AMC 10 · 2004 · #11
학년 8 geometry-3d어떤 회사가 땅콩버터를 원기둥 모양 병에 담아 판매합니다. 시장 조사에 따르면 더 넓은 병을 쓰면 판매가 늘어난다고 합니다. 병의 지름을 부피를 바꾸지 않고 25% 늘린다면, 높이는 몇 퍼센트 줄여야 합니까?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 땅콩버터 병은 원기둥이다. 지름을 $25\%$ 더 크게 만들되 부피는 정확히 그대로 유지한다. 높이를 몇 퍼센트 줄여야 하는지 구하여라.
주어진 것: 병은 원기둥이므로 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이다.; 밑면의 지름을 $25\%$ 늘린다.; 지름을 늘린 뒤에도 부피는 변하지 않는다.; 선택지(퍼센트): (A) $10$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $50$, (E) $60$.
구하는 것: 부피를 그대로 유지하려면 높이를 몇 퍼센트 줄여야 하는가.
이해
문제 재정리: 땅콩버터 병은 원기둥이다. 지름을 $25\%$ 더 크게 만들되 부피는 정확히 그대로 유지한다. 높이를 몇 퍼센트 줄여야 하는지 구하여라.
주어진 것: 병은 원기둥이므로 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이다.; 밑면의 지름을 $25\%$ 늘린다.; 지름을 늘린 뒤에도 부피는 변하지 않는다.; 선택지(퍼센트): (A) $10$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $50$, (E) $60$.
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
문제는 실제 반지름이나 높이는 주지 않고 그것들이 어떻게 변하는지만 알려 준다. 그러니 원래 반지름을 $r$, 원래 높이를 $h$로 이름 붙이고(도구 #4) 부피를 $\pi r^2 h$로 쓴다. 그러면 두 변화는 그 문자들에 곱해지는 배수로 추적할 수 있다. 지름이 $25\%$ 커지면 반지름에 배수가 곱해지고, 그것을 제곱하면 밑면 넓이의 배수가 되며, 부피가 그대로여야 한다는 조건이 높이의 배수를 정해 준다. 부피 공식이 전과 후 모두 같은 꼴이므로 $\pi$와 문자 $r$, $h$가 약분되어, 새 높이가 옛 높이의 몇 배인지가 깔끔한 수로 남는다. 식을 세운 뒤에는 쉬운 구체적 수를 넣어 보는 것(도구 #9)이 퍼센트가 맞는지 빠르게 확인하는 독립적인 방법이 된다.
실행 — 정답: C
8.G.C.9 단계 1 크기에 이름 붙이고 부피 쓰기
- 원래 병의 밑면 반지름을 $r$, 높이를 $h$라 하자.
- 원기둥의 부피는 원 밑면의 넓이와 높이의 곱이므로 부피는 $\pi r^2 h$이다.
- 이렇게 써 두면 퍼센트를 머릿속에서 굴리는 대신, $r$과 $h$의 각 변화가 부피를 어떻게 움직이는지 정확히 따라갈 수 있다.
💡 모르는 크기에 이름을 붙이면 막연한 "몇 퍼센트" 질문이 실제로 균형을 맞출 수 있는 식으로 바뀐다.
7.RP.A.3 단계 2 넓어진 지름을 반지름 배수로 바꾸기
- 지름이 $25\%$ 커진다.
- 반지름은 지름의 정확히 절반이므로 반지름도 똑같이 $25\%$ 커진다.
- $25\%$ 증가는 $1 + 0.25 = 1.25 = \tfrac{5}{4}$를 곱하는 것이므로, 새 반지름은 $\tfrac{5}{4}r$이다.
💡 퍼센트 증가는 곧 배수이고, 지름을 절반으로 나눠 반지름을 얻어도 그 배수는 그대로다.
7.G.B.4 단계 3 반지름을 제곱해 새 밑면 넓이 구하기
- 밑면은 원이고 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 반지름의 제곱에 달려 있다.
- 반지름에 $\tfrac{5}{4}$를 곱하면 넓이에는 $\left(\tfrac{5}{4}\right)^2 = \tfrac{25}{16}$이 곱해진다.
- 즉 넓어진 밑면은 원래의 $\tfrac{25}{16} = 1.5625$배로, 지름이 $25\%$ 커졌을 뿐인데 넓이는 $56.25\%$ 증가한 것이다.
