AMC 10 · 2004 · #2
학년 7 arithmeticb=c 인 임의의 세 실수 a, b, c 에 대하여, 연산 ⊗ 는 다음과 같이 정의됩니다.
⊗(a,b,c)=b−ca
⊗(⊗(1,2,3),⊗(2,3,1),⊗(3,1,2)) 의 값은 얼마입니까?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 개의 입력을 받는 연산이 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$ 로 정의되며, $b\neq c$ 일 때 유효합니다. 중첩된 식 $\otimes\big(\otimes(1,2,3),\,\otimes(2,3,1),\,\otimes(3,1,2)\big)$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 규칙 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$: 첫 번째 입력이 분자로, 두 번째에서 세 번째를 뺀 값이 분모로 들어갑니다.; 안쪽 세 호출은 $\otimes(1,2,3)$, $\otimes(2,3,1)$, $\otimes(3,1,2)$ 입니다.; 선택지: (A) $-\tfrac{1}{2}$, (B) $-\tfrac{1}{4}$, (C) $0$, (D) $\tfrac{1}{4}$, (E) $\tfrac{1}{2}$.
구하는 것: 중첩된 식 전체가 나타내는 하나의 수.
이해
문제 재정리: 세 개의 입력을 받는 연산이 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$ 로 정의되며, $b\neq c$ 일 때 유효합니다. 중첩된 식 $\otimes\big(\otimes(1,2,3),\,\otimes(2,3,1),\,\otimes(3,1,2)\big)$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 규칙 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$: 첫 번째 입력이 분자로, 두 번째에서 세 번째를 뺀 값이 분모로 들어갑니다.; 안쪽 세 호출은 $\otimes(1,2,3)$, $\otimes(2,3,1)$, $\otimes(3,1,2)$ 입니다.; 선택지: (A) $-\tfrac{1}{2}$, (B) $-\tfrac{1}{4}$, (C) $0$, (D) $\tfrac{1}{4}$, (E) $\tfrac{1}{2}$.
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
이 식은 하나의 연산이 자기 자신의 세 복사본을 감싸고 있으므로, 깔끔한 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): 먼저 안쪽 세 $\otimes$ 호출을 계산하고, 그 세 수를 바깥쪽 $\otimes$ 에 넣습니다. 함정은 온통 부호입니다 — 안쪽 두 호출이 음수로 나오고, 바깥쪽 분모는 음수를 빼는 계산입니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리합니다: 결과가 음의 분수임이 드러나면 양수 선택지 $0$, $\tfrac14$, $\tfrac12$ 는 사라지고, 크기만으로 $-\tfrac12$ 와 $-\tfrac14$ 사이를 정합니다.
실행 — 정답: B
6.EE.A.2 단계 1 연산 해독하기
- 규칙 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$ 는 하나의 기계입니다: 첫 번째 수를 분자에, 두 번째 수에서 세 번째 수를 뺀 값을 분모에 놓습니다.
- 이 식은 다른 세 $\otimes$ 결과에 대한 $\otimes$ 이므로, 괄호 속의 괄호처럼 안쪽 세 호출을 먼저 계산해야 합니다.
💡 정의된 연산은 빈칸을 채우는 공식일 뿐이므로, 계산 전에 각 수가 어느 자리에 들어가는지 먼저 읽습니다.
7.NS.A.2 단계 2 안쪽 세 호출 계산하기
- 각 안쪽 세 수에 규칙을 적용합니다.
- $\otimes(1,2,3)=\dfrac{1}{2-3}=\dfrac{1}{-1}=-1$.
- $\otimes(2,3,1)=\dfrac{2}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1$.
- $\otimes(3,1,2)=\dfrac{3}{1-2}=\dfrac{3}{-1}=-3$.
- 분모가 음수라서 셋 중 둘이 음수로 나옵니다.
💡 양수를 음수로 나누면 음수이므로, 각 분모의 부호가 각 안쪽 값의 부호를 결정합니다.
7.NS.A.1 단계 3 바깥쪽 호출 세우기
- 안쪽 세 결과 $-1$, $1$, $-3$ 이 순서대로 바깥쪽 입력이 되므로, $\otimes(-1,1,-3)=\dfrac{-1}{1-(-3)}$ 이 필요합니다.
