AMC 10 · 2004 · #13

학년 4 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

double-countingratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

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문제

파티에서 각 남자는 정확히 세 명의 여자와 춤을 추었고, 각 여자는 정확히 두 명의 남자와 춤을 추었습니다. 파티에는 남자가 $12$ 명 참석했습니다. 여자는 몇 명이 참석했습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 파티에서 각 남자는 정확히 3명의 여자와 춤을 추었고, 각 여자는 정확히 2명의 남자와 춤을 추었다. 남자는 12명이었다. 파티에 온 여자는 몇 명인지 구하여라.

주어진 것: 남자는 12명이었다.; 각 남자는 정확히 3명의 여자와 춤을 추었다.; 각 여자는 정확히 2명의 남자와 춤을 추었다.

구하는 것: 파티에 온 여자의 수.

이해

주어진 것: 남자는 12명이었다.; 각 남자는 정확히 3명의 여자와 춤을 추었다.; 각 여자는 정확히 2명의 남자와 춤을 추었다.

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #4 변수 도입하기

여기서 세어야 할 대상은 '남자-여자 춤 짝'이다. 똑같은 짝들의 모음을 두 가지 방법으로 셀 수 있다. 한 번은 남자들을 따라가며 세고, 한 번은 여자들을 따라가며 센다. 두 방법 모두 완전히 같은 집합을 말하므로 그 값은 반드시 같아야 한다. 남자 쪽에서 세면 곧바로 수가 나오고, 여자 쪽에서 세면 미지수가 든 식이 나오는데, 이 둘을 같다고 놓으면 여자의 수가 정해진다.

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 3.OA.A.1 단계 1

남자 쪽에서 춤 짝 세기

각 남자는 정확히 3명의 여자와 춤을 추었으므로 남자 한 명은 3개의 남자-여자 춤 짝을 만든다.
남자가 12명이므로 곱해서 파티의 전체 춤 짝 수를 구한다.

12 \times 3 = 36 \text{ 개의 춤 짝}

💡 3개짜리 묶음 12개는 3을 12번 더한 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 2

같은 짝을 여자 쪽에서 세기

여자의 수를 W라 하자.
각 여자는 정확히 2명의 남자와 춤을 추었으므로 여자 한 명은 2개의 춤 짝을 만들어, 전체는 2 곱하기 W개의 짝이 된다.
이것은 앞과 똑같은 춤들을 남자 대신 여자로 묶어 센 것이므로 반드시 36과 같아야 한다.

$$2 \times W = 36$$

💡 고정된 하나의 더미를 두 가지 방법으로 세면 합은 반드시 같다.

#4 변수 도입하기 3.OA.C.7 단계 3

여자의 수 구하기

36개의 춤 짝을 여자 한 명당 2개씩 묶음으로 나눈다.
36을 2로 나누면 여자가 몇 명인지 나온다.
결과는 18이며, 이는 보기 (D)이다.

$$W = 36 \div 2 = 18$$

💡 36개의 짝이 여자당 2개씩이면, 여자 수는 36 안에 2가 몇 번 들어가는지이다.

[1] #15 3.OA.A.1 각 남자는 정확히 3명의 여자와 춤을 추었으므로 남자 한 명은 3개의 남자-여자 춤 짝을 만든다. 남자가 12명이므로 곱해서 파티의 전체 춤 짝

[2] #4 4.OA.A.3 여자의 수를 W라 하자. 각 여자는 정확히 2명의 남자와 춤을 추었으므로 여자 한 명은 2개의 춤 짝을 만들어, 전체는 2 곱하기 W개의 짝이

[3] #4 3.OA.C.7 36개의 춤 짝을 여자 한 명당 2개씩 묶음으로 나눈다. 36을 2로 나누면 여자가 몇 명인지 나온다. 결과는 18이며, 이는 보기 (D)이다.

검토

합리성 확인: 두 방법의 값이 같은지 확인한다. 여자 18명 곱하기 여자당 남자 2명은 36번의 춤이고, 남자 12명 곱하기 남자당 여자 3명도 36이다. 양쪽이 일치하므로 18은 모순이 없다. 또한 여자가 남자보다 많은 것도 자연스러운데, 각 남자는 3명의 파트너를 만났지만 각 여자는 2명만 만났기 때문이다.

대안 접근: 비율을 바로 쓴다. 이 춤 규칙에서 남자 2명마다 여자 3명이 있으므로 여자는 남자보다 3 대 2 비율로 많다. 남자 12명에 3/2을 곱하면 여자 18명이 되어 답과 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (남자 12명에 각자 파트너 3명을 곱해 전체 춤 짝을 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (여자 쪽에서 센 같은 춤 짝이 36과 같아야 함을 알아내어 2 곱하기 W = 36을 세우는 데 사용.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (춤 짝 36개를 여자당 2개로 나누어 여자의 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 같은 연결을 양쪽에서 세어 두 값을 같다고 놓아라 — 그 식이 빠진 수를 알려 준다.