor$는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수(내림)를 뜻한다. $1$부터 $16$까지 각 정수마다 한 항씩 더해 $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor$을 계산하고, 그 합과 같은 값을 고르라.
주어진 것: $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 정수로 내림한 값이다. 예: $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor 9/2 \rfloor = 4$; 합은 $1$부터 $16$까지 모든 정수 $n$에 대해 이루어진다; 각 항은 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$이다; 선택지: (A) $35$, (B) $38$, (C) $40$, (D) $42$, (E) $136$
구하는 것: 전체 합 $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor$의 값
이해
문제 재정리: 기호 $\lfloor x \rfloor$는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수(내림)를 뜻한다. $1$부터 $16$까지 각 정수마다 한 항씩 더해 $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor$을 계산하고, 그 합과 같은 값을 고르라.
주어진 것: $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 정수로 내림한 값이다. 예: $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor 9/2 \rfloor = 4$; 합은 $1$부터 $16$까지 모든 정수 $n$에 대해 이루어진다; 각 항은 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$이다; 선택지: (A) $35$, (B) $38$, (C) $40$, (D) $42$, (E) $136$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
제곱근 열여섯 개를 일일이 써서 내림하는 것은 느리고 실수하기 쉬우므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 중심축이다 — $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$은 $n$이 다음 완전제곱수에 이르기 전까지 변하지 않아, 항들이 같은 값을 가진 평평한 덩어리로 묶인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 합을 덩어리들로 나눈다 — $1$들의 덩어리, $2$들의 덩어리, $3$들의 덩어리, 그리고 하나뿐인 $4$ — 각각 '값 곱하기 개수'라는 쉬운 조각이 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마무리를 지킨다: 함정 선택지 (E) $136$은 제곱근을 아예 잊고 $1+2+\cdots+16$을 더한 값이고, 다른 근접 오답은 덩어리의 개수를 잘못 센 데서 나오므로, 묶어 세면 개수가 정확해진다.
실행 — 정답: B
8.NS.A.2 단계 1 값이 평평하게 유지되는 구간 보기
- $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$은 '제곱이 $n$보다 크지 않은 가장 큰 정수는 무엇인가'를 묻는다.
- 그 답은 $n$이 커져도 그대로 유지되다가, $n$이 다음 완전제곱수에 이를 때에만 하나 올라간다.
- 그래서 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$는 $n$이 $k^2$부터 $(k+1)^2$ 바로 아래까지인 모든 $n$에서 성립한다.
💡 내림한 제곱근은 완전제곱수에서만 바뀌므로, 제곱수 사이에서는 값이 그대로 유지된다.
8.EE.A.2 단계 2 완전제곱수로 덩어리 경계 표시하기
- $16$까지의 완전제곱수는 $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$이다.
- 그래서 값은 $n=1,2,3$에서 $1$($4$ 바로 전까지), $n=4,5,6,7,8$에서 $2$($9$ 바로 전까지), $n=9,\ldots,15$에서 $3$($16$ 바로 전까지), 그리고 $n=16$ 자체에서 $4$가 된다.
💡 완전제곱수는 내림한 제곱근이 한 단계 뛰어오르는 바로 그 지점이다.
8.NS.A.2 단계 3 각 덩어리의 항 개수 세기
- 각 덩어리는 한 완전제곱수부터 다음 제곱수 바로 아래까지이므로, 그 길이는 이웃한 두 제곱수 사이의 차이다: $1$인 항 $4-1=3$개, $2$인 항 $9-4=5$개, $3$인 항 $16-9=7$개, 그리고 $4$인 항은 $n=16$ 하나뿐이다.
- 덩어리 크기 $3, 5, 7$은 홀수들인데, 이는 $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$이라는 패턴이다.
💡 두 제곱수 사이에 몇 개의 수가 있는지는 그 두 제곱수 사이의 거리일 뿐이다.
3.OA.A.1 단계 4 각 덩어리를 곱해서 더하기
- 각 덩어리는 같은 항이 쌓인 것이므로, 그 합은 값 곱하기 개수다: $1\times3=3$, $2\times5=10$, $3\times7=21$, $4\times1=4$.
- 네 덩어리의 합을 더하면 $3+10+21+4=38$이고, 이는 선택지 (B)와 같다.
💡 같은 수가 모인 덩어리는 그 수에 개수를 곱한 하나의 값으로 더해진다.
8.NS.A.2 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$은 '제곱이 $n$보다 크지 않은 가장 큰 정수는 무엇인가'를 묻는다. 그 답은 $n$이 커져도 8.EE.A.2 $16$까지의 완전제곱수는 $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$이다. 그래서 값은 $n=1,2,3$에서 $1$($4$ 8.NS.A.2 각 덩어리는 한 완전제곱수부터 다음 제곱수 바로 아래까지이므로, 그 길이는 이웃한 두 제곱수 사이의 차이다: $1$인 항 $4-1=3$개, $2 3.OA.A.1 각 덩어리는 같은 항이 쌓인 것이므로, 그 합은 값 곱하기 개수다: $1\times3=3$, $2\times5=10$, $3\times7=21$ 검토
합리성 확인: 열여섯 개의 항은 모두 $1$과 $4$ 사이이므로 총합은 $16\times1=16$과 $16\times4=64$ 사이여야 한다. 답 $38$은 그 범위에 정확히 들어가는 반면, (E) $136$은 너무 크고 이는 바로 $1+2+\cdots+16$ — 제곱근을 잊었을 때 빠지는 함정이다. 덩어리를 다시 세어 $3+5+7+1=16$개의 항이 되는지 확인하면 $1$부터 $16$까지 모든 수가 정확히 한 번씩 쓰였음을 알 수 있으므로, 빠뜨리거나 두 번 센 항이 없고 $38$은 선택지 (B)이다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 내림한 제곱근 열여섯 개를 순서대로 그냥 적어 보라 — $1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4$ — 그리고 곧장 다 더한다. 쓸 것은 더 많지만 똑같이 $38$에 도달하고, 덩어리를 제대로 셌는지 확인하는 검산도 겸한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.NS.A.2Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions ($\lfloor \sqrt{n} \rfloor$이 $k^2$부터 $(k+1)^2$ 바로 아래까지 모든 $n$에서 값 $k$를 유지함을 보고, 그런 $n$이 몇 개인지 센다.)8.EE.A.2Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations, and evaluate square roots of small perfect squares (덩어리 경계를 완전제곱수 $1, 4, 9, 16 = 1^2, 2^2, 3^2, 4^2$에 고정한다.)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers, e.g., interpret 5 x 7 as the total number of objects in 5 groups of 7 objects each (각 평평한 덩어리를 값 곱하기 개수($1\cdot3, 2\cdot5, 3\cdot7, 4\cdot1$)로 바꾸고 그 결과를 더한다.)
⭐ 내림한 제곱근은 완전제곱수에서만 뛰어오르므로, 제곱수 사이의 평평한 덩어리로 합을 묶어 값 곱하기 개수로 더하라.
⭐ 내림한 제곱근은 완전제곱수에서만 뛰어오르므로, 제곱수 사이의 평평한 덩어리로 합을 묶어 값 곱하기 개수로 더하라.
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