AMC 10 · 2005 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

서로 다른 실수 $a \neq b$ 의 각 쌍에 대해, 연산 $\star$ 를 다음과 같이 정의한다.

$(a \star b) = \frac{a+b}{a-b}.$

$((1 \star 2) \star 3)$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{2}{3}$

(B)

$-\frac{1}{5}$

(C)

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

This value is not defined.

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실수 $a\neq b$ 에 대해 새로운 연산 $\star$ 를 $(a\star b)=\dfrac{a+b}{a-b}$ 로 정의합니다. 안쪽부터 차례로 $((1\star 2)\star 3)$ 을 계산하고, 그 값이 정의되는지 판단하세요.

주어진 것: 규칙은 $(a\star b)=\dfrac{a+b}{a-b}$; 이 규칙은 $a\neq b$ 일 때만 적용됨; 계산할 식은 $((1\star 2)\star 3)$; 선택지: (A) $-\frac{2}{3}$, (B) $-\frac{1}{5}$, (C) $0$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) 값이 정의되지 않음

구하는 것: $((1\star 2)\star 3)$ 의 값, 또는 정의되지 않는지 여부

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 식은 한 연산이 다른 연산 안에 중첩되어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 조각으로 나눕니다: 먼저 안쪽 값 $1\star 2$ 를 계산하고, 그 결과를 $(\cdot)\star 3$ 에 넣습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 유일한 함정을 처리합니다: 선택지 (E)는 값이 정의되지 않는다고 하는데, 이는 어떤 분모 $a-b$ 가 $0$ 일 때에만 일어나므로, 각 분모를 확인하면 (E)를 지울 수 있는지 알 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

안쪽 연산에 대입하기

규칙을 안쪽부터 적용합니다.
$1\star 2$ 에서는 $a=1$, $b=2$ 이므로 $a+b=1+2=3$, $a-b=1-2=-1$ 입니다.
$1\neq 2$ 이므로 분모가 $0$ 이 아니고 이 연산은 여기서 허용됩니다.

$$1\star 2=\dfrac{1+2}{1-2}=\dfrac{3}{-1}$$

💡 정의된 연산은 결국 공식일 뿐이므로, 두 수를 적힌 그대로 분자와 분모에 대입합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 2

안쪽 값 마무리하기

나눗셈으로 안쪽 결과를 마무리합니다: 양수를 음수로 나누면 음수이므로 $\dfrac{3}{-1}=-3$ 입니다.
안쪽 식 $1\star 2$ 는 $-3$ 이고, 이것이 바깥 연산의 왼쪽 입력이 됩니다.

$$\dfrac{3}{-1}=-3\quad\Rightarrow\quad (1\star 2)=-3$$

💡 $-1$ 로 나누는 것은 부호만 뒤집는 것이어서 $3$ 이 $-3$ 이 됩니다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 3

바깥 연산 계산하기

이제 $a=-3$, $b=3$ 으로 $(-3)\star 3$ 을 계산합니다.
분자는 $a+b=-3+3=0$, 분모는 $a-b=-3-3=-6$ 입니다.
$-3\neq 3$ 이므로 분모 $-6$ 은 $0$ 이 아니고, 따라서 값이 정의되어 선택지 (E)는 배제됩니다.
분자가 $0$ 이고 분모가 $0$ 이 아닌 분수는 $0$ 이므로 $\dfrac{0}{-6}=0$ 입니다.
$((1\star 2)\star 3)$ 의 값은 $0$, 선택지 (C)입니다.

$$(-3)\star 3=\dfrac{-3+3}{-3-3}=\dfrac{0}{-6}=0\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 분수는 분자가 $0$ 이고 분모가 $0$ 이 아닐 때 정확히 $0$ 이므로, 분모의 부호는 상관없습니다.

[1] #7 6.EE.A.2 규칙을 안쪽부터 적용합니다. $1\star 2$ 에서는 $a=1$, $b=2$ 이므로 $a+b=1+2=3$, $a-b=1-2=-1$ 입니다. $

[2] #7 7.NS.A.2 나눗셈으로 안쪽 결과를 마무리합니다: 양수를 음수로 나누면 음수이므로 $\dfrac{3}{-1}=-3$ 입니다. 안쪽 식 $1\star 2$ 는

[3] #3 7.NS.A.1 이제 $a=-3$, $b=3$ 으로 $(-3)\star 3$ 을 계산합니다. 분자는 $a+b=-3+3=0$, 분모는 $a-b=-3-3=-6$ 입

검토

합리성 확인: 두 분모가 모두 $0$ 이 아님을 확인했으므로($1-2=-1$, $-3-3=-6$) 모든 단계에서 연산이 유효했고 선택지 (E)는 올바르게 배제됩니다. 최종 답은 바깥 분자 $-3+3$ 이 $0$ 이라는 데 달려 있는데, 어떤 수에 그 반대수를 더하면 항상 $0$ 이 되므로 정확히 $0$ 에 도달하는 믿을 만한 방법입니다. 선택지 중 $0$ 은 (C)뿐이고, 다른 수치 선택지들은 각각 분자가 $0$ 이 아니어야 하는데 계산 결과는 그렇지 않습니다.

대안 접근: 바깥 분모는 아예 건너뜁니다. 안쪽 값이 $-3$ 이 되면 바깥 분자는 $(-3)+3=0$ 입니다. 분수는 분자가 $0$ 이고 분모가 $0$ 이 아니면 곧바로 $0$ 이므로, $-3-3=-6\neq 0$ 임만 한 줄로 확인하면 나눗셈 없이 답이 $0$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 ($(a\star b)=\frac{a+b}{a-b}$ 를 공식으로 보고 $a=1,\,b=2$ 를 대입해 안쪽 연산을 계산하는 데 사용.)
7.NS.A.2 곱셈과 나눗셈에 대한 이해를 확장하여 유리수를 나눈다 ($3$ 을 $-1$ 로 나누어 음수인 안쪽 값 $-3$ 을 구하는 데 사용.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈에 대한 이해를 확장하여 유리수를 더하고 뺀다 (음수를 사용해 바깥 분자 $-3+3=0$ 과 분모 $-3-3=-6$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 연산이 공식으로 주어지면 가장 안쪽부터 수를 대입하고, 분수는 분자가 $0$ 이고 분모가 $0$ 이 아닐 때 정확히 $0$ 이라는 점을 기억하세요.