AMC 10 · 2004 · #20

학년 7 geometry-2d

ratio-proportionarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 $\triangle ABC$ 에서 점 $D$ 와 $E$ 가 각각 $BC$ 와 $AC$ 위에 있다. $AD$ 와 $BE$ 가 점 $T$ 에서 만나고 $\frac{AT}{DT}=3$ , $\frac{BT}{ET}=4$ 일 때, $\frac{CD}{BD}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{2}{9}$

(C)

$\frac{3}{10}$

(D)

$\frac{4}{11}$

(E)

$\frac{5}{12}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$에서 점 $D$는 변 $BC$ 위에, 점 $E$는 변 $AC$ 위에 있다. 세비안 $AD$와 $BE$가 점 $T$에서 만난다. $AD$ 위에서 $AT$는 $DT$의 $3$배이고, $BE$ 위에서 $BT$는 $ET$의 $4$배이다. 점 $D$가 $BC$를 나누는 비, 즉 $\frac{CD}{BD}$를 구하여라.

주어진 것: $D$는 $BC$ 위에, $E$는 $AC$ 위에 있다.; $AD$와 $BE$는 내부의 점 $T$에서 만난다.; $\frac{AT}{DT}=3$, 즉 $T$가 $AD$를 $AT:TD=3:1$로 나눈다.; $\frac{BT}{ET}=4$, 즉 $T$가 $BE$를 $BT:TE=4:1$로 나눈다.; 선택지: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{2}{9}$, (C) $\frac{3}{10}$, (D) $\frac{4}{11}$, (E) $\frac{5}{12}$.

구하는 것: 점 $D$가 변 $BC$를 나누는 비 $\frac{CD}{BD}$.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

그림에는 잴 수 있는 길이가 없고 두 세비안 위의 비 두 개만 있으므로, 그 비가 직접 지배하는 넓이로 길이를 바꾼다. 핵심 사실(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기)은 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 비와 같다는 것이다. 그래서 삼각형 $ABC$를 $T$에서 만나는 네 작은 삼각형으로 쪼개고 그중 하나를 단위로 삼는다. 그다음 단 하나의 미지의 넓이 — 삼각형 $TCD$의 넓이 — 를 변수로 이름 붙인다(도구 #4, 변수 도입하기). 삼각형 $ACT$의 넓이를 두 가지 방식으로 읽으면 그 변수에 대한 방정식 하나가 나오고, 그 변수 자체가 바로 답 $\frac{CD}{BD}$가 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 네 조각과 어느 세비안이 어느 비를 지배하는지 헷갈리지 않게 해 준다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

길이의 비를 넓이의 비로 바꾸기

높이가 같은 두 삼각형은 넓이가 밑변의 비와 같다.
넓이 $=\tfrac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$이기 때문이다.
삼각형 $TCD$와 $TBD$는 꼭짓점 $T$를 공유하고 밑변 $CD$와 $BD$가 같은 직선 $BC$ 위에 있으므로, $T$에서 내린 높이가 같다.
따라서 $\frac{CD}{BD}=\frac{[TCD]}{[TBD]}$이다.
여기서 $[\,\cdot\,]$는 넓이를 뜻한다.
이렇게 하면 문제 전체가 $T$ 주위 작은 삼각형 두 개의 넓이의 비를 구하는 문제로 바뀐다.

$$\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{[TCD]}{[TBD]}$$

💡 높이가 같으면 밑변이 큰 쪽이 정확히 그 비만큼 넓이도 크다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 2

AD의 비 이용: 단위와 변수 정하기

$[TBD]=1$을 넓이의 단위로 삼고, 미지의 넓이를 $[TCD]=x$라 하자.
1단계에 의해 답은 정확히 $x$이다.
이제 $AT:TD=3:1$을 쓴다.
삼각형 $ABT$와 $DBT$는 꼭짓점 $B$를 공유하고 밑변 $AT$, $TD$가 직선 $AD$ 위에 있으므로 $[ABT]=3\,[DBT]=3$이다.
삼각형 $ACT$와 $DCT$도 같은 밑변 $AT,TD$로 꼭짓점 $C$를 공유하므로 $[ACT]=3\,[DCT]=3x$이다.

$$[TBD]=1,\ [TCD]=x;\quad [ABT]=3,\quad [ACT]=3x$$

💡 $AT$가 $TD$의 세 배이므로 $AT$ 위에 세운 삼각형은 모두 $TD$ 위의 짝의 세 배가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 3

같은 조각들에 BE의 비 이용하기

이제 $BT:TE=4:1$을 쓴다.
삼각형 $ABT$와 $AET$는 꼭짓점 $A$를 공유하고 밑변 $BT$, $ET$가 직선 $BE$ 위에 있으므로 $[AET]=\tfrac14[ABT]=\tfrac34$이다.
삼각형 $CBT$와 $CET$도 같은 밑변 $BT,ET$로 꼭짓점 $C$를 공유하므로 $[CET]=\tfrac14[CBT]$이다.
그런데 삼각형 $CBT$는 $D$에 의해 $TBD$와 $TCD$로 나뉘므로 $[CBT]=[TBD]+[TCD]=1+x$이고, 따라서 $[CET]=\frac{1+x}{4}$이다.

