AMC 10 · 2004 · #18

학년 8 algebra

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sequences-arithmeticsequences-geometricquadratic-equations convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 개의 실수가 첫째 항이 9인 등차수열을 이룹니다. 둘째 항에 2를 더하고 셋째 항에 20을 더하면, 세 개의 새 수가 등비수열을 이룹니다. 그 등비수열의 셋째 항이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 36$

(D)

$\ 49$

(E)

$\ 81$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

공차를 d 로 이름 붙입니다(도구 #4): 그러면 등차수열 항은 9, 9+d, 9+2d 이고, 더하기를 적용한 뒤 등비수열 항은 9, 11+d, 29+2d 입니다. 등비수열의 조건 — 가운데 항의 제곱이 양 끝 항의 곱과 같다 — 은 상황 전체를 d 에 대한 하나의 방정식으로 바꾸는데(도구 #13), 이는 이차방정식입니다. 이차방정식은 두 해를 가질 수 있으므로 유효한 공차가 둘일 수 있고 따라서 셋째 항도 둘일 수 있습니다. "가장 작은"이라는 말은 완전히 풀고 나서 최솟값을 고르라는 신호입니다(도구 #14, 극단의 원리) — 함정은 (양의 공차) 첫 번째 답 49 에서 멈춰 음의 공차가 만드는 더 작은 값을 놓치는 것입니다.

1STEP 1

공차에 이름 붙이기

공차를 d라 하면 등차수열은 9, 9+d, 9+2d이고, 더한 뒤 등비수열은 9, 11+d, 29+2d입니다.

등차: 9, 9+d, 9+2d → 등비: 9, 11+d, 29+2d

2STEP 2

등비수열의 규칙 쓰기

비가 같으므로 가운데 제곱 = 양 끝의 곱, 즉 (11+d)² = 9(29+2d)이고 정리하면 d² + 4d - 140 = 0입니다.

(11+d)² = 9(29+2d) → d² + 4d - 140 = 0

3STEP 3

공차 구하기

d² + 4d - 140 = 0을 풀면 d = 10 또는 d = -14이고, 둘 다 실수라 모두 유효한 공차입니다.

d = (-4 ± √(576))/2 = (-4 ± 24)/2 → d = 10 또는 d = -14

4STEP 4

가장 작은 셋째 항 고르기

셋째 항은 29 + 2d이므로 d = 10이면 49, d = -14이면 1이고, 가장 작은 값은 1입니다.

29 + 2(10) = 49, 29 + 2(-14) = 1 → min = 1 = (A)

정답

두 수열을 직접 확인합니다. d=-14이면 등차수열 항은 9, -5, -19이고, 2와 20을 더하면 9, -3, 1이 되며, 비 -3/9 = -1/3과 1/-3 = -1/3이 일치하므로 셋째 항이 1 인 진짜 등비수열입니다. d=10이면 9, 19, 29가 9, 21, 49가 되고, 비 21/9 = 7/3과 49/21 = 7/3도 유효하며 셋째 항은 49입니다. 1과 49 모두 선택지에 있고 1이 더 작으므로 (A)가 확인됩니다.

💡핵심 정리

문제가 가능한 가장 작은 값을 물으면 먼저 모든 경우를 풀어 보세요 — 음의 공차가 뻔한 양의 공차보다 더 작은 답을 줄 수 있습니다.

공차에 이름 붙이기
등비수열의 규칙 쓰기
공차 구하기
가장 작은 셋째 항 고르기

공차에 이름 붙이기

등비수열의 규칙 쓰기

공차 구하기

가장 작은 셋째 항 고르기

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