AMC 10 · 2003 · #8

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

sequences-geometricexponentssigned-square-root work-backwards ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

등비수열에서는 모든 항이 바로 앞 항에 같은 고정된 수(공비)를 곱한 값이다. 둘째 항이

2

이고 넷째 항이

6

이다. 주어진 다섯 값 중 첫째 항이 될 수 있는 것을 고르라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\sqrt{3}$

(B)

$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(C)

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

첫째 항도 공비도 모두 미지수이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 중심축이다: 첫째 항을 a, 공비를 r라 하면 두 사실은 ar = 2와 ar³ = 6이 된다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 핵심 작업을 한다 — 넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나누면 a가 약분되어 r에 대한 깔끔한 식이 남고, r를 알고 나면 둘째 항에서 한 걸음 되돌아가 a를 되찾는다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다: 두 사실은 두 개의 공비(하나는 양수, 하나는 음수)를 허용하여 첫째 항 후보가 둘 나오는데, 그중 하나만 다섯 선택지에 들어 있다.

1STEP 1

미지수 이름 붙이고 사실 적기

첫째 항을 $a$ , 공비를 $r$ 라 하자. 둘째 항은 $ar$ , 넷째 항은 $ar^3$ 이므로 두 사실이 두 식이 된다.

a r = 2 a r³ = 6

2STEP 2

나눠서 첫째 항 없애기

넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나누면 $a$ 가 약분되고 오른쪽은 $6/2$ 라서 $r^2 = 3$ 만 남는다.

(a r³)/(a r) = 6/2 → r² = 3

3STEP 3

제곱근 — 두 부호 모두 챙기기

제곱이 $3$ 인 수는 둘이므로 $r = \pm\sqrt{3}$ 이다. 두 부호 모두 공비가 될 수 있어 둘 다 가져간다.

r² = 3 → r = √(3) 또는 r = -√(3)

4STEP 4

첫째 항으로 되돌아가기

$ar = 2$ 에서 $a = 2/r$ 이고, $2/(\pm\sqrt{3})$ 의 분모를 유리화하면 $a = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 이다.

a = 2/±√(3) = ±2/√(3)·√(3)/√(3) = ±2√(3)/3

5STEP 5

후보를 선택지와 맞추기

음수 후보만 선택지에 있으니 답은 (B). $\pm\sqrt{3}$ 는 첫째 항이 아니라 공비이고 (C), (E)는 맞지 않는다.

a ∈ { 2√(3)/3, -2√(3)/3 } → -2√(3)/3 = (B)

정답

-2√(3)/3

당첨된 값을 직접 검산한다. a = -2√(3)/3이면 둘째 항이 2가 되려면 공비가 r = 2/a = 2/(-2√(3)/3) = -√(3)이어야 한다. 수열을 만들면: 첫째 -2√(3)/3, 둘째 -2√(3)/3·(-√(3)) = (2 · 3)/3 = 2(맞음), 셋째 2·(-√(3)) = -2√(3), 넷째 -2√(3)·(-√(3)) = 2 · 3 = 6(맞음). 둘째 항과 넷째 항이 2와 6으로 나오므로 선택지 (B)는 실제로 성립한다.

💡핵심 정리

첫째 항과 공비에 이름을 붙이고, 넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나눠 공비의 제곱을 구한 뒤, 제곱근에는 두 부호가 있음을 기억하라.

미지수 이름 붙이고 사실 적기
나눠서 첫째 항 없애기
제곱근 — 두 부호 모두 챙기기
첫째 항으로 되돌아가기
후보를 선택지와 맞추기

미지수 이름 붙이고 사실 적기

나눠서 첫째 항 없애기

제곱근 — 두 부호 모두 챙기기

첫째 항으로 되돌아가기

후보를 선택지와 맞추기

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