AMC 10 · 2004 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequenceexponentstriangular-numbers pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

함수 $f$ 가 다음 성질을 만족합니다.

(i) $f(1) = 1$ ,

(ii) 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $f(2n) = n \cdot f(n)$ .

$f(2^{100})$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2^{99}$

(C)

$\ 2^{100}$

(D)

$\ 2^{4950}$

(E)

$\ 2^{9999}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 함수 f는 두 규칙을 따른다: f(1) = 1이고, 모든 양의 정수 n에 대해 f(2n) = n 곱하기 f(n)이다. 이 규칙만 사용하여 2의 100제곱에서의 f의 값을 구하여라.

주어진 것: f(1) = 1.; 모든 양의 정수 n에 대해 f(2n) = n \cdot f(n).

구하는 것: f(2^{100})의 값.

이해

주어진 것: f(1) = 1.; 모든 양의 정수 n에 대해 f(2n) = n \cdot f(n).

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

지수 100은 바로 공략하기 불가능하므로, 먼저 손으로 규칙을 적용할 수 있는 작은 2의 거듭제곱 — f(2), f(4), f(8), f(16) — 에서 f를 구한다. 각 결과를 2의 거듭제곱으로 적으면 지수에서 깔끔한 패턴이 드러난다. 패턴이 분명해지면 같은 규칙이 매 두 배마다 지수가 어떻게 커지는지 정확히 보여 주어, 문제 전체가 0부터 99까지의 수를 더하는 하나의 합으로 바뀐다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

작은 2의 거듭제곱 구하기

f(1) = 1에서 시작해 f(2n) = n \cdot f(n)으로 올라간다.
매번 n은 두 배로 만드는 수이다.
f(2)는 n = 1을, f(4)는 n = 2를, f(8)은 n = 4를, f(16)은 n = 8을 쓴다.
그런 다음 각 답을 2의 거듭제곱으로 다시 적어 패턴이 보이게 한다.

$$f(2)=1\cdot f(1)=1=2^{0},\quad f(4)=2\cdot f(2)=2=2^{1},\quad f(8)=4\cdot f(4)=8=2^{3},\quad f(16)=8\cdot f(8)=64=2^{6}$$

💡 처음 몇 개의 2의 거듭제곱을 해 보면 추상적인 규칙이 눈으로 볼 수 있는 구체적인 수로 바뀐다.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 2

지수가 어떻게 커지는지 보기

지금까지의 지수는 f(2^{1}), f(2^{2}), f(2^{3}), f(2^{4})에 대해 0, 1, 3, 6이다.
왜 그런지 보자: f(2^{k})에서 f(2^{k+1})로 갈 때 n = 2^{k}를 쓰므로 2^{k}를 곱한다.
2^{k}를 곱하면 지수에 k가 더해진다.
그래서 f(2^{k})의 지수는 누적 합 0 + 1 + 2 + \cdots + (k-1)이다.
f(2^{100})에 도달하려면 지수는 0부터 99까지 모든 자연수의 합이다.

f(2^{k+1})=2^{k}\cdot f(2^{k}) \;\Rightarrow\; f(2^{100})\text{의 지수} = 0+1+2+\cdots+99

💡 매번 두 배로 늘 때마다 다음 2의 거듭제곱을 곱하므로 지수가 차곡차곡 쌓인다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 3

0부터 99까지 더해 답 읽기

0부터 99까지의 자연수를 더한다.
양 끝에서 짝을 짓는다: 0 + 99, 1 + 98, 2 + 97, 이런 식으로.
이런 짝이 50개이고 각 짝의 합은 99이므로, 합은 50 \times 99 = 4950이다.
따라서 f(2^{100}) = 2^{4950}이며, 이는 보기 (D)이다.

$$0+1+\cdots+99=\frac{99\cdot 100}{2}=50\times 99=4950 \;\Rightarrow\; f(2^{100})=2^{4950}$$

💡 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 곱셈 한 번으로 합이 끝난다.

[1] #9 4.OA.C.5 f(1) = 1에서 시작해 f(2n) = n \cdot f(n)으로 올라간다. 매번 n은 두 배로 만드는 수이다. f(2)는 n = 1을, f(

[2] #5 8.EE.A.1 지금까지의 지수는 f(2^{1}), f(2^{2}), f(2^{3}), f(2^{4})에 대해 0, 1, 3, 6이다. 왜 그런지 보자: f(2

[3] #5 5.NBT.B.5 0부터 99까지의 자연수를 더한다. 양 끝에서 짝을 짓는다: 0 + 99, 1 + 98, 2 + 97, 이런 식으로. 이런 짝이 50개이고 각

검토

합리성 확인: 지수 0, 1, 3, 6은 누적 합 0, 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3과 정확히 일치하므로, 누적 합 아이디어는 손으로 계산한 경우들과 딱 들어맞는다. 최종 지수 4950도 0부터 99까지 더하는 표준 계산인 99 곱하기 100 나누기 2와 같다. 답은 거대한 2의 거듭제곱인데, 매 단계마다 점점 큰 2의 거듭제곱을 곱하는 규칙에 잘 맞고, 제시된 보기 중 하나에 정확히 떨어진다.

대안 접근: 위로 올라가는 대신 규칙을 아래로 한 줄에 펼친다: f(2^{100}) = 2^{99}\cdot f(2^{99}) = 2^{99}\cdot 2^{98}\cdot f(2^{98}) = \cdots = 2^{99}\cdot 2^{98}\cdots 2^{1}\cdot 2^{0}\cdot f(1). 2의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지므로 2^{99+98+\cdots+0}=2^{4950}이 되어 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (f(2n)=n\cdot f(n)을 적용해 f(2), f(4), f(8), f(16)을 만들고 각각을 2의 거듭제곱으로 적는 데 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents (f(2^{k})에 2^{k}를 곱하면 지수에 k가 더해짐을 알아내어, f(2^{100})의 지수가 0+1+\cdots+99임을 밝히는 데 사용.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (0부터 99까지를 50개의 99 짝으로 묶어 50\times 99 = 4950을 계산하는 데 사용.)

⭐ 규칙에 바로 대입하기엔 너무 클 때는 처음 몇 경우를 해 보고 거듭제곱으로 적어라 — 지수의 패턴이 무거운 일을 대신 해 준다.