$$[AET]=\tfrac14\cdot 3=\tfrac34,\qquad [CET]=\tfrac14(1+x)=\dfrac{1+x}{4}$$

💡 $BE$의 같은 $4:1$ 분할이 $ET$ 위 삼각형을 $BT$ 위 짝의 $4$분의 $1$로 줄인다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

삼각형 ACT를 두 가지로 읽어 풀기

점 $E$는 $AC$ 위에 있으므로 선분 $TE$가 삼각형 $ACT$를 $AET$와 $CET$로 자른다.
따라서 $[ACT]=[AET]+[CET]=\tfrac34+\frac{1+x}{4}$이다.
그런데 2단계에서 이미 $[ACT]=3x$를 얻었다.
두 식을 같다고 놓으면 $3x=\tfrac34+\frac{1+x}{4}$이다.
양변에 $4$를 곱하면 $12x=3+(1+x)=4+x$이므로 $11x=4$, 즉 $x=\frac{4}{11}$이다.
답이 $\frac{CD}{BD}=x$이므로 $\frac{CD}{BD}=\frac{4}{11}$, 곧 선택지 (D)이다.

$$3x=\dfrac34+\dfrac{1+x}{4}\ \Rightarrow\ 12x=4+x\ \Rightarrow\ 11x=4\ \Rightarrow\ x=\dfrac{4}{11}\ \textbf{(D)}$$

💡 한 넓이를 두 가지로 쓴 식은 반드시 일치해야 하고, 그 방정식 하나가 미지수를 결정한다.

[1] #1 6.G.A.1 높이가 같은 두 삼각형은 넓이가 밑변의 비와 같다. 넓이 $=\tfrac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$이기 때문이다.

[2] #4 7.RP.A.2 $[TBD]=1$을 넓이의 단위로 삼고, 미지의 넓이를 $[TCD]=x$라 하자. 1단계에 의해 답은 정확히 $x$이다. 이제 $AT:TD=3:

[3] #7 7.RP.A.2 이제 $BT:TE=4:1$을 쓴다. 삼각형 $ABT$와 $AET$는 꼭짓점 $A$를 공유하고 밑변 $BT$, $ET$가 직선 $BE$ 위에 있으

[4] #4 7.EE.B.4 점 $E$는 $AC$ 위에 있으므로 선분 $TE$가 삼각형 $ACT$를 $AET$와 $CET$로 자른다. 따라서 $[ACT]=[AET]+[CET

검토

합리성 확인: 답은 $0$과 $1$ 사이의 비이고 이는 타당하다. $D$는 $BC$ 위 어딘가에 있고, 세비안의 강한 당김($AT$가 $TD$의 세 배, $BT$가 $ET$의 네 배)은 $D$를 $C$보다 $B$에 가깝게 유지해야 하므로 $CD>BD$이면 틀린 것이다. 실제로 $\frac{4}{11}<1$은 $CD<BD$를 뜻하며 $D$가 $B$ 근처라는 것과 일치한다. 모든 넓이가 양수로 나왔고($[TBD]=1,[TCD]=\frac4{11},[ABT]=3,[AET]=\frac34$) 음의 조각이 강제되지 않았으며, $\frac{4}{11}$은 정확히 주어진 선택지 중 하나이다.

대안 접근: 질량점(mass points)으로도 같은 답이 빠르게 나온다. $A$에 질량 $1$을 놓자. $AT:TD=3:1$이 되려면 $D$가 질량 $3$을 가져야 하고, $D$가 $B$와 $C$의 균형을 이루므로 $m_B+m_C=3$이어야 한다. $BT:TE=4:1$이 되려면 $E$가 질량 $4m_B$를 $B$에 맞서 가져야 하고, $E$가 $A$와 $C$의 균형을 이루므로 $m_A+m_C=4m_B$, 즉 $1+m_C=4m_B$이어야 한다. $m_C=3-m_B$를 넣으면 $4=5m_B$이므로 $m_B=\frac45$, $m_C=\frac{11}5$이다. 그러면 $\frac{CD}{BD}=\frac{m_B}{m_C}=\frac{4/5}{11/5}=\frac{4}{11}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (넓이 $=\tfrac12\cdot$밑변$\cdot$높이를 이용해 높이가 같은 삼각형의 넓이가 밑변의 비와 같음을 보고, $ABC$를 $T$ 주위 작은 삼각형들로 합성·분해하기.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 나타내기 ($AT:TD=3:1$과 $BT:TE=4:1$을 $[ABT]=3[DBT]$, $[CET]=\tfrac14[CBT]$ 같은 비례 넓이 관계로 바꾸기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식·부등식 세우기 (미지의 넓이를 $x$로 이름 붙이고, $[ACT]$를 두 가지로 써서 방정식 $3x=\tfrac34+\frac{1+x}{4}$를 세운 뒤 $11x=4$를 풀기.)

⭐ 길이를 넓이로 바꾸자: 높이가 같은 삼각형은 밑변으로 비교되므로, 한 작은 삼각형의 넓이를 $x$라 하고 다른 삼각형의 넓이를 두 가지로 쓰면 방정식 하나가 $\frac{CD}{BD}=\frac{4}{11}$을 내어 준다.