AMC 10 · 2004 · #11

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
probability-basiccomplementary-counting complementary-countingconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
각 면이 1부터 8까지 번호가 매겨진 공정한 8 면체 주사위 두 개를 굴립니다. 모든 면이 위로 나올 확률은 같습니다. 위로 나온 두 수의 곱이 그 합보다 클 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{2}$
(B)
$\frac{47}{64}$
(C)
$\frac{3}{4}$
(D)
$\frac{55}{64}$
(E)
$\frac{7}{8}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

곱이 합보다 큰 경우를 모두 세려면 많은 경우를 쫓아야 합니다. 반대로 곱이 합을 이기지 못하는 경우(곱 ≤ 합)를 세어 64 에서 빼는 편이 훨씬 쉽습니다. 이것이 도구 #16(관점 바꾸기)의 대표 수법인데, '나쁜' 경우가 작고 깔끔한 무리로 드러나기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 눈을 a 와 b 라 부르면 ab 와 a+b 를 일반적으로 다룰 수 있습니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 나쁜 경우들을 두 무리로 정리합니다: 1을 포함한 경우와, 오직 하나인 (2,2).

1STEP 1

표본공간 세우기

두 수를 a와 b라 하면 각각 1부터 8까지이므로, 확률이 같은 순서쌍은 모두 64 가지입니다.

a,b∈{1,2,…,8}, 전체 경우=8 × 8=64
2STEP 2

반대 질문으로 뒤집기

뒤집어 셉니다: ab ≤ a+b인 실패 경우를 세고 64에서 빼면 됩니다.

#{ab ＞ a+b}=64-#{ab ≤ a+b}
3STEP 3

1을 포함한 경우

한쪽이 1이면 곱은 b, 합은 1+b여서 늘 합이 이깁니다. 겹치는 (1,1)을 빼면 8+8-1=15 가지.

a=1: 1 · b=b ＜ 1+b. 8+8-1=15 가지
4STEP 4

두 수가 모두 2 이상인 경우

두 수가 모두 2 이상이면 오직 (2,2)만 2·2=4=2+2로 비기고, 나머지는 곱이 앞섭니다 — 실패 1 가지.

(2,2): 2·2=4=2+2. a=2,b ≥ 3: b-2 ≥ 1. a,b ≥ 3: 2b-3 ≥ 3
5STEP 5

좋은 경우를 세고 나누기

1을 포함한 15 가지에 (2,2) 하나를 더하면 실패 16 가지, 그래서 64-16=48 가지가 이겨 확률은 3/4입니다.

16 이기지 못함, 64-16=48 이김, 48/64=3/4 (C)
정답
3/4
나쁜 경우는 그리기 쉽습니다: 1을 포함한 15 가지는 8 × 8 격자의 맨 윗줄과 왼쪽 열을 이루고(모서리 (1,1)을 공유), 여기에 (2,2) 점 하나가 더해져 — 64 칸 중 분명히 16 칸입니다. 남는 48에서 48/64=3/4는 제시된 선택지 중 하나여서 좋은 신호입니다. 또한 대개 곱이 이긴다는 점도 자연스럽습니다: 1부터 8 까지의 대부분의 짝에서 곱셈이 덧셈보다 훨씬 큰 값을 만들므로, 1/2 보다 훨씬 높은 확률이 예상되어 (A)는 배제됩니다.
💡핵심 정리

쉬운 반대를 세세요: 곱이 합을 이기지 못하는 경우는 1을 포함한 경우(열다섯 가지)와 비기는 (2,2)뿐이므로, 64-16=48 가지가 이겨 3/4이 됩니다.

  • 표본공간 세우기
  • 반대 질문으로 뒤집기
  • 1을 포함한 경우
  • 두 수가 모두 2 이상인 경우
  • 좋은 경우를 세고 나누기

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