AMC 10 · 2004 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

multi-digit-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: mental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Bertha에게는 딸이 $6$ 명 있고 아들은 없습니다. 딸들 중 일부는 각자 딸을 $6$ 명씩 두었고, 나머지는 딸이 없습니다. Bertha의 딸과 손녀를 모두 합하면 $30$ 명이고, 증손녀는 없습니다. Bertha의 딸과 손녀 중에서 딸이 없는 사람은 몇 명입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 버사에게는 딸이 6명 있다. 이 딸들 중 몇 명은 각자 딸을 정확히 6명씩 두었고, 나머지는 딸이 없다. 딸과 손녀를 모두 합하면 30명이고, 그 다음 세대는 아무도 없다. 이 30명 중에서 딸이 없는 사람이 몇 명인지 구하여라.

주어진 것: 버사에게는 딸이 6명 있고 아들은 없다.; 자녀가 있는 딸은 각자 딸을 정확히 6명씩 두었고, 나머지 딸은 0명이다.; 딸과 손녀를 합한 수는 30명이다.; 증손녀는 없다.

구하는 것: 버사의 딸과 손녀 중에서 딸이 없는 사람의 수.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기

30이라는 수는 두 세대를 섞어 놓은 것이므로, 먼저 고정된 딸 6명을 떼어 내어 손녀의 수를 구하고, 그 값으로 엄마가 된 딸이 몇 명인지 구한다. 이 조각들을 알고 나면, 딸이 없는 사람은 손녀와 자녀 없는 딸을 더한 것에 불과하므로 전체 문제가 몇 개의 작은 세기 단계로 쪼개진다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 1

손녀의 수 세기

30명은 버사의 딸 6명과 모든 손녀를 합한 것이다.
딸 6명은 항상 포함되어 있으므로, 30에서 이를 빼면 손녀가 몇 명인지 알 수 있다.

30 - 6 = 24 \text{ 손녀}

💡 전체는 두 무리를 포개 놓은 것이므로, 이미 아는 무리를 떼어 내면 다른 무리가 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 2

엄마가 된 딸의 수 구하기

자녀가 있는 딸은 각자 정확히 6명을 두었고, 24명의 손녀는 모두 이 엄마들에게서 나왔다.
손녀를 6명씩 묶어 나누면 버사의 딸 중 몇 명이 엄마인지 셀 수 있다.

24 \div 6 = 4 \text{ 명의 딸이 엄마}

💡 각 엄마가 같은 크기의 묶음을 만들었다면, 묶음의 수가 곧 엄마의 수이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 3

딸이 없는 딸 구하기

버사에게는 딸이 모두 6명이고 그중 4명이 엄마이므로, 나머지는 딸이 없다.

6 - 4 = 2 \text{ 명의 딸은 딸이 없음}

💡 전체 무리에서 자녀가 있는 부분을 빼면 자녀가 없는 부분이 남는다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 4

딸이 없는 사람 모두 더하기

증손녀가 없으므로 24명의 손녀는 모두 딸이 없다.
여기에 딸이 없는 딸 2명을 더하면 딸이 없는 사람의 총수가 나온다.
이 값은 보기 (E)와 일치한다.

$$24 + 2 = 26$$

💡 딸이 없는 사람은 곧 맨 아래 세대 전부와, 끝내 자녀를 두지 않은 딸을 합한 것이다.

[1] #7 3.NBT.A.2 30명은 버사의 딸 6명과 모든 손녀를 합한 것이다. 딸 6명은 항상 포함되어 있으므로, 30에서 이를 빼면 손녀가 몇 명인지 알 수 있다.

[2] #7 3.OA.A.3 자녀가 있는 딸은 각자 정확히 6명을 두었고, 24명의 손녀는 모두 이 엄마들에게서 나왔다. 손녀를 6명씩 묶어 나누면 버사의 딸 중 몇 명이

[3] #7 3.NBT.A.2 버사에게는 딸이 모두 6명이고 그중 4명이 엄마이므로, 나머지는 딸이 없다.

[4] #16 4.OA.A.3 증손녀가 없으므로 24명의 손녀는 모두 딸이 없다. 여기에 딸이 없는 딸 2명을 더하면 딸이 없는 사람의 총수가 나온다. 이 값은 보기 (E)와

검토

합리성 확인: 두 방향으로 확인한다. 딸을 가진 사람은 엄마가 된 딸 4명뿐이므로 30 - 4 = 26이고, 이는 직접 센 24 + 2 = 26과 일치한다. 또한 26은 30보다 작고 손녀만 센 24보다는 크므로, 예상과 정확히 들어맞는다.

대안 접근: 딸이 없는 사람을 직접 세는 대신, 딸을 가진 사람을 센다. 자녀를 둔 사람은 엄마가 된 딸뿐이고 그 수는 4명이므로, 30 - 4 = 26명이 딸이 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 (30에서 딸 6명을 빼어 손녀를 구하고, 6에서 엄마 4명을 빼어 딸이 없는 딸을 구하는 데 사용.)
3.OA.A.3 Solve multiplication and division word problems within 100 (손녀 24명을 6명씩 묶어 나누어 엄마가 된 딸의 수를 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (작은 문제들의 결과를 합쳐 딸이 없는 사람의 총수를 구하는 데 사용.)

⭐ 세어야 할 수가 두 무리를 섞어 놓은 것이라면, 이미 아는 무리를 먼저 떼어 내라. 그러면 남은 조각들을 쉽게 다시 더할 수 있다.