AMC 8 · 2017 · #12

학년 4 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

modular-arithmeticlcmmultiplesdivisibility-rules easier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

1 보다 크면서, 4 로 나누어도 5 로 나누어도 6 으로 나누어도 모두 나머지가 1 이 되는 가장 작은 양의 정수 N 을 구하고, 그 N 이 주어진 다섯 구간 중 어디에 들어가는지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\text{ and }19$

(B)

$20\text{ and }39$

(C)

$40\text{ and }59$

(D)

$60\text{ and }79$

(E)

$80\text{ and }124$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

세 가지 나머지 조건을 한 번에 다루려고 하면 막막하지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 를 쓰면 문제가 훨씬 가벼워집니다. "N 을 d 로 나눈 나머지가 1" 이라는 말은 "N - 1 이 d 의 배수" 와 똑같은 뜻이므로, N 을 직접 찾는 대신 N - 1 을 찾으면 됩니다. 즉 4, 5, 6 의 공배수 중 가장 작은 양수를 찾으면 끝 — 4학년 배수 개념만 있으면 충분합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 가장 큰 약수인 6 의 배수를 차례대로 적어 가며 4 와 5 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 찾고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 N 이 들어가는 구간을 확정합니다.

1STEP 1

나머지 1 은 N - 1 이 그 수로 나누어떨어진다는 뜻이라, 문제는 4, 5, 6 의 공배수 찾기로 바뀝니다.

N - 1 이 4, 5, 6 의 공배수

2STEP 2

6 의 배수 6, 12, ..., 60 중 4 와 5 로도 나누어떨어지는 첫 수는 60 — 4, 5, 6 의 최소 공배수.

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 — 60 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10

3STEP 3

1 을 다시 더해 되돌리면 N = 60 + 1 = 61. 다음 공배수 120 은 N = 121 로 훨씬 크므로 61 이 최소입니다.

N = 60 + 1 = 61

4STEP 4

61 을 구간에 대입하면 [2,19], [20,39], [40,59] 밖이고 80 보다 작으니 [60, 79], 즉 (D) 에 들어갑니다.

60 ＜ 61 ＜ 79 → (D)

정답

60 and 79

확인해 보면 61 ÷ 4 = 15 나머지 1, 61 ÷ 5 = 12 나머지 1, 61 ÷ 6 = 10 나머지 1 로 세 조건이 모두 성립하고, 61 ＞ 1 이므로 "1 보다 크다" 는 조건도 만족합니다. 61 보다 작은 후보가 있으려면 60 보다 작은 4, 5, 6 의 공배수가 있어야 하는데, 빠짐없이 나열로 그런 수가 없음을 확인했으므로 N = 61 이 정말 최소입니다. 따라서 61 은 60–79 구간 안에 있고 답은 (D).

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지 1 = 배수에서 1 더 간 자리" 라는 배수·나머지 감각만 있으면 풀 수 있어요!

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