AMC 10 · 2004 · #16

학년 8 geometry-2d

equilateral-triangletangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 $1$ 인 원 세 개가 서로 외접하고, 하나의 더 큰 원에 내접합니다. 큰 원의 반지름은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

(B)

(C)

$\frac{2 + 3\sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $1$인 원 세 개가 서로 바깥쪽에서 맞닿고(외접), 세 원 모두 하나의 큰 원 안에 들어가 안쪽에서 맞닿습니다(내접). 큰 원의 반지름을 구하세요.

주어진 것: 작은 원이 세 개 있고, 각각의 반지름은 $1$입니다.; 작은 원끼리는 서로 바깥쪽에서 맞닿습니다(외접).; 작은 원 각각은 큰 원과 안쪽에서 맞닿습니다(내접).; 선택지: (A) $\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$, (B) $2$, (C) $\frac{2 + 3\sqrt{2}}{2}$, (D) $\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$, (E) $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

구하는 것: 큰 원의 반지름 $R$.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 원들이 어떻게 맞닿는지에 관한 것이므로, 첫 번째 수는 도구 #1(그림 그리기)로 모든 중심을 표시하는 것입니다. 그림을 그리고 나면 접함이 깔끔한 거리 사실로 바뀝니다. 맞닿은 두 단위원의 중심은 정확히 $2$만큼 떨어져 있으므로, 세 작은 중심은 한 변이 $2$인 정삼각형을 이룹니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 삼각형에 좌표를 놓고 큰 중심의 높이를 이름 붙이며, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눕니다. 먼저 큰 중심에서 작은 중심까지의 거리를 구하고, 그다음 작은 반지름 하나를 더해 큰 원의 가장자리에 도달합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

접함을 삼각형으로 바꾸기

세 단위원을 그리고 중심을 표시합니다.
반지름 $1$인 두 원이 바깥쪽에서 맞닿으면, 만나는 점은 두 중심을 잇는 선 위에 있고 각 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 두 중심은 $1+1=2$만큼 떨어져 있습니다.
세 쌍 모두에 대해 성립하므로 세 중심은 서로 $2$씩 균등하게 떨어져 있습니다.
즉, 한 변이 $2$인 정삼각형의 꼭짓점들입니다.

$$\text{중심 사이 거리}=1+1=2\ \Rightarrow\ \text{한 변이 }2\text{인 정삼각형}$$

💡 맞닿은 두 원은 양쪽으로 정확히 반지름 하나씩 떨어져 붙어 있으므로, 같은 원이면 같은 간격이 됩니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

삼각형에 좌표 놓기

작은 중심 두 개를 $B=(-1,0)$과 $C=(1,0)$에 놓으면 서로 $2$만큼 떨어집니다.
세 번째 중심 $A$는 중점 바로 위에 있습니다.
그 높이는 정삼각형의 높이입니다.
$A$에서 $BC$에 수선을 내리면, 한 변이 $2$인 삼각형이 다리 $1$과 $h$, 빗변 $2$인 직각삼각형으로 나뉩니다.
피타고라스 정리로 $h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$이므로 $A=(0,\sqrt{3})$입니다.
대칭에 의해 큰 원의 중심 $O$는 가운데를 지나는 수직선 위에 있어 $O=(0,y)$ 꼴입니다.

$$B=(-1,0),\ C=(1,0),\ h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},\ A=(0,\sqrt{3}),\ O=(0,y)$$

💡 정삼각형을 가운데로 자르면 직각삼각형이 되고, 피타고라스 정리가 높이를 내줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

같은 거리로 큰 중심 찾기

큰 중심 $O$는 세 작은 중심에서 모두 같은 거리여야 합니다.
$A$까지의 거리와 $B$까지의 거리를 같게 두면 $y$가 정해집니다.
$O=(0,y)$에서 $A=(0,\sqrt{3})$까지의 거리는 $\sqrt{3}-y$, $B=(-1,0)$까지의 거리는 $\sqrt{1+y^2}$입니다.
둘을 제곱해서 같게 놓으면 $(\sqrt{3}-y)^2=1+y^2$, 전개하면 $3-2\sqrt{3}\,y+y^2=1+y^2$입니다.
$y^2$이 상쇄되어 $3-2\sqrt{3}\,y=1$, 따라서 $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$입니다.
공통 거리는 $d=\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+\frac13}=\sqrt{\frac43}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$입니다.

