AMC 10 · 2004 · #11
학년 7 probability각 면이 1부터 8까지 번호가 매겨진 두 개의 정팔면체 주사위가 있다. 주사위를 굴릴 때 각 면이 위로 나올 확률은 모두 같다. 위로 나온 두 수의 곱이 그 합보다 클 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 각 면이 $1$ 부터 $8$ 까지 번호가 매겨진 공정한 $8$ 면체 주사위 두 개를 굴립니다. 모든 면이 위로 나올 확률은 같습니다. 위로 나온 두 수의 곱이 그 합보다 클 확률을 구하세요.
주어진 것: 각 주사위는 면이 $1, 2, 3, \ldots, 8$ 인 공정한 주사위여서 각 면이 나올 확률이 같습니다.; 두 주사위를 함께 굴려 위로 나온 두 수의 순서쌍을 얻습니다.; 두 수의 곱과 합을 비교합니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{47}{64}$, (C) $\frac{3}{4}$, (D) $\frac{55}{64}$, (E) $\frac{7}{8}$.
구하는 것: 위로 나온 두 수의 곱이 그 합보다 클 확률.
이해
문제 재정리: 각 면이 $1$ 부터 $8$ 까지 번호가 매겨진 공정한 $8$ 면체 주사위 두 개를 굴립니다. 모든 면이 위로 나올 확률은 같습니다. 위로 나온 두 수의 곱이 그 합보다 클 확률을 구하세요.
주어진 것: 각 주사위는 면이 $1, 2, 3, \ldots, 8$ 인 공정한 주사위여서 각 면이 나올 확률이 같습니다.; 두 주사위를 함께 굴려 위로 나온 두 수의 순서쌍을 얻습니다.; 두 수의 곱과 합을 비교합니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{47}{64}$, (C) $\frac{3}{4}$, (D) $\frac{55}{64}$, (E) $\frac{7}{8}$.
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #2 빠짐없이 나열하기
곱이 합보다 큰 경우를 모두 세려면 많은 경우를 쫓아야 합니다. 반대로 곱이 합을 이기지 못하는 경우(곱 $\le$ 합)를 세어 $64$ 에서 빼는 편이 훨씬 쉽습니다. 이것이 도구 #16(관점 바꾸기)의 대표 수법인데, '나쁜' 경우가 작고 깔끔한 무리로 드러나기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 눈을 $a$ 와 $b$ 라 부르면 $ab$ 와 $a+b$ 를 일반적으로 다룰 수 있습니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 나쁜 경우들을 두 무리로 정리합니다: $1$ 을 포함한 경우와, 오직 하나인 $(2,2)$.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 표본공간 세우기
- 위로 나온 두 수를 $a$ 와 $b$ 라 합시다.
- $a$ 와 $b$ 는 각각 $1$ 부터 $8$ 까지의 자연수이고, 모든 조합의 확률은 같습니다.
- 그래서 순서쌍 $(a,b)$ 는 $8\times 8=64$ 가지이고 각각 확률이 같습니다.
- 우리는 이 $64$ 가지 중 $ab>a+b$ 인 것의 비율을 구합니다.
💡 $8$ 가지에서 독립적으로 두 번 고르면 확률이 같은 $8\times 8$ 개의 순서쌍이 나옵니다.
7.SP.C.8 단계 2 반대 질문으로 뒤집기
- $ab>a+b$ 인 경우를 세는 대신, 곱이 이기지 못하는 경우, 즉 $ab\le a+b$ 인 경우를 셉니다.
- 모든 결과는 이 둘 중 정확히 하나이므로, $ab\le a+b$ 인 경우의 수를 알면 나머지가 $ab>a+b$ 입니다.
- '이기지 못하는' 경우가 적어서 나열하기 더 쉽습니다.
💡 작은 나머지 더미를 세어 빼는 것이 큰 더미를 직접 세는 것보다 낫습니다.
6.EE.B.5 단계 3 1 을 포함한 경우
- 한 주사위가 $1$ 을 보인다고 합시다.
- $a=1$ 이면 곱은 $1\cdot b=b$ 이고 합은 $1+b$ 여서 합이 더 큽니다.
- 그래서 이런 모든 경우에 $ab\le a+b$ (사실 합이 엄격히 이깁니다) — $b$ 가 $1$ 부터 $8$ 까지 갈 때 $8$ 가지입니다.
- $b=1$ 일 때도 똑같이 $8$ 가지입니다.
- $(1,1)$ 은 두 목록 모두에 있어 두 번 셌으므로 겹침을 빼면 $8+8-1=15$ 가지의 서로 다른 '이기지 못하는' 경우가 나옵니다.
💡 $1$ 을 곱하면 수가 그대로지만 $1$ 을 더하면 더 커지므로, $1$ 이 있으면 늘 합이 이깁니다.
6.EE.A.3 단계 4 두 수가 모두 2 이상인 경우
- 이제 어느 주사위도 $1$ 이 아니어서 $a\ge 2$, $b\ge 2$ 라 합시다.
- 가장 작은 경우는 $(2,2)$ 입니다: 곱 $2\cdot 2=4$ 가 합 $2+2=4$ 와 같으니 곱이 이기지 못합니다 — '이기지 못하는' 경우 하나입니다.
- 나머지 경우는 모두 곱이 엄격히 앞섭니다.
- $2$ 와 $b\ge 3$ 를 확인하면 $2b-(2+b)=b-2\ge 1>0$.
