AMC 10 · 2004 · #14

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangesystems-of-equations convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

폴라의 지갑에 들어 있는 $1$ 센트, $5$ 센트, $10$ 센트, $25$ 센트 동전 전체의 평균 값어치는 $20$ 센트입니다. 만약 $25$ 센트 동전이 하나 더 있었다면 평균 값어치는 $21$ 센트가 됩니다. 그녀의 지갑에는 $10$ 센트 동전이 몇 개 들어 있습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 2$

(D)

$\ 3$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 폴라의 지갑에는 $1$센트, $5$센트, $10$센트, $25$센트 동전만 들어 있고, 이 동전들의 평균 값어치는 $20$센트입니다. $25$센트 동전 하나를 더 넣으면 평균이 $21$센트가 됩니다. 지갑에 $10$센트 동전이 몇 개 있는지 구하세요.

주어진 것: 지갑에는 $1$센트, $5$센트, $10$센트, $25$센트 동전만 들어 있습니다.; 모든 동전의 평균 값어치는 $20$센트입니다.; $25$센트 동전 하나를 더 넣으면 평균이 $21$센트가 됩니다.; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 지갑에 있는 $10$센트 동전의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

$10$센트 동전의 개수는 평균에 관한 두 사실 뒤에 숨어 있고, 평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로, 숨어 있는 두 양 — 동전 개수와 전체 값어치 — 을 변수로 이름 붙입니다(도구 #4). 각 평균 사실을 방정식으로 바꾸어 두 식을 함께 풉니다(도구 #13); 이렇게 하면 동전이 정확히 몇 개인지, 합쳐서 얼마인지가 정해집니다. 그다음 그 정확한 총액을 만들 수 있는 동전 조합은 몇 가지뿐이므로, 맞는 조합을 나열하여(도구 #2) $10$센트 동전이 몇 개로 정해지는지 봅니다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 1

첫 번째 평균을 방정식으로 바꾸기

평균은 전체를 개수로 나눈 것입니다.
지갑 속 동전 개수를 $n$, 그 전체 값어치(센트)를 $T$ 라고 합시다.
평균 값어치가 $20$센트이므로 $T \div n = 20$ 입니다.
양변에 $n$ 을 곱하면 $T = 20n$ 이 됩니다.
이 한 식이 전체 값어치와 동전 개수를 이어 줍니다.

$$\dfrac{T}{n} = 20 \;\Rightarrow\; T = 20n$$

💡 평균 값어치는 전체 값어치를 모든 동전에 똑같이 나눈 것이므로, 전체는 평균 곱하기 동전 개수입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

$25$센트 동전을 더하고 개수 구하기

$25$센트 동전 하나를 더하면 값어치가 $25$센트, 개수가 $1$ 늘어나고, 새 평균이 $21$센트이므로 $\dfrac{T+25}{n+1} = 21$ 입니다.
분수를 없애면 $T + 25 = 21(n+1) = 21n + 21$ 이 됩니다.
첫 번째 식에서 $T$ 를 $20n$ 으로 바꾸면 $20n + 25 = 21n + 21$ 입니다.
양변에서 $20n$ 과 $21$ 을 빼면 $4 = n$ 이 남습니다.
따라서 동전은 $n = 4$ 개이고, 전체 값어치는 $T = 20 \times 4 = 80$ 센트입니다.

$$20n + 25 = 21n + 21 \;\Rightarrow\; n = 4,\ T = 80$$

💡 같은 동전에 관한 두 사실이 두 방정식을 주고, 한쪽을 다른 쪽에 대입하면 미지수가 하나만 남아 풀 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.MD.C.8 단계 3