- 분모는 $1-(-3)$ 인데, $-3$ 을 빼는 것은 $3$ 을 더하는 것과 같으므로 $1-(-3)=1+3=4$ 입니다.
💡 음수를 빼는 것은 덧셈으로 바뀌며, 숨은 부호 실수가 가장 잘 끼어드는 지점이 바로 여기입니다.
7.NS.A.2 단계 4 마무리하고 함정 지우기
- 바깥쪽 값은 $\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$ 입니다: 음수 분자에 양수 분모라 음수 그대로입니다.
- 이것이 선택지 (B)입니다.
- 부호가 음이 아닌 선택지 $0$ (C), $\tfrac14$ (D), $\tfrac12$ (E)를 지우고, 크기가 $-\tfrac12$ (A)를 배제합니다 — (A)는 분모가 $4$ 가 아니라 $2$ 여야 하기 때문입니다.
- 따라서 답은 (B)입니다.
💡 부호를 먼저 정하면 선택지의 절반이 사라지고, 그다음 분모의 크기가 어느 음의 분수인지 짚어 줍니다.
6.EE.A.2 규칙 $\otimes(a,b,c)=\dfrac{a}{b-c}$ 는 하나의 기계입니다: 첫 번째 수를 분자에, 두 번째 수에서 세 번째 수를 뺀 7.NS.A.2 각 안쪽 세 수에 규칙을 적용합니다. $\otimes(1,2,3)=\dfrac{1}{2-3}=\dfrac{1}{-1}=-1$. $\otimes( 7.NS.A.1 안쪽 세 결과 $-1$, $1$, $-3$ 이 순서대로 바깥쪽 입력이 되므로, $\otimes(-1,1,-3)=\dfrac{-1}{1-(-3)} 7.NS.A.2 바깥쪽 값은 $\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$ 입니다: 음수 분자에 양수 분모라 음수 그대로입니다. 이것이 선택지 (B)입니 검토
합리성 확인: 최종 분수는 $\dfrac{-1}{4}$ 로, $-0.25$ 에 가까운 작은 음수입니다. 분자($-1$)가 음수이고 분모($4$)가 양수이므로 음수여야 하며, 이는 음이 아닌 선택지들을 즉시 배제합니다. 크기는 반이 아니라 사분의 일이므로 $-\tfrac12$ 는 너무 크고 $-\tfrac14$ 이 맞습니다. 두 확인 모두 (B)에 도달합니다.
대안 접근: 부호만 먼저 추적합니다. 안쪽 값은 $-1$, $1$, $-3$ 이므로 바깥쪽 호출은 $\dfrac{\text{음수}}{\text{양수}}$ 이고 반드시 음수입니다 — 이것만으로 (C), (D), (E)가 제거됩니다. 그런 다음 크기 $\dfrac{1}{4}$ 만 계산하여 (A) 대신 (B)를 고릅니다. 부호-크기 순서로 같은 글자에 도달하는 것이 식 전체를 다시 계산하지 않고도 답을 확인해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 (정의 $\otimes(a,b,c)=\frac{a}{b-c}$ 를 공식으로 읽고 각 세 수를 올바른 자리에 대입하는 데 사용.)7.NS.A.1덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수로 확장하여 적용한다 (음수를 빼는 것을 덧셈으로 바꾸어 바깥쪽 분모 $1-(-3)=4$ 를 계산하는 데 사용.)7.NS.A.2곱셈과 나눗셈의 이해를 유리수로 확장하여 적용한다 (부호 있는 수를 나누어 안쪽 값 $-1,1,-3$ 과 최종 결과 $-\frac{1}{4}$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ 연산이 자기 안에 중첩되어 있으면 안쪽 조각을 먼저 모두 끝낸 뒤, 그 수들을 바깥쪽 규칙에 넣으세요 — 그리고 매 단계 마이너스 부호를 살피세요.
⭐ 연산이 자기 안에 중첩되어 있으면 안쪽 조각을 먼저 모두 끝낸 뒤, 그 수들을 바깥쪽 규칙에 넣으세요 — 그리고 매 단계 마이너스 부호를 살피세요.
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