AMC 10 · 2004 · #11

학년 8 geometry-3d
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
volume-cylinderpercentage convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
땅콩버터 병은 원기둥이다. 지름을 25% 더 크게 만들되 부피는 정확히 그대로 유지한다. 높이를 몇 퍼센트 줄여야 하는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
25
(C)
36
(D)
50
(E)
60

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제는 실제 반지름이나 높이는 주지 않고 그것들이 어떻게 변하는지만 알려 준다. 그러니 원래 반지름을 r, 원래 높이를 h로 이름 붙이고(도구 #4) 부피를 π r² h로 쓴다. 그러면 두 변화는 그 문자들에 곱해지는 배수로 추적할 수 있다. 지름이 25% 커지면 반지름에 배수가 곱해지고, 그것을 제곱하면 밑면 넓이의 배수가 되며, 부피가 그대로여야 한다는 조건이 높이의 배수를 정해 준다. 부피 공식이 전과 후 모두 같은 꼴이므로 π와 문자 r, h가 약분되어, 새 높이가 옛 높이의 몇 배인지가 깔끔한 수로 남는다. 식을 세운 뒤에는 쉬운 구체적 수를 넣어 보는 것(도구 #9)이 퍼센트가 맞는지 빠르게 확인하는 독립적인 방법이 된다.

1STEP 1

크기에 이름 붙이고 부피 쓰기

원래 병의 밑면 반지름을 r, 높이를 h라 하자. 원기둥 부피는 밑넓이 곱하기 높이, 즉 π r² h이다.

V = π r² h
2STEP 2

넓어진 지름을 반지름 배수로 바꾸기

반지름은 지름의 절반이라 똑같이 25% 커진다. 1.25 = 5/4를 곱하면 새 반지름은 5/4r이다.

r' = 1.25 r = 5/4r
3STEP 3

반지름을 제곱해 새 밑면 넓이 구하기

원 넓이는 π r²이라, 반지름에 5/4를 곱하면 밑넓이는 (5/4)² = 25/16배가 된다.

π (r')² = π(5/4r)² = 25/16 π r²
4STEP 4

부피를 같게 놓고 높이 감소율 읽기

부피가 같으니 25/16π r² h' = π r² h, 즉 h' = 16/25h = 0.64h. 따라서 36% 감소, 답은 (C).

25/16π r² h' = π r² h → h' = 16/25h = 0.64 h → 36% 감소
정답
36
밑면이 넓어졌으니 높이는 줄어야 한다. 그리고 넓이는 반지름의 제곱에 달려 있어 밑면이 많이(56.25%) 커졌으므로, 높이는 지름이 오른 25%보다 더 많이 줄어야 한다. 그래서 (A) 10과 (B) 25는 너무 작아 제외되고, 옛 높이의 0.64는 절반 자르기와는 거리가 멀어 (D) 50과 (E) 60은 너무 커서 제외된다. 36% 감소가 딱 맞는 자리다. 함정 답은 (B) 25로, 제곱을 잊고 높이가 지름이 오른 만큼 그대로 줄어든다고 잘못 생각한 경우다.
💡핵심 정리

원의 폭이 커지면 넓이는 그 배수의 제곱만큼 커지므로, 같은 부피를 유지하려면 높이는 폭이 커진 것보다 더 많이 줄어야 한다.

  • 크기에 이름 붙이고 부피 쓰기
  • 넓어진 지름을 반지름 배수로 바꾸기
  • 반지름을 제곱해 새 밑면 넓이 구하기
  • 부피를 같게 놓고 높이 감소율 읽기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.