AMC 10 · 2004 · #10

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

probability-basiccombinations-basic caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 동전 $A$ 를 세 번 던지고 공정한 동전 $B$ 를 네 번 던집니다. 두 공정한 동전을 던져 얻은 앞면의 개수가 같을 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{19}{128}$

(B)

$\frac{23}{128}$

(C)

$\frac14$

(D)

$\frac{35}{128}$

(E)

$\frac12$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 동전 $A$를 $3$번 던지고, 공정한 동전 $B$를 $4$번 던진다. 동전 $A$에서 나온 앞면의 개수와 동전 $B$에서 나온 앞면의 개수가 같을 확률을 구하여라.

주어진 것: 동전 $A$는 공정하며 정확히 $3$번 던진다.; 동전 $B$는 공정하며 정확히 $4$번 던진다.; 두 동전은 서로 독립적으로 던진다.; 선택지: (A) $\frac{19}{128}$, (B) $\frac{23}{128}$, (C) $\frac14$, (D) $\frac{35}{128}$, (E) $\frac12$

구하는 것: 동전 $A$에서 나온 앞면의 개수가 동전 $B$에서 나온 앞면의 개수와 같을 확률.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

"앞면의 개수가 같다"는 것은 하나의 사건이 아니라 여러 경우가 합쳐진 것이다. 둘 다 $0$개, 둘 다 $1$개, 둘 다 $2$개, 둘 다 $3$개인 경우다. 이는 문제를 경우별로 쪼개라는 신호이므로(도구 #7), 같은 앞면 개수마다 하나의 작은 문제로 나눈 뒤 결과를 더한다. 이 경우들은 동시에 일어날 수 없기 때문이다. 각 경우 안에서 두 동전은 독립이므로, 맞아떨어지는 던지기 열의 개수는 ($A$가 그만큼 앞면이 나오는 경우의 수) $\times$ ($B$가 그만큼 앞면이 나오는 경우의 수)가 된다. $k = 0, 1, 2, 3$을 훑는 빠짐없는 나열(도구 #2)로 어떤 경우도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않도록 한다. 똑같이 나올 확률을 가진 열의 개수로 계산한 뒤 마지막에 전체로 나누면 계산이 깔끔하다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 1

똑같이 나올 결과를 모두 세기

동전 $A$의 $3$번 던지기는 $2\times2\times2 = 8$가지의 똑같이 나올 앞면/뒷면 열을 만든다.
동전 $B$의 $4$번 던지기는 $2\times2\times2\times2 = 16$가지를 만든다.
두 동전은 독립적으로 던지므로 $A$의 $8$가지 열은 각각 $B$의 $16$가지 열과 짝지을 수 있어 $8\times16 = 128$가지의 똑같이 나올 결합 결과가 된다.
이 $128$이 여기서 모든 확률의 분모다.

$$2^3 \times 2^4 = 8 \times 16 = 128$$

💡 각 던지기가 공정한 동전이면 모든 열이 똑같이 나오므로, 확률은 원하는 열의 개수를 전체로 나눈 값일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

맞아떨어질 수 있는 앞면 개수 나열하기

동전 $A$는 앞면이 $0$부터 $3$까지만 나올 수 있고, 동전 $B$는 $0$부터 $4$까지 나올 수 있다.
개수가 같아지려면 그 값이 두 동전 모두 도달할 수 있어야 하므로, 가능한 경우는 앞면이 $0$, $1$, $2$, $3$개일 때뿐이다.
동전 $B$가 앞면 $4$개인 경우는 동전 $A$가 $3$번밖에 던지지 않으므로 절대 맞아떨어질 수 없다.
따라서 다뤄야 할 경우는 정확히 네 가지다.

$$\text{맞아떨어지는 개수 } k \in \{0,\,1,\,2,\,3\}$$

💡 두 수는 둘 다 도달할 수 있는 값에서만 같아질 수 있으므로, 동전 $B$의 네 번째 앞면 경우는 자동으로 제외된다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

각 경우에서 맞아떨어지는 열 세기

앞면 $k$개를 목표로 할 때, $A$의 열 중 앞면이 정확히 $k$개인 것과 $B$의 열 중 그런 것을 각각 센 뒤, 두 동전이 독립이므로 곱한다.
$3$번 던지기에서 앞면 $k$개를 놓는 방법은 $\binom{3}{k}$가지, $4$번 던지기에서는 $\binom{4}{k}$가지다.
$k = 0,1,2,3$을 훑으면 $k=0$은 $1\times1 = 1$, $k=1$은 $3\times4 = 12$, $k=2$는 $3\times6 = 18$, $k=3$은 $1\times4 = 4$이다.