$80$센트를 만드는 동전 나열하기

이제 값어치의 합이 $80$센트가 되는 동전 $4$ 개를 찾습니다.
동전 $4$ 개만으로 $80$ 에 닿으려면 대부분 $25$센트 동전이어야 합니다.
$25$센트 동전 세 개는 $75$센트이고, 마지막 동전에 $5$센트가 남으므로 $5$센트 동전이면 맞습니다: $25+25+25+5 = 80$.
$25$센트 동전을 줄이면 안 됩니다: 두 개면 $30$센트를 동전 두 개로 채워야 하는데, $25$센트가 아닌 가장 큰 동전 두 개는 $10$센트 두 개로 $20$센트뿐이라 모자랍니다.
그래서 동전은 반드시 $25$센트 세 개와 $5$센트 하나입니다.
이러면 $10$센트 동전이 들어갈 자리가 없으므로 $10$센트 동전은 $0$ 개, 곧 선택지 (A)입니다.

$$25+25+25+5 = 80 \;\Rightarrow\; 10\text{센트 } 0 \text{개},\ \textbf{(A)}$$

💡 아주 적은 동전으로 큰 총액을 만들려면 가장 큰 동전이 강제되고, 그러면 $10$센트 동전이 완전히 밀려납니다.

[1] #4 6.SP.B.5 평균은 전체를 개수로 나눈 것입니다. 지갑 속 동전 개수를 $n$, 그 전체 값어치(센트)를 $T$ 라고 합시다. 평균 값어치가 $20$센트이므

[2] #13 8.EE.C.7 $25$센트 동전 하나를 더하면 값어치가 $25$센트, 개수가 $1$ 늘어나고, 새 평균이 $21$센트이므로 $\dfrac{T+25}{n+1}

[3] #2 2.MD.C.8 이제 값어치의 합이 $80$센트가 되는 동전 $4$ 개를 찾습니다. 동전 $4$ 개만으로 $80$ 에 닿으려면 대부분 $25$센트 동전이어야 합

검토

합리성 확인: 찾은 동전을 직접 확인합니다: $25$센트 세 개와 $5$센트 하나는 동전 $4$ 개로 $75+5 = 80$ 센트이고, $80 \div 4 = 20$ 센트 평균으로 첫 번째 사실과 맞습니다. $25$센트 동전 하나를 더하면 동전 $5$ 개에 $105$센트가 되고, $105 \div 5 = 21$ 센트로 두 번째 사실과 맞습니다. 두 조건 모두 $10$센트 동전이 $0$ 개일 때 성립하므로 (A)가 일관됩니다. 평균이 오른 것도 자연스럽습니다: $25$센트 동전은 옛 평균 $20$센트보다 크므로 평균을 끌어올립니다.

대안 접근: 방정식을 풀지 않고 평균 자체로 생각합니다. 지금 평균인 $20$센트짜리 동전을 더하면 평균은 그대로입니다. 더한 $25$센트 동전은 그 평균보다 $5$센트 높고, 이 남는 $5$센트가 새 동전 더미 전체에 나눠집니다. 이 $5$센트가 평균을 정확히 $1$센트만 올리려면 새 더미가 $5$ 개여야 하므로, 지갑에는 처음에 $4$ 개, 합쳐서 $80$센트가 있었습니다. 그다음 동전을 나열하면 $25$센트 세 개와 $5$센트 하나로 정해져 $10$센트 동전은 $0$ 개입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.SP.B.5 수치 자료 집합을 관측 수와 대푯값으로 요약한다 (평균 값어치를 전체 값어치를 동전 개수로 나눈 것으로 읽어 $T = 20n$ 을 세우는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식(미지수 한 개)을 푼다 (미지수가 양변에 있는 $20n + 25 = 21n + 21$ 을 풀어 동전 개수 $n = 4$ 와 전체 $T = 80$ 을 구하는 데 사용.)
2.MD.C.8 지폐와 $25$·$10$·$5$·$1$센트 동전이 나오는 문장제를 해결한다 ($80$센트를 만드는 동전 $4$ 개 — $25$센트 세 개와 $5$센트 하나 — 를 찾아 $10$센트 동전 개수를 $0$ 으로 확정하는 데 사용.)

⭐ 평균 값어치는 전체를 동전 개수로 나눈 것이므로, 각 평균을 방정식으로 바꾸어 개수와 전체를 구한 다음, 어떤 동전들이 그 총액을 실제로 만들 수 있는지 확인하세요.