- 둘 다 $3$ 이상이면 $ab-a-b=a(b-1)-b\ge 3(b-1)-b=2b-3\ge 3>0$.
- 그래서 두 수가 모두 $\ge 2$ 인 경우 중 오직 $(2,2)$ 만 실패 — '이기지 못하는' 경우 정확히 $1$ 가지입니다.
💡 두 주사위가 모두 $2$ 이상이면 곱셈이 덧셈을 앞지르고, $(2,2)$ 만 유일하게 비깁니다.
7.SP.C.8 단계 5 좋은 경우를 세고 나누기
- '이기지 못하는' 경우는 $1$ 을 포함한 $15$ 가지에 단 하나인 $(2,2)$ 를 더한 것이고, 서로 겹치지 않습니다($(2,2)$ 에는 $1$ 이 없습니다).
- 그래서 $15+1=16$ 가지가 $ab\le a+b$ 입니다.
- 따라서 $ab>a+b$ 인 경우는 $64-16=48$ 가지입니다.
- 확률은 $\frac{48}{64}=\frac{3}{4}$ 입니다.
- 답은 (C)입니다.
💡 전체에서 작은 나쁜 더미를 빼 이기는 개수를 얻고, 그것을 분수로 바꿉니다.
7.SP.C.8 위로 나온 두 수를 $a$ 와 $b$ 라 합시다. $a$ 와 $b$ 는 각각 $1$ 부터 $8$ 까지의 자연수이고, 모든 조합의 확률은 같습니다 7.SP.C.8 $ab>a+b$ 인 경우를 세는 대신, 곱이 이기지 못하는 경우, 즉 $ab\le a+b$ 인 경우를 셉니다. 모든 결과는 이 둘 중 정확히 하 6.EE.B.5 한 주사위가 $1$ 을 보인다고 합시다. $a=1$ 이면 곱은 $1\cdot b=b$ 이고 합은 $1+b$ 여서 합이 더 큽니다. 그래서 이런 6.EE.A.3 이제 어느 주사위도 $1$ 이 아니어서 $a\ge 2$, $b\ge 2$ 라 합시다. 가장 작은 경우는 $(2,2)$ 입니다: 곱 $2\cdot 7.SP.C.8 '이기지 못하는' 경우는 $1$ 을 포함한 $15$ 가지에 단 하나인 $(2,2)$ 를 더한 것이고, 서로 겹치지 않습니다($(2,2)$ 에는 검토
합리성 확인: 나쁜 경우는 그리기 쉽습니다: $1$ 을 포함한 $15$ 가지는 $8\times 8$ 격자의 맨 윗줄과 왼쪽 열을 이루고(모서리 $(1,1)$ 을 공유), 여기에 $(2,2)$ 점 하나가 더해져 — $64$ 칸 중 분명히 $16$ 칸입니다. 남는 $48$ 에서 $\frac{48}{64}=\frac{3}{4}$ 는 제시된 선택지 중 하나여서 좋은 신호입니다. 또한 대개 곱이 이긴다는 점도 자연스럽습니다: $1$ 부터 $8$ 까지의 대부분의 짝에서 곱셈이 덧셈보다 훨씬 큰 값을 만들므로, $\frac{1}{2}$ 보다 훨씬 높은 확률이 예상되어 (A)는 배제됩니다.
대안 접근: 깔끔한 대수 지름길이 있습니다. 조건 $ab>a+b$ 는 모든 항을 한쪽으로 옮기고 $1$ 을 더하면 다시 쓸 수 있습니다: $ab-a-b+1>1$, 이는 $(a-1)(b-1)>1$ 로 인수분해됩니다. 그래서 정확히 $(a-1)(b-1)>1$ 일 때 '좋은' 경우입니다. '나쁜' 경우는 $(a-1)(b-1)\le 1$ 일 때인데: 한 인수가 $0$ 이거나($a=1$ 또는 $b=1$, $15$ 가지) 두 인수가 모두 $1$ 이거나($a=2$ 이고 $b=2$, $1$ 가지)입니다. 이는 같은 $16$ 가지 나쁜 경우이고 다시 $\frac{48}{64}=\frac{3}{4}$ 를 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8정리된 목록, 표, 세기를 이용해 복합 사건의 확률을 구한다 (확률이 같은 $64$ 가지 경우를 세우고, 여사건을 세어, 이기는 $48$ 가지를 확률 $\frac{48}{64}$ 로 바꾸는 데 사용.)6.EE.B.5부등식을 푸는 것이 어떤 값이 참으로 만드는지 찾는 과정임을 이해한다 (어떤 경우가 $ab\le a+b$ 를 만족하는지, 특히 $1$ 을 포함한 경우가 그러함을 판단하는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식을 만든다 ($ab-a-b$ 를 $a(b-1)-b$ 로 다시 써서 두 수가 모두 $2$ 이상일 때($(2,2)$ 제외) 곱이 합을 이김을 보이는 데 사용.)
⭐ 쉬운 반대를 세세요: 곱이 합을 이기지 못하는 경우는 $1$ 을 포함한 경우(열다섯 가지)와 비기는 $(2,2)$ 뿐이므로, $64-16=48$ 가지가 이겨 $\frac{3}{4}$ 이 됩니다.
⭐ 쉬운 반대를 세세요: 곱이 합을 이기지 못하는 경우는 $1$ 을 포함한 경우(열다섯 가지)와 비기는 $(2,2)$ 뿐이므로, $64-16=48$ 가지가 이겨 $\frac{3}{4}$ 이 됩니다.
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