AMC 10 · 2004 · #14

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangesystems-of-equations convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

폴라의 지갑에는 1센트, 5센트, 10센트, 25센트 동전만 들어 있고, 이 동전들의 평균 값어치는 20센트입니다. 25센트 동전 하나를 더 넣으면 평균이 21센트가 됩니다. 지갑에 10센트 동전이 몇 개 있는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 2$

(D)

$\ 3$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

10센트 동전의 개수는 평균에 관한 두 사실 뒤에 숨어 있고, 평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로, 숨어 있는 두 양 — 동전 개수와 전체 값어치 — 을 변수로 이름 붙입니다(도구 #4). 각 평균 사실을 방정식으로 바꾸어 두 식을 함께 풉니다(도구 #13); 이렇게 하면 동전이 정확히 몇 개인지, 합쳐서 얼마인지가 정해집니다. 그다음 그 정확한 총액을 만들 수 있는 동전 조합은 몇 가지뿐이므로, 맞는 조합을 나열하여(도구 #2) 10센트 동전이 몇 개로 정해지는지 봅니다.

1STEP 1

첫 번째 평균을 방정식으로 바꾸기

동전 개수를 $n$ , 전체 값어치를 $T$ 라고 하면 평균이 20센트이므로 $\frac{T}{n} = 20$ , 곧 $T = 20n$ 입니다.

T/n = 20 → T = 20n

2STEP 2

25센트 동전을 더하고 개수 구하기

25센트를 더하면 $\frac{T+25}{n+1} = 21$ 이고, $T = 20n$ 을 넣으면 $20n+25 = 21n+21$ , 곧 $n = 4$ , $T = 80$ 입니다.

20n + 25 = 21n + 21 → n = 4, T = 80

3STEP 3

80센트를 만드는 동전 나열하기

동전 4 개로 80센트는 $25+25+25+5$ 뿐이고, 25센트가 둘이면 남은 둘로 30센트를 못 만듭니다. 따라서 10센트 0 개, (A)입니다.

25+25+25+5 = 80 → 10센트 0 개, (A)

정답

찾은 동전을 직접 확인합니다: 25센트 세 개와 5센트 하나는 동전 4 개로 75+5 = 80 센트이고, 80 ÷ 4 = 20 센트 평균으로 첫 번째 사실과 맞습니다. 25센트 동전 하나를 더하면 동전 5 개에 105센트가 되고, 105 ÷ 5 = 21 센트로 두 번째 사실과 맞습니다. 두 조건 모두 10센트 동전이 0 개일 때 성립하므로 (A)가 일관됩니다. 평균이 오른 것도 자연스럽습니다: 25센트 동전은 옛 평균 20센트보다 크므로 평균을 끌어올립니다.

💡핵심 정리

평균 값어치는 전체를 동전 개수로 나눈 것이므로, 각 평균을 방정식으로 바꾸어 개수와 전체를 구한 다음, 어떤 동전들이 그 총액을 실제로 만들 수 있는지 확인하세요.

첫 번째 평균을 방정식으로 바꾸기
25센트 동전을 더하고 개수 구하기
80센트를 만드는 동전 나열하기

첫 번째 평균을 방정식으로 바꾸기

25센트 동전을 더하고 개수 구하기

80센트를 만드는 동전 나열하기

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