AMC 10 · 2004 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

세 개의 입력을 받는 연산이 ⊗(a,b,c)=a/(b-c)로 정의되며, b ≠ c일 때 유효합니다. 중첩된 식 ⊗(⊗(1,2,3), ⊗(2,3,1), ⊗(3,1,2))의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{1}{2}$

(B)

$-\frac{1}{4}$

(C)

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 하나의 연산이 자기 자신의 세 복사본을 감싸고 있으므로, 깔끔한 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): 먼저 안쪽 세 ⊗ 호출을 계산하고, 그 세 수를 바깥쪽 ⊗ 에 넣습니다. 함정은 온통 부호입니다 — 안쪽 두 호출이 음수로 나오고, 바깥쪽 분모는 음수를 빼는 계산입니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리합니다: 결과가 음의 분수임이 드러나면 양수 선택지 0, 1/4, 1/2는 사라지고, 크기만으로 -1/2와 -1/4 사이를 정합니다.

1STEP 1

연산 해독하기

규칙은 기계입니다: 첫 수는 분자, 둘째에서 셋째를 뺀 값은 분모. 괄호 속 괄호처럼 안쪽 호출을 먼저 계산합니다.

⊗(a,b,c)=a/(b-c)

2STEP 2

안쪽 세 호출 계산하기

각 안쪽 세 수에 규칙을 적용하면 ⊗(1,2,3)=-1, ⊗(2,3,1)=1, ⊗(3,1,2)=-3입니다. 분모가 음수라 둘이 음수입니다.

⊗(1,2,3)=-1, ⊗(2,3,1)=1, ⊗(3,1,2)=-3

3STEP 3

바깥쪽 호출 세우기

-1, 1, -3을 순서대로 넣으면 ⊗(-1,1,-3)=-1/(1-(-3))입니다. -3을 빼면 3을 더하므로 분모는 4입니다.

⊗(-1,1,-3)=-1/(1-(-3))=-1/4

4STEP 4

마무리하고 함정 지우기

바깥쪽 값은 -1/4, 음수 분자에 양수 분모입니다. 0, 1/4, 1/2는 부호로, -1/2는 크기로 지워져 답은 (B)입니다.

-1/4=-1/4 → (B)

정답

-1/4

최종 분수는 -1/4로, -0.25에 가까운 작은 음수입니다. 분자(-1)가 음수이고 분모(4)가 양수이므로 음수여야 하며, 이는 음이 아닌 선택지들을 즉시 배제합니다. 크기는 반이 아니라 사분의 일이므로 -1/2는 너무 크고 -1/4이 맞습니다. 두 확인 모두 (B)에 도달합니다.

💡핵심 정리

연산이 자기 안에 중첩되어 있으면 안쪽 조각을 먼저 모두 끝낸 뒤, 그 수들을 바깥쪽 규칙에 넣으세요 — 그리고 매 단계 마이너스 부호를 살피세요.

연산 해독하기
안쪽 세 호출 계산하기
바깥쪽 호출 세우기
마무리하고 함정 지우기

연산 해독하기

안쪽 세 호출 계산하기

바깥쪽 호출 세우기

마무리하고 함정 지우기

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