AMC 10 · 2005 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operations identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 a ≠ b에 대해 새로운 연산 ★를 (a★ b)=(a+b)/(a-b)로 정의합니다. 안쪽부터 차례로 ((1★ 2)★ 3)을 계산하고, 그 값이 정의되는지 판단하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{2}{3}$

(B)

$-\frac{1}{5}$

(C)

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

This value is not defined.

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 한 연산이 다른 연산 안에 중첩되어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 조각으로 나눕니다: 먼저 안쪽 값 1★ 2를 계산하고, 그 결과를 (·)★ 3에 넣습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 유일한 함정을 처리합니다: 선택지 (E)는 값이 정의되지 않는다고 하는데, 이는 어떤 분모 a-b 가 0 일 때에만 일어나므로, 각 분모를 확인하면 (E)를 지울 수 있는지 알 수 있습니다.

1STEP 1

안쪽 연산에 대입하기

안쪽 먼저: a=1, b=2이면 위는 1+2=3, 아래는 1-2=-1이므로 1★ 2=3/-1. 1 ≠ 2라 분모가 0이 아닙니다.

1★ 2=(1+2)/(1-2)=3/-1

2STEP 2

안쪽 값 마무리하기

양수를 음수로 나누면 음수이므로 3/-1=-3이고, 이 값이 바깥 ★의 왼쪽 입력이 됩니다.

3/-1=-3 → (1★ 2)=-3

3STEP 3

바깥 연산 계산하기

이제 (-3)★ 3: 분자 -3+3은 사라지지만 분모 -3-3=-6은 0이 아니므로 값이 정의되고 0, 즉 (C)입니다.

(-3)★ 3=(-3+3)/(-3-3)=0/-6=0 → (C)

정답

두 분모가 모두 0이 아님을 확인했으므로(1-2=-1, -3-3=-6) 모든 단계에서 연산이 유효했고 선택지 (E)는 올바르게 배제됩니다. 최종 답은 바깥 분자 -3+3이 0 이라는 데 달려 있는데, 어떤 수에 그 반대수를 더하면 항상 0이 되므로 정확히 0에 도달하는 믿을 만한 방법입니다. 선택지 중 0은 (C)뿐이고, 다른 수치 선택지들은 각각 분자가 0이 아니어야 하는데 계산 결과는 그렇지 않습니다.

💡핵심 정리

연산이 공식으로 주어지면 가장 안쪽부터 수를 대입하고, 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닐 때 정확히 0 이라는 점을 기억하세요.

안쪽 연산에 대입하기
안쪽 값 마무리하기
바깥 연산 계산하기

안쪽 연산에 대입하기

안쪽 값 마무리하기

바깥 연산 계산하기

비슷한 유형 더 풀어보기