AMC 10 · 2004 · #17
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 나이는 숫자에 의해 서로 묶여 있으므로 도구 #4 (변수 도입하기)로 시작하는 것이 자연스럽다. 한 나이의 십의 자리 숫자를 a, 일의 자리 숫자를 b라 하면 뒤집기는 곧바로 10a+b와 10b+a로 표현된다. 그러면 '5년 뒤 두 배'라는 문장이 하나의 방정식이 된다. 그 방정식 8a=19b+5는 미지의 숫자가 둘인데 식은 하나뿐이므로, 대수 계산을 밀어붙이는 대신 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 b를 0,1,2,… 넣어 보고, 도구 #3 (가능성 지우기)으로 a가 한 자리 숫자가 되지 못하는 값을 모두 버린다. 살아남는 쌍은 단 하나뿐이다.
두 숫자에 이름 붙이기
Jack 나이의 십의 자리를 a, 일의 자리를 b라 하면 Jack은 10a+b, Bill은 10b+a이며 a가 b보다 크다.
두 자리 수는 십의 자리 숫자 곱하기 십 더하기 일의 자리 숫자일 뿐이므로, 숫자를 뒤집으면 이 두 역할이 서로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable말을 방정식으로 바꾸기
5년 뒤에는 둘 다 5살 많아지므로 Jack은 10a+b+5, Bill은 10b+a+5이고, 두 배 조건이 곧 방정식이다.
'두 배 나이'는 두 미래 나이 사이의 곱하기 2 관계이고, 이것이 바로 방정식이 기록하는 내용이다.
6.EE.B.7Introduce A Variable하나의 깔끔한 관계로 정리하기
오른쪽을 20b+2a+10으로 전개하고 정리하면 조건 전체가 8a=19b+5 하나로 줄어든다.
같은 항을 모으면 이야기 전체가 a와 b 사이의 깔끔한 하나의 관계로 줄어든다.
6.EE.B.7Introduce A Variableb에 숫자 값을 대입해 보기
숫자는 0부터 9까지이므로 b를 대입하면 b=1일 때만 8a=24로 맞아 Jack은 31, Bill은 13이다.
숫자는 0부터 9까지뿐이므로 선택지를 짧게 훑기만 해도 두 숫자를 모두 유효하게 지키는 것은 하나만 남는다.
4.OA.A.3Guess And Check차이 구하기
차이는 31-13=18이고, 이는 (10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=9(3-1)이라는 지름길과 같다. 정답은 (B)이다.
숫자를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 맞바뀌므로, 차이는 항상 숫자 차이의 아홉 배이다.
자릿수를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 자리를 바꾸므로, 차는 언제나 자릿수 차의 아홉 배다.
▸ 왜?
두 자리 수는 십의 자릿수에 10을 곱한 것에 일의 자릿수를 더한 것이므로, 바꾸면 그 무게가 바뀐다.
▸ 왜?
두 수는 같은 두 자릿수를 지니므로, 공통된 것은 모두 지워지고 무게 차이만 남는다.
두 나이를 10a+b와 10b+a로 쓰고, '5년 뒤 두 배 나이'를 하나의 방정식으로 바꾼 뒤 한 자리 숫자를 대입해 보면 31과 13만 남아 — 차이는 18이다.
- 두 숫자에 이름 붙이기
- 말을 방정식으로 바꾸기
- 하나의 깔끔한 관계로 정리하기
- b에 숫자 값을 대입해 보기
- 차이 구하기