AMC 10 · 2004 · #18

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

sequences-arithmeticsequences-geometricquadratic-equations convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 개의 실수가 첫째 항이 $9$ 인 등차수열을 이룹니다. 둘째 항에 $2$ 를 더하고 셋째 항에 $20$ 을 더하면, 그 결과로 나온 세 수가 등비수열을 이룹니다. 이 등비수열의 셋째 항이 가질 수 있는 가장 작은 값은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 36$

(D)

$\ 49$

(E)

$\ 81$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 개의 실수가 첫째 항이 $9$ 인 등차수열을 이룹니다. 둘째 항에 $2$ 를 더하고 셋째 항에 $20$ 을 더하면, 세 개의 새 수가 등비수열을 이룹니다. 그 등비수열의 셋째 항이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

주어진 것: 원래 세 수는 등차수열입니다(각 항에서 다음 항으로 갈 때 일정한 수를 더합니다).; 등차수열의 첫째 항은 $9$ 입니다.; 둘째 항에 $2$ 를 더하고 셋째 항에 $20$ 을 더하면 세 수가 등비수열을 이룹니다(각 항은 앞 항의 일정한 배수입니다).; 선택지: (A) $1$, (B) $4$, (C) $36$, (D) $49$, (E) $81$

구하는 것: 등비수열의 셋째 항이 가질 수 있는 가장 작은 값.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #14 극단의 원리

공차를 $d$ 로 이름 붙입니다(도구 #4): 그러면 등차수열 항은 $9$, $9+d$, $9+2d$ 이고, 더하기를 적용한 뒤 등비수열 항은 $9$, $11+d$, $29+2d$ 입니다. 등비수열의 조건 — 가운데 항의 제곱이 양 끝 항의 곱과 같다 — 은 상황 전체를 $d$ 에 대한 하나의 방정식으로 바꾸는데(도구 #13), 이는 이차방정식입니다. 이차방정식은 두 해를 가질 수 있으므로 유효한 공차가 둘일 수 있고 따라서 셋째 항도 둘일 수 있습니다. "가장 작은"이라는 말은 완전히 풀고 나서 최솟값을 고르라는 신호입니다(도구 #14, 극단의 원리) — 함정은 (양의 공차) 첫 번째 답 $49$ 에서 멈춰 음의 공차가 만드는 더 작은 값을 놓치는 것입니다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 1

공차에 이름 붙이기

등차수열의 공차를 $d$ 라고 합시다.
$9$ 에서 시작하면 세 항은 $9$, $9+d$, $9+2d$ 입니다.
이제 변화를 적용합니다: 첫째 항에는 아무것도 더하지 않고, 둘째 항에 $2$, 셋째 항에 $20$ 을 더합니다.
그래서 등비수열의 세 수는 $9$, $(9+d)+2 = 11+d$, $(9+2d)+20 = 29+2d$ 입니다.

$$\text{등차: } 9,\; 9+d,\; 9+2d \quad\Rightarrow\quad \text{등비: } 9,\; 11+d,\; 29+2d$$

💡 공차라는 하나의 미지수가 세 항을 모두 결정하므로, 그것에 이름을 붙이면 문제 전체를 담아냅니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

등비수열의 규칙 쓰기

등비수열에서는 이웃한 항 사이의 비가 같으므로 $\frac{11+d}{9} = \frac{29+2d}{11+d}$ 입니다.
교차곱을 하면 가운데 항의 제곱이 바깥 두 항의 곱과 같다는 표준 성질이 나옵니다: $(11+d)^2 = 9(29+2d)$.
양변을 전개합니다: $121 + 22d + d^2 = 261 + 18d$.
모두 한쪽으로 옮기면 $d^2 + 22d - 18d + 121 - 261 = 0$, 즉 $d^2 + 4d - 140 = 0$ 이 됩니다.

$$(11+d)^2 = 9(29+2d) \;\Rightarrow\; d^2 + 4d - 140 = 0$$

💡 비가 같으면 교차곱으로 '가운데 제곱 = 양 끝의 곱'이 되어, 이 패턴이 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀝니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

공차 구하기

$d^2 + 4d - 140 = 0$ 을 근의 공식으로 풉니다: $d = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-140)}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 560}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{576}}{2}$.
$\sqrt{576} = 24$ 이므로 $d = \dfrac{-4 + 24}{2} = 10$ 또는 $d = \dfrac{-4 - 24}{2} = -14$ 입니다.
둘 다 실수이므로 둘 다 유효한 공차입니다.

