AMC 10 · 2004 · #10

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

probability-basiccombinations-basic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 동전 A를 3번 던지고, 공정한 동전 B를 4번 던진다. 동전 A에서 나온 앞면의 개수와 동전 B에서 나온 앞면의 개수가 같을 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{19}{128}$

(B)

$\frac{23}{128}$

(C)

$\frac14$

(D)

$\frac{35}{128}$

(E)

$\frac12$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"앞면의 개수가 같다"는 것은 하나의 사건이 아니라 여러 경우가 합쳐진 것이다. 둘 다 0개, 둘 다 1개, 둘 다 2개, 둘 다 3개인 경우다. 이는 문제를 경우별로 쪼개라는 신호이므로(도구 #7), 같은 앞면 개수마다 하나의 작은 문제로 나눈 뒤 결과를 더한다. 이 경우들은 동시에 일어날 수 없기 때문이다. 각 경우 안에서 두 동전은 독립이므로, 맞아떨어지는 던지기 열의 개수는 (A가 그만큼 앞면이 나오는 경우의 수) × (B가 그만큼 앞면이 나오는 경우의 수)가 된다. k = 0, 1, 2, 3을 훑는 빠짐없는 나열(도구 #2)로 어떤 경우도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않도록 한다. 똑같이 나올 확률을 가진 열의 개수로 계산한 뒤 마지막에 전체로 나누면 계산이 깔끔하다.

1STEP 1

똑같이 나올 결과를 모두 세기

동전 A의 3번 던지기는 8가지, 동전 B의 4번은 16가지. 독립이므로 짝은 128가지이고 모두 똑같이 나온다.

2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128

2STEP 2

맞아떨어질 수 있는 앞면 개수 나열하기

동전 A는 앞면이 최대 3개라서 일치는 0, 1, 2, 3에서만 가능하다. 동전 B의 네 번째 앞면은 짝이 없다.

맞아떨어지는 개수 k ∈ {0, 1, 2, 3}

3STEP 3

각 경우에서 맞아떨어지는 열 세기

독립이므로 경우 안에서 곱한다. C(3, k) 곱하기 C(4, k)는 1, 12, 18, 4가지다.

C(3, k)C(4, k): 1·1=1, 3·4=12, 3·6=18, 1·4=4

4STEP 4

경우를 더해 확률 만들기

네 경우는 겹치지 않으니 더하면 35가지. 128로 나누면 $\frac{35}{128}$ , 선택지 (D)다.

(1+12+18+4)/128 = 35/128 → (D)

정답

35/128

35/128 ≈ 0.27은 1/4보다 조금 큰 값으로, 상황과 잘 맞는다. 맞아떨어지는 일은 꽤 흔하지만 확실하지는 않으므로 1/4 부근의 값은 그럴듯한 반면 1/2 (E)는 너무 크다. 선택지들은 함정도 드러낸다. 보기 좋은 1/4로 반올림하면 (C)가 되고, 경우의 수 계산에서 실수하면 128 위의 근접한 분자 19나 23에 걸린다. 오직 정확한 개수 1+12+18+4 = 35만이 (D)를 만든다.

💡핵심 정리

서로 다른 두 동전 묶음이 맞아떨어져야 할 때는 같은 앞면 개수를 하나씩 다뤄라. 한 경우 안에서 각 묶음의 방법을 곱하고, 경우들을 더한 뒤, 똑같이 나올 전체 결과로 나누면 된다.

똑같이 나올 결과를 모두 세기
맞아떨어질 수 있는 앞면 개수 나열하기
각 경우에서 맞아떨어지는 열 세기
경우를 더해 확률 만들기

똑같이 나올 결과를 모두 세기

맞아떨어질 수 있는 앞면 개수 나열하기

각 경우에서 맞아떨어지는 열 세기

경우를 더해 확률 만들기

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