$$\binom{3}{k}\binom{4}{k}:\;\; 1\cdot1=1,\;\; 3\cdot4=12,\;\; 3\cdot6=18,\;\; 1\cdot4=4$$

💡 독립인 동전에서는 각 동전이 가진 경우의 수를 곱하면 맞아떨어지는 짝을 셀 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

경우를 더해 확률 만들기

네 경우는 겹칠 수 없으므로 — 두 동전은 정확히 한 개수에서만 맞아떨어진다 — 열의 개수를 더한다.
$1 + 12 + 18 + 4 = 35$가지의 맞아떨어지는 결합 결과다.
이를 똑같이 나올 전체 $128$로 나누면 $\frac{35}{128}$이 된다.
$35 = 5\times7$은 $128 = 2^7$과 공통인수가 없으므로 이 분수는 이미 기약분수다.
이것이 선택지 (D)다.

$$\dfrac{1+12+18+4}{128} = \dfrac{35}{128}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 동시에 일어날 수 없는 경우들은 서로 더해지므로, 맞아떨어지는 개수들이 하나의 분자로 쌓여 공통 분모 위에 놓인다.

[1] #7 7.SP.C.7 동전 $A$의 $3$번 던지기는 $2\times2\times2 = 8$가지의 똑같이 나올 앞면/뒷면 열을 만든다. 동전 $B$의 $4$번 던지기

[2] #7 7.SP.C.8 동전 $A$는 앞면이 $0$부터 $3$까지만 나올 수 있고, 동전 $B$는 $0$부터 $4$까지 나올 수 있다. 개수가 같아지려면 그 값이 두

[3] #2 7.SP.C.8 앞면 $k$개를 목표로 할 때, $A$의 열 중 앞면이 정확히 $k$개인 것과 $B$의 열 중 그런 것을 각각 센 뒤, 두 동전이 독립이므로 곱

[4] #7 7.SP.C.8 네 경우는 겹칠 수 없으므로 — 두 동전은 정확히 한 개수에서만 맞아떨어진다 — 열의 개수를 더한다. $1 + 12 + 18 + 4 = 35$가

검토

합리성 확인: $\frac{35}{128} \approx 0.27$은 $\frac14$보다 조금 큰 값으로, 상황과 잘 맞는다. 맞아떨어지는 일은 꽤 흔하지만 확실하지는 않으므로 $\frac14$ 부근의 값은 그럴듯한 반면 $\frac12$ (E)는 너무 크다. 선택지들은 함정도 드러낸다. 보기 좋은 $\frac14$로 반올림하면 (C)가 되고, 경우의 수 계산에서 실수하면 $128$ 위의 근접한 분자 $19$나 $23$에 걸린다. 오직 정확한 개수 $1+12+18+4 = 35$만이 (D)를 만든다.

대안 접근: 경우를 하나씩 세는 대신 대칭성을 이용해 맞아떨어지는 열을 셀 수 있다. $\binom{4}{k} = \binom{4}{4-k}$이므로 합 $\sum_k \binom{3}{k}\binom{4}{k}$는 $\sum_k \binom{3}{k}\binom{4}{4-k}$와 같다. 이 마지막 합은 반데르몬드 항등식으로, 전체 $3+4 = 7$개의 동전에서 앞면 $4$개를 고르는 방법의 수, 즉 $\binom{7}{4} = 35$를 센다. 같은 $35$를 $128$로 나누면 $\frac{35}{128}$이 되어 선택지 (D)를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (모든 던지기 열을 똑같이 나올 결과로 보아 확률을 전체 $128$에 대한 원하는 결과의 비로 만드는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation ("앞면의 개수가 같다"를 경우 $k=0,1,2,3$으로 나누고, 각 경우를 $\binom{3}{k}\binom{4}{k}$로 세어 더하는 데 사용.)

⭐ 서로 다른 두 동전 묶음이 맞아떨어져야 할 때는 같은 앞면 개수를 하나씩 다뤄라. 한 경우 안에서 각 묶음의 방법을 곱하고, 경우들을 더한 뒤, 똑같이 나올 전체 결과로 나누면 된다.