AMC 10 · 2004 · #17

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-decompositionlinear-diophantineplace-value convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Jack의 나이를 이루는 두 숫자는 Bill의 나이를 이루는 두 숫자와 같지만, 순서가 반대입니다. $5$ 년 뒤 Jack은 그때의 Bill보다 나이가 두 배가 됩니다. 현재 두 사람의 나이 차이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Jack의 나이와 Bill의 나이는 둘 다 같은 두 숫자로 이루어진 두 자리 수이고, 자리만 서로 뒤바뀌어 있다 (즉 한 사람이 $10x+y$이면 다른 사람은 $10y+x$). 지금부터 $5$년 뒤, Jack의 나이는 그때 Bill의 나이의 정확히 두 배가 된다. 지금 두 사람의 나이 차이를 구하여라.

주어진 것: Jack의 나이와 Bill의 나이는 같은 두 숫자를 쓰되 십의 자리와 일의 자리가 서로 뒤바뀌어 있다.; $5$년 뒤 Jack의 나이는 그때 Bill의 나이의 정확히 두 배가 된다.; 선택지: (A) $9$, (B) $18$, (C) $27$, (D) $36$, (E) $45$.

구하는 것: 지금 Jack과 Bill의 나이 차이.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

두 나이는 숫자에 의해 서로 묶여 있으므로 도구 #4 (변수 도입하기)로 시작하는 것이 자연스럽다. 한 나이의 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$라 하면 뒤집기는 곧바로 $10a+b$와 $10b+a$로 표현된다. 그러면 '$5$년 뒤 두 배'라는 문장이 하나의 방정식이 된다. 그 방정식 $8a=19b+5$는 미지의 숫자가 둘인데 식은 하나뿐이므로, 대수 계산을 밀어붙이는 대신 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 $b$를 $0,1,2,\dots$ 넣어 보고, 도구 #3 (가능성 지우기)으로 $a$가 한 자리 숫자가 되지 못하는 값을 모두 버린다. 살아남는 쌍은 단 하나뿐이다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

두 숫자에 이름 붙이기

Jack 나이의 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$라 하면 Jack은 $10a+b$살이다.
Bill은 같은 숫자를 뒤집었으므로 $10b+a$살이다.
Jack이 더 나이가 많으므로 $a$는 $b$보다 크다.

$$\text{Jack}=10a+b,\qquad \text{Bill}=10b+a$$

💡 두 자리 수는 십의 자리 숫자 곱하기 십 더하기 일의 자리 숫자일 뿐이므로, 숫자를 뒤집으면 이 두 역할이 서로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

말을 방정식으로 바꾸기

$5$년 뒤에는 각자 $5$살씩 많아지므로 Jack은 $10a+b+5$, Bill은 $10b+a+5$가 된다.
'Jack이 Bill의 두 배 나이'라는 말은 Jack의 미래 나이가 Bill의 미래 나이의 두 배와 같다는 뜻이다.

$$10a+b+5 = 2\,(10b+a+5)$$

💡 '두 배 나이'는 두 미래 나이 사이의 곱하기 2 관계이고, 이것이 바로 방정식이 기록하는 내용이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

하나의 깔끔한 관계로 정리하기

오른쪽을 $20b+2a+10$으로 전개한 뒤 숫자들을 모은다.
양변에서 $2a$와 $b$를 빼고 $5$를 빼면 $8a-19b=5$, 즉 $8a=19b+5$가 된다.
이 하나의 관계가 두 숫자를 서로 묶는다.

$$10a+b+5=20b+2a+10 \;\Rightarrow\; 8a=19b+5$$

💡 같은 항을 모으면 이야기 전체가 $a$와 $b$ 사이의 깔끔한 하나의 관계로 줄어든다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

b에 숫자 값을 대입해 보기

$a$와 $b$는 모두 한 자리 숫자여야 하므로 $b=0,1,2,\dots$를 넣어 $19b+5$가 어떤 숫자의 $8$배가 되는지 본다.
$b=0$이면 $8a=5$ (불가).
$b=1$이면 $8a=24$이므로 $a=3$ — 진짜 숫자다.
$b=2$이면 $8a=43$ ($8$의 배수 아님), 그리고 $b=3$부터는 $19b+5$가 이미 $8\times 9=72$를 넘어 $a$가 $9$를 초과한다.
따라서 $a=3,\,b=1$이 유일한 답: Jack은 $31$살, Bill은 $13$살이다.

$$b=1:\ 8a=24\Rightarrow a=3 \;\Rightarrow\; \text{Jack}=31,\ \text{Bill}=13$$

💡 숫자는 $0$부터 $9$까지뿐이므로 선택지를 짧게 훑기만 해도 두 숫자를 모두 유효하게 지키는 것은 하나만 남는다.

