AMC 10 · 2004 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequenceexponentstriangular-numbers pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

함수 f는 두 규칙을 따른다: f(1) = 1이고, 모든 양의 정수 n에 대해 f(2n) = n 곱하기 f(n)이다. 이 규칙만 사용하여 2의 100제곱에서의 f의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2^{99}$

(C)

$\ 2^{100}$

(D)

$\ 2^{4950}$

(E)

$\ 2^{9999}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

지수 100은 바로 공략하기 불가능하므로, 먼저 손으로 규칙을 적용할 수 있는 작은 2의 거듭제곱 — f(2), f(4), f(8), f(16) — 에서 f를 구한다. 각 결과를 2의 거듭제곱으로 적으면 지수에서 깔끔한 패턴이 드러난다. 패턴이 분명해지면 같은 규칙이 매 두 배마다 지수가 어떻게 커지는지 정확히 보여 주어, 문제 전체가 0부터 99까지의 수를 더하는 하나의 합으로 바뀐다.

1STEP 1

작은 2의 거듭제곱 구하기

f(1) = 1에서 시작해 f(2), f(4), f(8), f(16)을 차례로 구하고 2의 거듭제곱으로 적는다.

f(2)=1 · f(1)=1=2⁰, f(4)=2 · f(2)=2=2¹, f(8)=4 · f(4)=8=2³, f(16)=8 · f(8)=64=2⁶

2STEP 2

지수가 어떻게 커지는지 보기

지수 0, 1, 3, 6은 f(2ᵏ)→f(2ᵏ⁺¹)에서 2ᵏ를 곱해 쌓인 값이고, f(2¹⁰⁰)의 지수는 0 + 1 + … + 99이다.

f(2^k+1)=2^k · f(2^k) → f(2¹⁰⁰)의 지수 = 0+1+2+…+99

3STEP 3

0부터 99까지 더해 답 읽기

양 끝을 짝지으면 0 + 99, 1 + 98, …로 99짜리 50쌍이니 합은 4950, 즉 f(2¹⁰⁰) = 2⁴⁹⁵⁰ (D)이다.

0+1+…+99=(99 · 100)/2=50 × 99=4950 → f(2¹⁰⁰)=2⁴⁹⁵⁰

정답

2⁴⁹⁵⁰

지수 0, 1, 3, 6은 누적 합 0, 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3과 정확히 일치하므로, 누적 합 아이디어는 손으로 계산한 경우들과 딱 들어맞는다. 최종 지수 4950도 0부터 99까지 더하는 표준 계산인 99 곱하기 100 나누기 2와 같다. 답은 거대한 2의 거듭제곱인데, 매 단계마다 점점 큰 2의 거듭제곱을 곱하는 규칙에 잘 맞고, 제시된 보기 중 하나에 정확히 떨어진다.

💡핵심 정리

규칙에 바로 대입하기엔 너무 클 때는 처음 몇 경우를 해 보고 거듭제곱으로 적어라 — 지수의 패턴이 무거운 일을 대신 해 준다.

작은 2의 거듭제곱 구하기
지수가 어떻게 커지는지 보기
0부터 99까지 더해 답 읽기

작은 2의 거듭제곱 구하기

지수가 어떻게 커지는지 보기

0부터 99까지 더해 답 읽기

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