AMC 10 · 2003 · #7

학년 8 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
floor-functionperfect-squarespattern-recognition identify-subproblems ↑ 선수 지식: perfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
기호 ⌊ x ⌋는 x보다 크지 않은 가장 큰 정수(내림)를 뜻한다. 1부터 16까지 각 정수마다 한 항씩 더해 ⌊ √(1) ⌋ + ⌊ √(2) ⌋ + … + ⌊ √(16) ⌋을 계산하고, 그 합과 같은 값을 고르라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35
(B)
38
(C)
40
(D)
42
(E)
136

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

제곱근 열여섯 개를 일일이 써서 내림하는 것은 느리고 실수하기 쉬우므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 중심축이다 — ⌊ √(n) ⌋은 n이 다음 완전제곱수에 이르기 전까지 변하지 않아, 항들이 같은 값을 가진 평평한 덩어리로 묶인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 합을 덩어리들로 나눈다 — 1들의 덩어리, 2들의 덩어리, 3들의 덩어리, 그리고 하나뿐인 4 — 각각 '값 곱하기 개수'라는 쉬운 조각이 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마무리를 지킨다: 함정 선택지 (E) 136은 제곱근을 아예 잊고 1+2+…+16을 더한 값이고, 다른 근접 오답은 덩어리의 개수를 잘못 센 데서 나오므로, 묶어 세면 개수가 정확해진다.

1STEP 1

값이 평평하게 유지되는 구간 보기

⌊ √(n) ⌋은 제곱이 n 이하인 가장 큰 정수이므로, n이 다음 완전제곱수에 이를 때까지 값이 그대로다.

⌊ √(n) ⌋ = k ⇔ k² ≤ n ＜ (k+1)²
2STEP 2

완전제곱수로 덩어리 경계 표시하기

16까지의 제곱수는 1, 4, 9, 16이므로 값은 n=13에서 1, n=48에서 2, n=9~15에서 3, n=16에서 4다.

1,4,9,16 = 1²,2²,3²,4²
3STEP 3

각 덩어리의 항 개수 세기

각 덩어리는 한 제곱수부터 다음 제곱수 바로 아래까지이므로 개수는 1이 3개, 2가 5개, 3이 7개, 4가 1개다.

1이 3개, 2가 5개, 3이 7개, 4가 1개
4STEP 4

각 덩어리를 곱해서 더하기

덩어리마다 값 곱하기 개수: 1×3=3, 2×5=10, 3×7=21, 4×1=4이고 3+10+21+4=38, 즉 (B)다.

1·3 + 2·5 + 3·7 + 4·1 = 3+10+21+4 = 38 → (B)
정답
38
열여섯 개의 항은 모두 1과 4 사이이므로 총합은 16×1=16과 16×4=64 사이여야 한다. 답 38은 그 범위에 정확히 들어가는 반면, (E) 136은 너무 크고 이는 바로 1+2+…+16 — 제곱근을 잊었을 때 빠지는 함정이다. 덩어리를 다시 세어 3+5+7+1=16개의 항이 되는지 확인하면 1부터 16까지 모든 수가 정확히 한 번씩 쓰였음을 알 수 있으므로, 빠뜨리거나 두 번 센 항이 없고 38은 선택지 (B)이다.
💡핵심 정리

내림한 제곱근은 완전제곱수에서만 뛰어오르므로, 제곱수 사이의 평평한 덩어리로 합을 묶어 값 곱하기 개수로 더하라.

  • 값이 평평하게 유지되는 구간 보기
  • 완전제곱수로 덩어리 경계 표시하기
  • 각 덩어리의 항 개수 세기
  • 각 덩어리를 곱해서 더하기

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