AMC 10 · 2004 · #20
학년 7 geometry-2d
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림에는 잴 수 있는 길이가 없고 두 세비안 위의 비 두 개만 있으므로, 그 비가 직접 지배하는 넓이로 길이를 바꾼다. 핵심 사실(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기)은 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 비와 같다는 것이다. 그래서 삼각형 ABC를 T에서 만나는 네 작은 삼각형으로 쪼개고 그중 하나를 단위로 삼는다. 그다음 단 하나의 미지의 넓이 — 삼각형 TCD의 넓이 — 를 변수로 이름 붙인다(도구 #4, 변수 도입하기). 삼각형 ACT의 넓이를 두 가지 방식으로 읽으면 그 변수에 대한 방정식 하나가 나오고, 그 변수 자체가 바로 답 CD/BD가 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 네 조각과 어느 세비안이 어느 비를 지배하는지 헷갈리지 않게 해 준다.
길이의 비를 넓이의 비로 바꾸기
TCD와 TBD는 꼭짓점 T를 공유하고 밑변이 직선 BC 위에 있어 높이가 같으니 CD/BD=[TCD]/[TBD]이다.
높이가 같으면 밑변이 큰 쪽이 정확히 그 비만큼 넓이도 크다.
높이가 같으면 밑변이 클수록 삼각형도 정확히 그 비만큼 커진다.
▸ 왜?
한 직선 위에 꼭짓점을 공유하는 삼각형은 높이를 공유하므로, 다를 수 있는 것은 밑변뿐이다.
▸ 왜?
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 높이가 정해지면 넓이는 밑변에만 매인다.
AD의 비 이용: 단위와 변수 정하기
[TBD]=1, [TCD]=x(곧 답)로 두면, AT:TD=3:1에서 [ABT]=3, [ACT]=3x이다.
AT가 TD의 세 배이므로 AT 위에 세운 삼각형은 모두 TD 위의 짝의 세 배가 된다.
7.RP.A.2Introduce A Variable같은 조각들에 BE의 비 이용하기
BT:TE=4:1에서 [AET]=3/4이고, [CBT]=1+x이므로 [CET]=(1+x)/4이다.
BE의 같은 4:1 분할이 ET 위 삼각형을 BT 위 짝의 4분의 1로 줄인다.
7.RP.A.2Identify Subproblems삼각형 ACT를 두 가지로 읽어 풀기
E가 AC 위에 있어 3x=3/4+(1+x)/4, 곧 12x=4+x이므로 CD/BD=x=4/11, 선택지 (D)이다.
한 넓이를 두 가지로 쓴 식은 반드시 일치해야 하고, 그 방정식 하나가 미지수를 결정한다.
7.EE.B.4Introduce A Variable길이를 넓이로 바꾸자: 높이가 같은 삼각형은 밑변으로 비교되므로, 한 작은 삼각형의 넓이를 x라 하고 다른 삼각형의 넓이를 두 가지로 쓰면 방정식 하나가 CD/BD=4/11을 내어 준다.
- 길이의 비를 넓이의 비로 바꾸기
- AD의 비 이용: 단위와 변수 정하기
- 같은 조각들에 BE의 비 이용하기
- 삼각형 ACT를 두 가지로 읽어 풀기