AMC 10 · 2004 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

decimal-arithmeticlinear-diophantinedivisibility-rules bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: decimal-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

미국에서 동전의 두께는 다음과 같다: penny $1.55$ mm, nickel $1.95$ mm, dime $1.35$ mm, quarter $1.75$ mm. 이 동전들을 쌓은 높이가 정확히 $14$ mm라면, 쌓인 동전은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 동전은 네 가지 두께를 가집니다: 페니 $1.55$ mm, 니켈 $1.95$ mm, 다임 $1.35$ mm, 쿼터 $1.75$ mm. 이 동전들을 쌓았더니 높이가 정확히 $14$ mm가 되었습니다. 쌓인 동전이 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 페니의 두께는 $1.55$ mm입니다.; 니켈의 두께는 $1.95$ mm입니다.; 다임의 두께는 $1.35$ mm입니다.; 쿼터의 두께는 $1.75$ mm입니다.; 쌓은 높이는 정확히 $14$ mm입니다.; 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$.

구하는 것: 쌓인 동전의 개수.

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #14 극단의 원리

선택지 자체가 가능한 동전 개수($7$에서 $11$까지)이므로, 불가능한 개수를 하나씩 지워 마지막에 남는 것을 찾으면 됩니다 — 이는 도구 #3(가능성 지우기)의 대표 신호입니다. 두 개의 거름망이 지우는 일을 합니다. 첫째, 도구 #8(단위 살펴보기): 각 동전을 다임과 비교하면 모든 동전이 다임에 $0.20$ mm 단계의 정수배를 더한 것임을 알게 되고, 이는 $14 - 1.35n$이 $0.20$의 배수여야 함을 강제합니다. 둘째, 도구 #14(극단의 원리): 가장 얇은 동전과 가장 두꺼운 동전이 개수를 $8$과 $10$ 사이로 가둡니다. 두 거름망을 함께 쓰면 정확히 하나의 개수만 남습니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 1

각 동전을 다임 위 높이로 재기

다임이 $1.35$ mm로 가장 얇으므로 나머지를 다임과 비교합니다.
페니 $-$ 다임 $= 1.55 - 1.35 = 0.20$.
쿼터 $-$ 다임 $= 1.75 - 1.35 = 0.40$.
니켈 $-$ 다임 $= 1.95 - 1.35 = 0.60$.
여분($0$, $0.20$, $0.40$, $0.60$)은 모두 $0.20$ mm 단계의 정수배입니다.
그래서 동전 $n$개를 쌓은 높이는 다임 $n$개($1.35n$)에 $0.20$ mm 단계의 정수배를 더한 것입니다: 높이 $= 1.35n + 0.20 \times (\text{정수})$.

$$0.20,\ 0.40,\ 0.60 = 1\times 0.20,\ 2\times 0.20,\ 3\times 0.20 \ \Rightarrow\ \text{높이} = 1.35n + 0.20\times(\text{정수})$$

💡 모든 동전은 다임 위에 $0.20$ mm 받침을 몇 장 얹은 것이라, 높이를 바꾸는 것은 받침뿐입니다.

#14 극단의 원리 6.NS.B.3 단계 2

개수를 8과 10 사이로 가두기

동전 $n$개로 만드는 가장 얇은 더미는 전부 다임($1.35n$), 가장 두꺼운 더미는 전부 니켈($1.95n$)이고, 실제 더미는 그 사이에 있습니다.
$14$에 닿으려면 전부 니켈이어도 충분히 높아야 합니다: $1.95 \times 7 = 13.65 < 14$이므로 $7$개로는 $14$에 절대 못 닿아 $n \ge 8$.
또 전부 다임이어도 넘치면 안 됩니다: $1.35 \times 11 = 14.85 > 14$이므로 $11$개는 언제나 $14$를 넘겨 $n \le 10$.
이로써 (A) $7$과 (E) $11$이 지워지고 $n = 8$, $9$, $10$만 남습니다.

$$1.95\times 7 = 13.65 < 14 \le 1.95n \Rightarrow n\ge 8;\quad 1.35n \le 14 < 14.85 = 1.35\times 11 \Rightarrow n\le 10$$

💡 너무 적으면 가장 두꺼워도 $14$ mm에 못 닿고, 너무 많으면 가장 얇아도 넘칩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

0.20 단계에 맞는 개수만 남기기

1단계에서 높이는 $1.35n + 0.20\times(\text{정수})$이므로, $14 - 1.35n$은 $0.20$의 음이 아닌 정수배여야 합니다.
남은 후보를 검사합니다.
$n=8$: $14 - 1.35\times 8 = 14 - 10.80 = 3.20 = 0.20\times 16$ — 정수 단계, 통과.
$n=9$: $14 - 12.15 = 1.85$이고 $1.85 \div 0.20 = 9.25$ — 정수가 아님, 탈락.
$n=10$: $14 - 13.50 = 0.50$이고 $0.50 \div 0.20 = 2.5$ — 정수가 아님, 탈락.
$n=8$만 통과합니다.