💡 넓이는 두 방향에 걸쳐 있으므로, 길이를 어떤 배수로 늘리면 넓이는 그 배수의 제곱으로 늘어난다.
7.RP.A.3 단계 4 부피를 같게 놓고 높이 감소율 읽기
- 새 부피는 새 밑면 넓이와 새 높이 $h'$의 곱, 즉 $\tfrac{25}{16}\pi r^2 \cdot h'$이다.
- 이를 옛 부피 $\pi r^2 h$와 같다고 놓는다.
- 양변에서 $\pi r^2$이 약분되어 $\tfrac{25}{16}h' = h$가 되고, 따라서 $h' = \tfrac{16}{25}h = 0.64\,h$이다.
- 새 높이는 옛 높이의 $64\%$이므로 감소량은 $1 - 0.64 = 0.36 = 36\%$이다.
- 이것이 선택지 (C)다.
💡 곱이 일정하게 유지되어야 하는데 한 인수가 커지면, 다른 인수는 정확히 그 역수만큼 작아진다.
8.G.C.9 원래 병의 밑면 반지름을 $r$, 높이를 $h$라 하자. 원기둥의 부피는 원 밑면의 넓이와 높이의 곱이므로 부피는 $\pi r^2 h$이다. 이 7.RP.A.3 지름이 $25\%$ 커진다. 반지름은 지름의 정확히 절반이므로 반지름도 똑같이 $25\%$ 커진다. $25\%$ 증가는 $1 + 0.25 = 1 7.G.B.4 밑면은 원이고 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 반지름의 제곱에 달려 있다. 반지름에 $\tfrac{5}{4}$를 곱하면 넓이에는 $\left 7.RP.A.3 새 부피는 새 밑면 넓이와 새 높이 $h'$의 곱, 즉 $\tfrac{25}{16}\pi r^2 \cdot h'$이다. 이를 옛 부피 $\pi 검토
합리성 확인: 밑면이 넓어졌으니 높이는 줄어야 한다. 그리고 넓이는 반지름의 제곱에 달려 있어 밑면이 많이($56.25\%$) 커졌으므로, 높이는 지름이 오른 $25\%$보다 더 많이 줄어야 한다. 그래서 (A) $10$과 (B) $25$는 너무 작아 제외되고, 옛 높이의 $0.64$는 절반 자르기와는 거리가 멀어 (D) $50$과 (E) $60$은 너무 커서 제외된다. $36\%$ 감소가 딱 맞는 자리다. 함정 답은 (B) $25$로, 제곱을 잊고 높이가 지름이 오른 만큼 그대로 줄어든다고 잘못 생각한 경우다.
대안 접근: 문자 대신 쉬운 구체적 수를 쓴다. 밑면 반지름을 $4$, 높이를 $25$로 잡으면 부피는 $\pi \cdot 4^2 \cdot 25 = 400\pi$이다. 지름을 $25\%$ 넓히면 반지름은 $5$가 되어 새 밑면 넓이는 $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$이다. 부피를 $400\pi$로 유지하려면 새 높이는 $400\pi \div 25\pi = 16$이다. 높이가 $25$에서 $16$으로, $25$ 중 $9$만큼 줄었으니 $\tfrac{9}{25} = 36\%$ — 같은 답, (C)이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.C.9Know the formulas for volumes of cones, cylinders, and spheres (병의 부피를 $\pi r^2 h$ (밑면 넓이 곱하기 높이)로 써서 변화들을 하나의 식에서 균형 맞추는 데 사용.)7.G.B.4Know the formulas for area and circumference of a circle (넓이 $=\pi r^2$을 이용해 밑면 넓이가 반지름 배수의 제곱 $\left(\tfrac{5}{4}\right)^2 = \tfrac{25}{16}$으로 커짐을 보는 데 사용.)7.RP.A.3Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ($25\%$ 지름 증가를 배수 $\tfrac{5}{4}$로 바꾸고, 높이 비 $0.64$를 다시 $36\%$ 감소로 읽는 데 사용.)
⭐ 원의 폭이 커지면 넓이는 그 배수의 제곱만큼 커지므로, 같은 부피를 유지하려면 높이는 폭이 커진 것보다 더 많이 줄어야 한다.
⭐ 원의 폭이 커지면 넓이는 그 배수의 제곱만큼 커지므로, 같은 부피를 유지하려면 높이는 폭이 커진 것보다 더 많이 줄어야 한다.
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