#4 변수 도입하기 5.NBT.A.1 단계 5

차이 구하기

지금 두 나이의 차이는 $31-13=18$이다.
이것은 두 자리 수에서 그 뒤집은 수를 뺀 값이 $(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=9(3-1)=18$이라는 지름길과도 일치한다.
정답은 (B)이다.

$$31-13 = 9(a-b) = 9(3-1) = 18 \;\textbf{(B)}$$

💡 숫자를 뒤집으면 십의 자리와 일의 자리가 맞바뀌므로, 차이는 항상 숫자 차이의 아홉 배이다.

[1] #4 6.EE.B.6 Jack 나이의 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$라 하면 Jack은 $10a+b$살이다. Bill은 같은 숫자를 뒤집었으므로

[2] #4 6.EE.B.7 $5$년 뒤에는 각자 $5$살씩 많아지므로 Jack은 $10a+b+5$, Bill은 $10b+a+5$가 된다. 'Jack이 Bill의 두 배 나

[3] #4 6.EE.B.7 오른쪽을 $20b+2a+10$으로 전개한 뒤 숫자들을 모은다. 양변에서 $2a$와 $b$를 빼고 $5$를 빼면 $8a-19b=5$, 즉 $8a=

[4] #6 4.OA.A.3 $a$와 $b$는 모두 한 자리 숫자여야 하므로 $b=0,1,2,\dots$를 넣어 $19b+5$가 어떤 숫자의 $8$배가 되는지 본다. $b=

[5] #4 5.NBT.A.1 지금 두 나이의 차이는 $31-13=18$이다. 이것은 두 자리 수에서 그 뒤집은 수를 뺀 값이 $(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=9(

검토

합리성 확인: 나이를 이야기에 맞춰 확인한다. $5$년 뒤 Jack은 $31+5=36$, Bill은 $13+5=18$이고 $36=2\times 18$, 정확히 '두 배 나이'다. 두 나이 $31$과 $13$은 정말로 같은 숫자를 뒤집은 것이고, 그 차이 $18$은 선택지 (B)에 딱 놓인다. 모든 선택지가 $9$의 배수인 것도 이해가 되는데, 숫자를 뒤집은 어떤 쌍이든 차이가 $9(a-b)$이기 때문이다 — 문제는 그중 어느 배수가 실제로 나이 조건을 만족하느냐이다.

대안 접근: 나이 차이는 시간이 지나도 변하지 않는다는 사실을 쓴다. $5$년 뒤 Jack은 Bill의 두 배이므로 차이(Jack 빼기 Bill)는 Bill의 미래 나이 자체와 같다: $\text{차이}=2\,\text{Bill}_{+5}-\text{Bill}_{+5}=\text{Bill}_{+5}$. 또한 차이는 $9(a-b)$, 즉 $9$의 배수이므로 $5$년 뒤 Bill의 나이가 $9$의 배수다. 십의 자리 숫자가 더 작은 뒤집은 쌍들($13,24,35,\dots$)을 확인하면, Bill $=13$만이 미래 나이 $18$이 $9$의 배수가 되고 그 두 배가 Jack의 $36$이 된다. 차이는 다시 $18$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (숫자를 $a$와 $b$로 두고 두 나이를 $10a+b$와 $10b+a$로 나타내기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ('$5$년 뒤 두 배 나이'를 $10a+b+5=2(10b+a+5)$로 바꾸고 $8a=19b+5$로 정리하기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($b=0,1,2,\dots$의 숫자 값을 대입해 두 숫자를 모두 한 자리로 유지하는 유일한 쌍 $a=3,\,b=1$을 찾기.)
5.NBT.A.1 Recognize that a digit in one place represents ten times as much as to its right (두 자리 수에서 그 뒤집은 수를 빼면 $9(a-b)$가 되어 차이 $18$이 나온다는 것을 보기.)

⭐ 두 나이를 $10a+b$와 $10b+a$로 쓰고, '$5$년 뒤 두 배 나이'를 하나의 방정식으로 바꾼 뒤 한 자리 숫자를 대입해 보면 $31$과 $13$만 남아 — 차이는 $18$이다.