AMC 10 · 2004 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

recursive-sequencepattern-recognitionmodular-arithmetic pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: recursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수열 $2001$ , $2002$ , $2003$ , $\ldots$ 에서 셋째 항 이후의 각 항은, 그 항 바로 앞의 두 항을 더한 값에서 바로 앞 항을 뺀 값으로 구합니다. 예를 들어, 넷째 항은 $2001 + 2002 - 2003 = 2000$ 입니다. 이 수열의 $2004^\textrm{th}$ 항은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-2004

(B)

-2

(C)

(D)

4003

(E)

6007

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수열이 $2001, 2002, 2003, \ldots$ 으로 시작합니다. 네 번째 항부터는 각 항이, 바로 앞 항 직전의 두 항을 더한 값에서 그 바로 앞 항을 뺀 값과 같습니다: $a_n = a_{n-3} + a_{n-2} - a_{n-1}$. 예를 들어 $a_4 = 2001 + 2002 - 2003 = 2000$ 입니다. $2004$ 번째 항을 구하세요.

주어진 것: 첫 세 항은 $a_1 = 2001$, $a_2 = 2002$, $a_3 = 2003$ 입니다.; 규칙은 $a_n = a_{n-3} + a_{n-2} - a_{n-1}$ 입니다: 바로 앞 항 이전의 두 항을 더한 뒤, 바로 앞 항을 뺍니다.; 예시가 규칙을 확인해 줍니다: $a_4 = 2001 + 2002 - 2003 = 2000$.; 선택지: (A) $-2004$, (B) $-2$, (C) $0$, (D) $4003$, (E) $6007$

구하는 것: $2004$ 번째 항 $a_{2004}$ 의 값.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

$2004$ 번째 항까지 한 항씩 계산하는 것은 불가능하므로, 초반 몇 항을 계산해 패턴을 찾는 것이 핵심입니다(도구 #5). 원래 나열 $2001, 2002, 2003, 2000, 2005, 1998, 2007, 1996, \ldots$ 은 들쭉날쭉해 보이지만, 홀수 번째와 짝수 번째 위치로 나누면(도구 #15) 각 절반이 깔끔하고 일정한 수열이 됩니다. $2004$ 는 짝수이므로 짝수 위치 절반만 중요합니다. 마지막으로 선택지들이 서로 멀리 떨어져 있어, 올바른 값 하나가 한 선택지를 확정하고 나머지를 지웁니다(도구 #3).

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 1

처음 몇 항 만들기

규칙 $a_n = a_{n-3} + a_{n-2} - a_{n-1}$ 을 반복해서 적용합니다.
$a_4 = 2001 + 2002 - 2003 = 2000$.
$a_5 = 2002 + 2003 - 2000 = 2005$.
$a_6 = 2003 + 2000 - 2005 = 1998$.
$a_7 = 2000 + 2005 - 1998 = 2007$.
$a_8 = 2005 + 1998 - 2007 = 1996$.
지금까지 수열은 $2001, 2002, 2003, 2000, 2005, 1998, 2007, 1996, \ldots$ 입니다.

$$a_4=2000,\; a_5=2005,\; a_6=1998,\; a_7=2007,\; a_8=1996$$

💡 먼저 몇 항을 계산합니다 — 여러 항이 나란히 보이기 전에는 패턴이 잘 드러나지 않습니다.

#15 다르게 정리하기 4.OA.C.5 단계 2

홀수·짝수 위치로 나누기

전체 나열은 지그재그이지만, 항을 위치 번호로 정리하면 길들여집니다.
홀수 위치는 $a_1=2001,\; a_3=2003,\; a_5=2005,\; a_7=2007$ — 매번 $2$ 씩 올라갑니다.
짝수 위치는 $a_2=2002,\; a_4=2000,\; a_6=1998,\; a_8=1996$ — 매번 $2$ 씩 내려갑니다.
$2004$ 는 짝수이므로 짝수 위치 수열만 중요하고, 이 수열은 다음 짝수 항으로 갈 때마다 정확히 $2$ 씩 줄어듭니다.

