AMC 10 · 2004 · #13

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
decimal-arithmeticlinear-diophantinedivisibility-rules bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: decimal-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
동전의 두께는 네 가지입니다: 페니 1.55 mm, 니켈 1.95 mm, 다임 1.35 mm, 쿼터 1.75 mm. 이 네 종류를 각각 원하는 만큼 여러 번 써서 쌓았더니 높이가 정확히 14 mm가 되었습니다. 쌓인 동전이 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
9
(D)
10
(E)
11

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

선택지 자체가 가능한 동전 개수(7에서 11까지)이므로, 불가능한 개수를 하나씩 지워 마지막에 남는 것을 찾으면 됩니다 — 이는 도구 #3(가능성 지우기)의 대표 신호입니다. 두 개의 거름망이 지우는 일을 합니다. 첫째, 도구 #8(단위 살펴보기): 각 동전을 다임과 비교하면 모든 동전이 다임에 0.20 mm 단계의 정수배를 더한 것임을 알게 되고, 이는 14 - 1.35n이 0.20의 배수여야 함을 강제합니다. 둘째, 도구 #14(극단의 원리): 가장 얇은 동전과 가장 두꺼운 동전이 개수를 8과 10 사이로 가둡니다. 두 거름망을 함께 쓰면 정확히 하나의 개수만 남습니다.

1STEP 1

각 동전을 다임 위 높이로 재기

가장 얇은 다임(1.35) 위로 페니·쿼터·니켈은 0.20, 0.40, 0.60이므로 높이는 1.35n + 0.20의 배수.

0.20, 0.40, 0.60 = 1 × 0.20, 2 × 0.20, 3 × 0.20 → 높이 = 1.35n + 0.20×(정수)
2STEP 2

개수를 8과 10 사이로 가두기

전부 니켈이어도 1.95 × 7 = 13.65 ＜ 14, 전부 다임이어도 1.35 × 11 = 14.85 ＞ 14 → n은 8, 9, 10.

1.95 × 7 = 13.65 ＜ 14 ≤ 1.95n → n ≥ 8; 1.35n ≤ 14 ＜ 14.85 = 1.35 × 11 → n ≤ 10
3STEP 3

0.20 단계에 맞는 개수만 남기기

14 - 1.35n이 0.20의 배수여야 하므로 n=8은 3.20 = 0.20 × 16 ✓, n=9는 1.85 ✗, n=10은 0.50 ✗.

n=8: 3.20=0.20 × 16 ✓ n=9: 1.85=0.20 × 9.25 × n=10: 0.50=0.20 × 2.5 ×
4STEP 4

실제로 8개 더미가 있음을 확인

쿼터 여덟 개는 8 × 1.75 = 14.00 mm로 딱 맞으니 지우고 남은 게 아니라 실제로 만들어집니다. 답은 (B).

8 × 1.75 = 14.00 mm → n = 8 (B)
정답
8
여덟 쿼터는 8 × 1.75 = 14 mm에 딱 맞으므로 개수 8은 지우고 남은 것이 아니라 실제로 만들 수 있습니다. 지워진 이웃들은 깔끔하게 실패합니다: 7개는 최대 13.65 mm, 11개는 최소 14.85 mm이고, 9개나 10개는 14에서 0.20 mm 눈금에 결코 놓이지 못합니다. 두 거름망을 모두 통과하는 선택지가 정확히 하나인 것은 잘 만들어진 문제라는 표시입니다.
💡핵심 정리

모든 동전은 다임에 0.20 mm 받침을 몇 장 얹은 것이라 높이는 0.20 mm 눈금에 놓여야 하고, 여기에 가장 얇은/두꺼운 동전으로 조이면 8개만 남습니다(여덟 쿼터가 정확히 14 mm).

  • 각 동전을 다임 위 높이로 재기
  • 개수를 8과 10 사이로 가두기
  • 0.20 단계에 맞는 개수만 남기기
  • 실제로 8개 더미가 있음을 확인

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