AMC 10 · 2003 · #9

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentslinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 방정식을 만족하는 $x$ 의 값을 구하여라.
$25^{-2} = \frac{5^{48/x}}{5^{26/x} \cdot 25^{17/x}}.$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 방정식이 $25^{-2}$가 분수 $\dfrac{5^{48/x}}{5^{26/x}\cdot 25^{17/x}}$와 같다고 말한다. 이 식의 모든 수는 $5$의 거듭제곱이거나 $25$의 거듭제곱이고, 미지수 $x$는 지수 자리에 들어 있다. 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 구하라.

주어진 것: 방정식 $25^{-2}=\dfrac{5^{48/x}}{5^{26/x}\cdot 25^{17/x}}$; $25=5^2$이므로 모든 밑을 $5$의 거듭제곱으로 쓸 수 있다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $9$

구하는 것: 방정식을 만족하는 $x$의 값

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

이 방정식이 복잡해 보이는 이유는 밑 $5$와 밑 $25$가 섞여 있기 때문일 뿐이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 중심축이다 — 모든 항을 하나의 밑 $5$의 거듭제곱으로 다시 쓰면, 식 전체가 양변 각각 $5$의 단일 거듭제곱으로 접힌다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 조각씩 처리해 이를 깔끔하게 유지한다 — 먼저 좌변, 다음 분모, 그다음 정리된 우변. 양변이 같은 밑의 거듭제곱이 되면, 밑이 같다는 것은 지수가 같다는 뜻이므로 작은 방정식만 풀면 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 객관식 답에 대한 자연스러운 안전장치다 — 어떤 후보든 원래 식에 곧장 넣어 확인할 수 있다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 8.EE.A.1 단계 1

모든 밑을 5의 거듭제곱으로 쓰기

유일한 걸림돌은 서로 다른 두 밑 $5$와 $25$다.
$25=5^2$이므로 각 $25$를 $5^2$으로 바꾼다.
좌변은 거듭제곱의 거듭제곱이 지수끼리 곱해진다는 규칙에 따라 $25^{-2}=(5^2)^{-2}=5^{-4}$가 된다.
분모에서도 같은 방식으로 $25^{17/x}=(5^2)^{17/x}=5^{34/x}$가 된다.

$$25^{-2}=5^{-4}\qquad 25^{17/x}=5^{34/x}$$

💡 여러 수가 숨은 공통 밑을 가질 때, 그 밑으로 다시 쓰면 섞여 있던 식이 하나로 합칠 수 있는 식으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 2

분모 합치기

이제 분모는 $5^{26/x}\cdot 5^{34/x}$다.
같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지므로 $5^{26/x}\cdot 5^{34/x}=5^{(26+34)/x}=5^{60/x}$다.
이제 우변은 $5$의 단일 거듭제곱을 $5$의 단일 거듭제곱으로 나눈 꼴이다.

$$5^{26/x}\cdot 5^{34/x}=5^{60/x}$$

💡 같은 밑끼리 곱하면 지수가 그저 한데 쌓인다.

#15 다르게 정리하기 8.EE.A.1 단계 3

나눠서 하나의 거듭제곱으로

이제 우변은 $\dfrac{5^{48/x}}{5^{60/x}}$다.
같은 밑의 거듭제곱을 나누면 지수가 빼지므로 이는 $5^{48/x-60/x}=5^{-12/x}$와 같다.
방정식은 $5^{-4}=5^{-12/x}$가 되었다.

$$\dfrac{5^{48/x}}{5^{60/x}}=5^{(48-60)/x}=5^{-12/x}$$

💡 같은 밑의 거듭제곱을 나누면 공통 인수가 지워지고 지수의 차이만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 4

지수 맞추고 풀기

이제 양변이 모두 같은 밑 $5$이고 서로 같으므로, 지수도 같아야 한다: $-4=-\dfrac{12}{x}$.
양변에 $x$를 곱하면 $-4x=-12$가 되고, $-4$로 나누면 $x=3$이다.
이것이 선택지 (B)다.

$$-4=-\dfrac{12}{x}\;\Rightarrow\;-4x=-12\;\Rightarrow\;x=3\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 같은 두 수가 같은 밑을 어떤 지수로 올린 것이라면, 그 지수 자체도 같을 수밖에 없다.

[1] #15 8.EE.A.1 유일한 걸림돌은 서로 다른 두 밑 $5$와 $25$다. $25=5^2$이므로 각 $25$를 $5^2$으로 바꾼다. 좌변은 거듭제곱의 거듭제곱이

[2] #7 8.EE.A.1 이제 분모는 $5^{26/x}\cdot 5^{34/x}$다. 같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지므로 $5^{26/x}\cdot 5^{34

[3] #15 8.EE.A.1 이제 우변은 $\dfrac{5^{48/x}}{5^{60/x}}$다. 같은 밑의 거듭제곱을 나누면 지수가 빼지므로 이는 $5^{48/x-60/x}

[4] #7 6.EE.B.7 이제 양변이 모두 같은 밑 $5$이고 서로 같으므로, 지수도 같아야 한다: $-4=-\dfrac{12}{x}$. 양변에 $x$를 곱하면 $-4x

검토

합리성 확인: $x=3$을 원래 식에 다시 넣어 본다. 지수는 $\tfrac{48}{3}=16$, $\tfrac{26}{3}$, $\tfrac{17}{3}$이 된다. 우변은 $\dfrac{5^{16}}{5^{26/3}\cdot 5^{34/3}}=\dfrac{5^{16}}{5^{60/3}}=\dfrac{5^{16}}{5^{20}}=5^{-4}$이고, 좌변은 $25^{-2}=5^{-4}$이다. 양변이 일치하므로 $x=3$이 맞다. 흔한 함정은 $25^{17/x}$를 $5^{34/x}$가 아니라 $5^{17/x}$로 잘못 다루는 것이다. 그러면 $5^{-4}=5^{5/x}$가 되어 $x$가 음수가 나오는데, 이는 선택지에 없다 — $25=5^2$ 변환을 빠뜨렸다는 신호다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 답이 다섯 선택지 중 하나이므로 직접 대입해 본다. 정리된 우변은 $5^{-12/x}$이고 좌변은 $5^{-4}$이므로 $-\tfrac{12}{x}=-4$, 즉 $\tfrac{12}{x}=4$가 되어야 한다. $\tfrac{12}{x}$를 $4$로 만드는 것은 $x=3$뿐이다. $x=2$면 $6$, $x=6$이면 $2$가 되어 어긋난다. 정식으로 방정식을 풀지 않고도 (B)에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($25$를 $5^2$으로 다시 쓴 뒤, 거듭제곱의 거듭제곱·곱·나눗셈 규칙을 이용해 양변을 각각 $5$의 단일 거듭제곱으로 접기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (맞춰진 지수 $-4=-\tfrac{12}{x}$를 $-4x=-12$로 바꾸고 풀어 $x=3$을 얻기.)

⭐ 지수 방정식에 $5$와 $25$처럼 여러 밑이 섞여 있으면, 모두 하나의 밑으로 다시 쓰고 양변을 각각 하나의 거듭제곱으로 합친 다음, 지수만 맞추면 된다.