짝수 위치: $2002,\;2000,\;1998,\;1996,\;\ldots$ ($2$ 씩 감소)

💡 지저분한 수열은 종종 두 개의 깔끔한 수열을 숨기고 있습니다 — 위치로 나누면 지그재그가 직선이 됩니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.B.6 단계 3

짝수 패턴을 2004번째까지 연장하기

짝수 위치 항에 번호를 매깁니다: $1$ 번째는 $a_2=2002$, $2$ 번째는 $a_4=2000$, $3$ 번째는 $a_6=1998$, 일반적으로 $k$ 번째 짝수 항은 $E_k = 2002 - 2(k-1)$ 입니다.
$2002$ 에서 시작해 매 단계 $2$ 씩 잃기 때문입니다.
위치 $2004$ 는 $2004 \div 2 = 1002$ 번째 짝수 항이므로 $k=1002$ 입니다.
그러면 $E_{1002} = 2002 - 2(1002-1) = 2002 - 2\cdot 1001 = 2002 - 2002 = 0$ 입니다.

$$a_{2004} = E_{1002} = 2002 - 2\cdot 1001 = 0$$

💡 수열이 일정한 폭으로 변하면, 하나의 식으로 모든 항을 나열하지 않고도 어떤 항으로든 바로 건너뛸 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

값을 선택지와 맞추기

$2004$ 번째 항은 $0$ 이고, 이는 선택지 (C)입니다.
나머지 오답은 관련 없는 오세기에 해당합니다: $4003$ (D)은 쌍의 합 $a_1+a_2$, $-2004$ (A)와 $-2$ (B)는 패턴을 음수로 잘못 밀어서 나온 값, $6007$ (E)은 여기서 근거가 없습니다.
오직 $0$ 만 짝수 위치 규칙에 맞으므로, 답은 (C)입니다.

$$a_{2004} = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 신뢰할 수 있는 값 하나가 다른 모든 선택지를 지우므로, 정확한 항이 답을 결정합니다.

[1] #5 4.NBT.B.4 규칙 $a_n = a_{n-3} + a_{n-2} - a_{n-1}$ 을 반복해서 적용합니다. $a_4 = 2001 + 2002 - 2003 =

[2] #15 4.OA.C.5 전체 나열은 지그재그이지만, 항을 위치 번호로 정리하면 길들여집니다. 홀수 위치는 $a_1=2001,\; a_3=2003,\; a_5=2005,

[3] #5 6.EE.B.6 짝수 위치 항에 번호를 매깁니다: $1$ 번째는 $a_2=2002$, $2$ 번째는 $a_4=2000$, $3$ 번째는 $a_6=1998$, 일

[4] #3 4.OA.C.5 $2004$ 번째 항은 $0$ 이고, 이는 선택지 (C)입니다. 나머지 오답은 관련 없는 오세기에 해당합니다: $4003$ (D)은 쌍의 합 $

검토

합리성 확인: 짝수 항 $2002, 2000, 1998, \ldots$ 은 $2$ 씩 꾸준히 내려가고, 첫 짝수 항부터 $1002$ 번째까지는 $-2$ 씩 $1001$ 번의 단계, 즉 총 $2002$ 만큼 내려갑니다 — 정확히 $2002 - 2002 = 0$ 에 도착합니다. 값이 패턴이 가리키는 자리에 딱 맞고, $0$ 이 제시된 선택지 중 하나이므로 (C)가 일관됩니다.

대안 접근: 규칙을 $a_n + a_{n-1} = a_{n-2} + a_{n-3}$ 으로 다시 쓰면, 이웃한 두 항의 합이 두 단계마다 반복됩니다. 짝수 $n$ 에 대해 이 합은 항상 $a_2 + a_1 = 4003$ 이므로 $a_{2003} + a_{2004} = 4003$ 입니다. 홀수 항은 $2001$ 에서 $2$ 씩 올라가므로 $a_{2003} = 2001 + 2\cdot 1001 = 4003$ 입니다. 따라서 $a_{2004} = 4003 - 4003 = 0$ 이고, (C)를 확인합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 뺀다 (점화식으로 초반 항 $a_4$ 부터 $a_8$ 까지 계산하여 패턴을 드러내는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 (홀수·짝수 위치를 나누고 짝수 위치 항이 2씩 감소함을 알아낸 뒤, 최종 값을 선택지와 대조하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식을 쓴다 (일반 짝수 항 식 $E_k = 2002 - 2(k-1)$ 을 쓰고 $k=1002$ 에서 계산하여 2004번째 항으로 바로 도달하는 데 사용.)

⭐ 수열이 지그재그일 때는 항을 짝수·홀수 위치로 나누세요 — 각 절반이 흔히 일정한 폭으로 변하는 패턴이 되어 원하는 항으로 바로 건너뛸 수 있습니다.