$$n=8:\ 3.20=0.20\times 16\ \checkmark\qquad n=9:\ 1.85=0.20\times 9.25\ \times\qquad n=10:\ 0.50=0.20\times 2.5\ \times$$

💡 높이는 $0.20$ mm 눈금에만 놓이므로, 정수 단계가 아닌 나머지는 만들 수 없습니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 4

실제로 8개 더미가 있음을 확인

개수가 유효하려면 실제로 $14$ mm에 닿는 더미가 있어야 합니다.
$n=8$이면 받침의 합이 여덟 다임 위로 $0.20\times 16 = 3.20$ mm여야 합니다.
가장 간단한 선택: 모든 동전을 쿼터로 하면 각 동전이 다임보다 $0.40$ 높습니다.
여덟 쿼터의 받침 합은 $8\times 0.40 = 3.20$ mm이고, 곧바로 $8 \times 1.75 = 14.00$ mm입니다.
따라서 $8$개가 정확히 맞고, 유일하게 남은 개수입니다.
답은 (B)입니다.

$$8\times 1.75 = 14.00\text{ mm}\ \Rightarrow\ n = 8\ \textbf{(B)}$$

💡 여덟 쿼터가 정확히 $14$ mm로 쌓이므로, $8$이라는 개수는 허용될 뿐 아니라 실제로 일어납니다.

[1] #8 5.NBT.B.7 다임이 $1.35$ mm로 가장 얇으므로 나머지를 다임과 비교합니다. 페니 $-$ 다임 $= 1.55 - 1.35 = 0.20$. 쿼터 $-$

[2] #14 6.NS.B.3 동전 $n$개로 만드는 가장 얇은 더미는 전부 다임($1.35n$), 가장 두꺼운 더미는 전부 니켈($1.95n$)이고, 실제 더미는 그 사이에

[3] #3 4.OA.B.4 1단계에서 높이는 $1.35n + 0.20\times(\text{정수})$이므로, $14 - 1.35n$은 $0.20$의 음이 아닌 정수배여야

[4] #3 5.NBT.B.7 개수가 유효하려면 실제로 $14$ mm에 닿는 더미가 있어야 합니다. $n=8$이면 받침의 합이 여덟 다임 위로 $0.20\times 16 =

검토

합리성 확인: 여덟 쿼터는 $8\times 1.75 = 14$ mm에 딱 맞으므로 개수 $8$은 지우고 남은 것이 아니라 실제로 만들 수 있습니다. 지워진 이웃들은 깔끔하게 실패합니다: $7$개는 최대 $13.65$ mm, $11$개는 최소 $14.85$ mm이고, $9$개나 $10$개는 $14$에서 $0.20$ mm 눈금에 결코 놓이지 못합니다. 두 거름망을 모두 통과하는 선택지가 정확히 하나인 것은 잘 만들어진 문제라는 표시입니다.

대안 접근: 소수를 없애 봅시다. $0.01$ mm 단위로 두께는 $155, 195, 135, 175$이고 목표는 $1400$인데, $5$로 나누면 $31, 39, 27, 35$이고 목표는 $280$입니다. $31, 39, 27, 35$는 모두 $4$로 나눈 나머지가 $3$이므로, 동전 $n$개의 합은 $3n \pmod 4$입니다. $280 = 4\times 70$은 $4$의 배수이므로 $3n \equiv 0 \pmod 4$, 즉 $n$은 $4$의 배수여야 합니다. $8 \le n \le 10$과 함께 보면 $4$의 배수는 $n = 8$뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.7 소수를 백분의 자리까지 더하고, 빼고, 곱하고, 나눈다 (각 동전이 다임보다 $0.20$ mm씩 몇 단계 높은지 빼서 구하고 $8\times 1.75 = 14$를 확인하는 데 사용.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수를 능숙하게 더하고, 빼고, 곱하고, 나눈다 ($1.95\times 7$과 $1.35\times 11$ 같은 두께 곱셈으로 동전 개수를 $8$과 $10$ 사이로 가두는 데 사용.)
4.OA.B.4 모든 인수쌍을 찾고 배수를 인식하며 소수인지 합성수인지 판별한다 ($14 - 1.35n$이 $0.20$ mm 단계의 정수배인지 검사해 $n=9$와 $n=10$을 지우는 데 사용.)

⭐ 모든 동전은 다임에 $0.20$ mm 받침을 몇 장 얹은 것이라 높이는 $0.20$ mm 눈금에 놓여야 하고, 여기에 가장 얇은/두꺼운 동전으로 조이면 $8$개만 남습니다(여덟 쿼터가 정확히 $14$ mm).