$$(\sqrt{3}-y)^2=1+y^2\Rightarrow y=\tfrac{1}{\sqrt3},\quad d=\sqrt{1+\tfrac13}=\tfrac{2}{\sqrt3}=\tfrac{2\sqrt3}{3}$$

💡 큰 원의 중심은 세 작은 중심에서 똑같이 균형 잡힌 한 지점이고, 거리가 같다는 조건이 그 지점의 식을 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

반지름 하나만큼 가장자리로 나가기

큰 원은 각 작은 원과 안쪽에서 맞닿으므로, $O$에서 작은 중심을 지나는 선을 따라가면 큰 원의 가장자리는 그 중심에서 정확히 작은 반지름 하나만큼 더 나간 곳에 있습니다.
즉, 큰 반지름은 중심 사이 거리에 $1$을 더한 값입니다.
$R=d+1=\frac{2\sqrt{3}}{3}+1$.
$1=\frac{3}{3}$으로 써서 분수를 합치면 $R=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$입니다.
답은 (D)입니다.

$$R=d+1=\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{3}{3}=\frac{3+2\sqrt3}{3}\quad\textbf{(D)}$$

💡 큰 중심에서 작은 중심까지 간 다음, 반지름 하나만큼 더 가면 큰 원의 가장자리에 닿습니다.

[1] #1 7.G.A.2 세 단위원을 그리고 중심을 표시합니다. 반지름 $1$인 두 원이 바깥쪽에서 맞닿으면, 만나는 점은 두 중심을 잇는 선 위에 있고 각 중심에서 반

[2] #4 8.G.B.7 작은 중심 두 개를 $B=(-1,0)$과 $C=(1,0)$에 놓으면 서로 $2$만큼 떨어집니다. 세 번째 중심 $A$는 중점 바로 위에 있습니다

[3] #7 8.G.B.8 큰 중심 $O$는 세 작은 중심에서 모두 같은 거리여야 합니다. $A$까지의 거리와 $B$까지의 거리를 같게 두면 $y$가 정해집니다. $O=(

[4] #7 8.EE.A.2 큰 원은 각 작은 원과 안쪽에서 맞닿으므로, $O$에서 작은 중심을 지나는 선을 따라가면 큰 원의 가장자리는 그 중심에서 정확히 작은 반지름 하

검토

합리성 확인: 소수로 나타내면 $\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\approx\frac{3+3.46}{3}\approx 2.15$입니다. 이는 $1$보다 넉넉히 크면서도(반지름 $1$인 원 세 개를 담아야 하므로) 지나치게 크지 않아 그림과 맞습니다. 다른 선택지를 소수로 확인하면 (A) $\approx1.48$은 배치를 담기에 너무 작고, (B) $=2$는 살짝 작으며, (C) $\approx3.12$와 (E) $\approx2.37$은 너무 큽니다. 오직 (D) $\approx2.15$만 맞으므로 답은 확실합니다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고, 정삼각형의 중심이 각 꼭짓점에서 중선을 따라 $\tfrac{2}{3}$ 지점에 있다는 사실을 씁니다. 여기서 중선(높이)은 $\sqrt{3}$이므로 중심 $O$에서 작은 중심까지의 거리는 $\tfrac{2}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$으로, 앞의 $d$와 같습니다. 여기에 작은 반지름 $1$을 더하면 다시 $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}+1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 주어진 조건으로 도형 그리기 (외접하는 세 단위원을, 그 중심들이 이루는 한 변 $2$의 정삼각형으로 바꾸는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 (한 변 $2$인 정삼각형의 높이 $\sqrt{3}$을 구해 세 번째 중심의 위치를 찾는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 (큰 중심 $O$에서 작은 중심들까지의 거리를 세워 $O$와 거리 $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$을 구하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근 기호를 사용하고 제곱근을 계산 ($\frac{2}{\sqrt{3}}$을 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$으로 정리하고 $1$과 합쳐 $\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$을 만드는 데 사용.)

⭐ 맞닿은 원은 중심 사이 거리를 정해 주므로 세 단위원은 정삼각형을 이룹니다. 그 삼각형의 중심에서 작은 중심까지 재고 반지름 하나를 더하면 큰 원의 가장자리에 닿습니다.