AMC 10 · 2003 · #8

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

sequences-geometricexponentssigned-square-root work-backwards ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

등비수열의 둘째 항과 넷째 항이 각각 $2$ 와 $6$ 이다. 다음 중 첫째 항이 될 수 있는 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\sqrt{3}$

(B)

$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(C)

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 등비수열에서는 모든 항이 바로 앞 항에 같은 고정된 수(공비)를 곱한 값이다. 둘째 항이 $2$이고 넷째 항이 $6$이다. 주어진 다섯 값 중 첫째 항이 될 수 있는 것을 고르라.

주어진 것: 수열은 등비수열이다: 각 항은 앞 항에 고정된 공비 $r$를 곱한 값이다; 둘째 항은 $2$이다; 넷째 항은 $6$이다; 선택지: (A) $-\sqrt{3}$, (B) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$, (C) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, (D) $\sqrt{3}$, (E) $3$

구하는 것: 첫째 항이 될 수 있는 값

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

첫째 항도 공비도 모두 미지수이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 중심축이다: 첫째 항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 두 사실은 $ar = 2$와 $ar^3 = 6$이 된다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 핵심 작업을 한다 — 넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나누면 $a$가 약분되어 $r$에 대한 깔끔한 식이 남고, $r$를 알고 나면 둘째 항에서 한 걸음 되돌아가 $a$를 되찾는다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다: 두 사실은 두 개의 공비(하나는 양수, 하나는 음수)를 허용하여 첫째 항 후보가 둘 나오는데, 그중 하나만 다섯 선택지에 들어 있다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

미지수 이름 붙이고 사실 적기

첫째 항을 $a$, 공비를 $r$라 하자.
각 항은 앞 항에 $r$를 곱한 것이므로 둘째 항은 $a r$, 넷째 항은 $a r^3$이다.
주어진 두 사실이 두 개의 식으로 바뀐다.

$$a r = 2 \qquad a r^3 = 6$$

💡 모르는 첫째 항과 공비에 문자를 붙이면 두 단서가 다룰 수 있는 두 식으로 바뀐다.

#11 거꾸로 풀기 8.EE.A.1 단계 2

나눠서 첫째 항 없애기

넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나눈다.
왼쪽에서는 $a$가 약분되고 $r^3 \div r = r^2$이며, 오른쪽에서는 $6 \div 2 = 3$이다.
그래서 공비만 남는다: $r^2 = 3$.

$$\dfrac{a r^3}{a r} = \dfrac{6}{2} \;\Rightarrow\; r^2 = 3$$

💡 두 식을 나누면 모르는 첫째 항이 지워지고 공비만 홀로 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 3

제곱근 — 두 부호 모두 챙기기

$r^2 = 3$이면 $r$는 제곱이 $3$인 수이고, 그런 수는 둘 있다: $r = \sqrt{3}$ 또는 $r = -\sqrt{3}$.
둘 다 등비수열의 공비로 가능하므로 둘 다 이어서 가져가야 한다.

$$r^2 = 3 \;\Rightarrow\; r = \sqrt{3} \;\text{ 또는 }\; r = -\sqrt{3}$$

💡 제곱한 값에는 항상 두 개의 제곱근이 있으므로 양수 공비와 음수 공비가 모두 살아남는다.

#11 거꾸로 풀기 7.NS.A.2 단계 4

첫째 항으로 되돌아가기

$a r = 2$에서 첫째 항은 $a = \dfrac{2}{r}$이다.
각 공비를 넣으면 $a = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 또는 $a = \dfrac{2}{-\sqrt{3}}$.
$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$을 이용해 분모와 분자에 $\sqrt{3}$을 곱해 분모의 근호를 없애면 $a = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 또는 $a = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이 된다.

$$a = \dfrac{2}{\pm\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

💡 공비를 곱하는 과정을 한 번 되돌리면 둘째 항에서 첫째 항으로 걸어 돌아간다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.1 단계 5