$$d = \frac{-4 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-4 \pm 24}{2} \;\Rightarrow\; d = 10 \text{ 또는 } d = -14$$

💡 이차방정식은 두 답을 담을 수 있고, 각각이 실제로 다른 수열을 만들므로 둘 다 남겨야 합니다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 4

가장 작은 셋째 항 고르기

등비수열의 셋째 항은 $29 + 2d$ 입니다.
$d = 10$ 일 때: $29 + 2(10) = 49$.
$d = -14$ 일 때: $29 + 2(-14) = 29 - 28 = 1$.
$49$ 와 $1$ 모두 가능하므로 가장 작은 값은 $1$ 입니다.
이는 선택지 (A)입니다.
양의 공차 $d=10$ 에서 멈추면 잘못하여 $49$(선택지 (D))가 나오고, 음의 공차가 진짜 최솟값을 만듭니다.

$$29 + 2(10) = 49, \quad 29 + 2(-14) = 1 \;\Rightarrow\; \min = 1 = \textbf{(A)}$$

💡 '가질 수 있는 가장 작은 값'은 유효한 모든 경우를 비교하라는 뜻이고, 음의 공차가 양의 공차를 이길 수 있습니다.

[1] #4 7.EE.B.4 등차수열의 공차를 $d$ 라고 합시다. $9$ 에서 시작하면 세 항은 $9$, $9+d$, $9+2d$ 입니다. 이제 변화를 적용합니다: 첫째

[2] #13 7.EE.A.1 등비수열에서는 이웃한 항 사이의 비가 같으므로 $\frac{11+d}{9} = \frac{29+2d}{11+d}$ 입니다. 교차곱을 하면 가운데

[3] #13 8.EE.A.2 $d^2 + 4d - 140 = 0$ 을 근의 공식으로 풉니다: $d = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-140)}}{

[4] #14 7.EE.B.4 등비수열의 셋째 항은 $29 + 2d$ 입니다. $d = 10$ 일 때: $29 + 2(10) = 49$. $d = -14$ 일 때: $29 +

검토

합리성 확인: 두 수열을 직접 확인합니다. $d=-14$ 이면 등차수열 항은 $9, -5, -19$ 이고, $2$ 와 $20$ 을 더하면 $9, -3, 1$ 이 되며, 비 $\frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ 과 $\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$ 이 일치하므로 셋째 항이 $1$ 인 진짜 등비수열입니다. $d=10$ 이면 $9, 19, 29$ 가 $9, 21, 49$ 가 되고, 비 $\frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ 과 $\frac{49}{21} = \frac{7}{3}$ 도 유효하며 셋째 항은 $49$ 입니다. $1$ 과 $49$ 모두 선택지에 있고 $1$ 이 더 작으므로 (A)가 확인됩니다.

대안 접근: 대신 공비 $r$ 을 도입합니다(도구 #4). 등비수열은 $9, 9r, 9r^2$ 이므로 원래 등차수열 항은 $9,\, 9r-2,\, 9r^2-20$ 이었습니다. 등차라는 것은 간격이 같다는 뜻입니다: $(9r-2)-9 = (9r^2-20)-(9r-2)$, 이를 정리하면 $9r^2 - 18r - 7 = 0$ 입니다. 근의 공식으로 $r = \frac{18 \pm \sqrt{324+252}}{18} = \frac{18 \pm 24}{18}$, 즉 $r = \frac{7}{3}$ 또는 $r = -\frac{1}{3}$ 입니다. 셋째 항 $9r^2$ 은 $9\cdot\frac{49}{9}=49$ 또는 $9\cdot\frac{1}{9}=1$ 로, 같은 최솟값 $1$ 을 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.EE.B.4 변수를 사용하여 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 (공차 $d$ 에 이름을 붙이고 세 항을 모두 그것으로 나타내며, 각 해에 대해 셋째 항 $29+2d$ 를 계산하는 데 사용.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용하여 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개한다 ($(11+d)^2$ 과 $9(29+2d)$ 를 전개하고 동류항을 모아 $d^2+4d-140=0$ 에 이르는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 (근의 공식에서 $\sqrt{576}=24$ 를 계산하여 $d=10$ 과 $d=-14$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 문제가 가능한 가장 작은 값을 물으면 먼저 모든 경우를 풀어 보세요 — 음의 공차가 뻔한 양의 공차보다 더 작은 답을 줄 수 있습니다.