AMC 10 · 2003 · #9

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentslinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

방정식

25^{-2} = \frac{5^{48/x}}{5^{26/x} \cdot 25^{17/x}}

을 참으로 만드는 미지수의 값은 하나뿐이고, 여기서 밑은 모두 5 또는 25이며

x

는 지수 자리에만 나타난다. 그

x

의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

이 방정식이 복잡해 보이는 이유는 밑 5와 밑 25가 섞여 있기 때문일 뿐이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 중심축이다 — 모든 항을 하나의 밑 5의 거듭제곱으로 다시 쓰면, 식 전체가 양변 각각 5의 단일 거듭제곱으로 접힌다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 조각씩 처리해 이를 깔끔하게 유지한다 — 먼저 좌변, 다음 분모, 그다음 정리된 우변. 양변이 같은 밑의 거듭제곱이 되면, 밑이 같다는 것은 지수가 같다는 뜻이므로 작은 방정식만 풀면 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 객관식 답에 대한 자연스러운 안전장치다 — 어떤 후보든 원래 식에 곧장 넣어 확인할 수 있다.

1STEP 1

모든 밑을 5의 거듭제곱으로 쓰기

밑 5와 25가 섞여 있지만 $25=5^2$ 이므로 좌변은 $5^{-4}$ , 분모의 $25^{17/x}$ 는 $5^{34/x}$ 가 된다.

25⁻²=5⁻⁴ 25¹7/x=5³4/x

2STEP 2

분모 합치기

같은 밑끼리 곱하면 지수가 더해지므로 $5^{26/x} \cdot 5^{34/x}$ 는 $5^{60/x}$ 로 합쳐진다.

5²6/x · 5³4/x=5⁶0/x

3STEP 3

나눠서 하나의 거듭제곱으로

같은 밑을 나누면 지수가 빼지므로 우변은 $5^{-12/x}$ 가 되고, 식은 $5^{-4}=5^{-12/x}$ 다.

(5⁴8/x)/(5⁶0/x)=5^(48-60)/x=5⁻¹2/x

4STEP 4

지수 맞추고 풀기

밑이 같고 값이 같으니 지수도 같다: $-4=-\frac{12}{x}$ 에서 $-4x=-12$ , 따라서 $x=3$ , 즉 (B)다.

-4=-12/x → -4x=-12 → x=3 → (B)

정답

x=3

을 원래 식에 다시 넣어 본다. 지수는

\frac{48}{3}=16

\frac{26}{3}

\frac{17}{3}

이 된다. 우변은

\frac{5^{16}}{5^{26/3} \cdot 5^{34/3}} = \frac{5^{16}}{5^{20}} = 5^{-4}

이고, 좌변은

25^{-2}=5^{-4}

이다. 양변이 일치하므로

x=3

이 맞다. 흔한 함정은

25^{17/x}

를

5^{34/x}

가 아니라

5^{17/x}

로 잘못 다루는 것이다. 그러면

5^{-4}=5^{5/x}

가 되어

x

가 음수가 나오는데, 이는 선택지에 없다 —

25=5^2

변환을 빠뜨렸다는 신호다.

💡핵심 정리

지수 방정식에 5와 25처럼 여러 밑이 섞여 있으면, 모두 하나의 밑으로 다시 쓰고 양변을 각각 하나의 거듭제곱으로 합친 다음, 지수만 맞추면 된다.

모든 밑을 5의 거듭제곱으로 쓰기
분모 합치기
나눠서 하나의 거듭제곱으로
지수 맞추고 풀기

모든 밑을 5의 거듭제곱으로 쓰기

분모 합치기

나눠서 하나의 거듭제곱으로

지수 맞추고 풀기

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