후보를 선택지와 맞추기

가능한 첫째 항은 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$와 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다.
다섯 선택지를 훑어보면 양수 쪽은 없지만 음수 쪽 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$는 정확히 선택지 (B)이다.
(A) $-\sqrt{3}$와 (D) $\sqrt{3}$는 첫째 항이 아니라 공비이고, (C)와 (E)는 아무것도 맞지 않으므로 답은 (B)이다.

$$a \in \left\{ \tfrac{2\sqrt{3}}{3},\, -\tfrac{2\sqrt{3}}{3} \right\} \;\Rightarrow\; -\tfrac{2\sqrt{3}}{3} = \textbf{(B)}$$

💡 정직한 두 후보 중 하나만 선택지에 적혀 있으므로 그것이 가능한 첫째 항이다.

[1] #4 6.EE.A.2 첫째 항을 $a$, 공비를 $r$라 하자. 각 항은 앞 항에 $r$를 곱한 것이므로 둘째 항은 $a r$, 넷째 항은 $a r^3$이다. 주어진

[2] #11 8.EE.A.1 넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나눈다. 왼쪽에서는 $a$가 약분되고 $r^3 \div r = r^2$이며, 오른쪽에서는 $6 \div 2 = 3

[3] #4 8.EE.A.2 $r^2 = 3$이면 $r$는 제곱이 $3$인 수이고, 그런 수는 둘 있다: $r = \sqrt{3}$ 또는 $r = -\sqrt{3}$. 둘

[4] #11 7.NS.A.2 $a r = 2$에서 첫째 항은 $a = \dfrac{2}{r}$이다. 각 공비를 넣으면 $a = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 또는 $

[5] #3 8.NS.A.1 가능한 첫째 항은 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$와 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다. 다섯 선택지를 훑어보면 양수 쪽은

검토

합리성 확인: 당첨된 값을 직접 검산한다. $a = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이면 둘째 항이 $2$가 되려면 공비가 $r = \dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{-2\sqrt{3}/3} = -\sqrt{3}$이어야 한다. 수열을 만들면: 첫째 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, 둘째 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot(-\sqrt{3}) = \dfrac{2\cdot 3}{3} = 2$(맞음), 셋째 $2\cdot(-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$, 넷째 $-2\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3}) = 2\cdot 3 = 6$(맞음). 둘째 항과 넷째 항이 $2$와 $6$으로 나오므로 선택지 (B)는 실제로 성립한다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 처음부터 더 과감하게 쓸 수 있다: $r^2 = 3$이면 $r = \pm\sqrt{3}$로 정해지므로 첫째 항은 $\dfrac{2}{\pm\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, 즉 크기가 약 $\pm 1.15$인 수다. (A)와 (D)는 약 $\pm 1.73$, (C)는 약 $\pm 0.58$이므로 이 크기를 가진 선택지는 (B)뿐이며, 이 대략적인 크기 비교만으로도 (B)를 가리킨다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (첫째 항 $a$와 공비 $r$에 이름을 붙이고 주어진 두 항을 식 $ar = 2$, $ar^3 = 6$으로 바꾼다.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($ar^3$을 $ar$로 나눠 $r^3 \div r = r^2$이 되게 하여 첫째 항을 약분하고 $r^2 = 3$을 남긴다.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($r^2 = 3$을 풀어 두 근 $r = \sqrt{3}$과 $r = -\sqrt{3}$을 모두 유지한다.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (각 공비에 대해 $a = \dfrac{2}{r}$를 되찾고 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$을 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$으로 유리화한다.)
8.NS.A.1 Know that numbers that are not rational are called irrational numbers ($\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이 무리수임을 알고 그중 음수 쪽을 선택지 (B)와 맞춘다.)

⭐ 첫째 항과 공비에 이름을 붙이고, 넷째 항 식을 둘째 항 식으로 나눠 공비의 제곱을 구한 뒤, 제곱근에는 두 부호가 있음을 기억하라.