AMC 10 · 2004 · #24

학년 8 geometry-2d

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 ABC의 변의 길이는 AB=7, AC=8, BC=9이다. 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그린다. 각 BAC의 이등분선을 연장하여 이 원과 다시 만나는 점을 D라 하자. AD/CD의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{9}{8}$

(B)

$\dfrac{5}{3}$

(C)

(D)

$\dfrac{17}{7}$

(E)

$\dfrac{5}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제를 여는 열쇠는 그림이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. 원 위에 네 점 A, B, D, C를 그리면 모든 것이 걸려 있는 단 하나의 사실이 보인다. AD가 각 A를 크기가 같은 두 반쪽으로 나누므로 두 호 BD와 CD가 같고, 따라서 현 BD와 CD도 같다. 이로써 미지의 두 길이가 하나로 줄어든다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 공통 길이를 x라 이름 붙이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 네 변과 대각선 AD를 한꺼번에 묶어 주는 깔끔한 관계식(내접사각형에 대한 프톨레마이오스 관계식) 하나를 얻는다. 마지막에 x가 약분되는데, 답이 순수한 수가 되는 이유가 바로 이것이다.

1STEP 1

원을 그려 같은 현을 읽어낸다

원 위의 순서는 A, B, D, C이고, A의 같은 두 각이 호 BD와 호 CD를 똑같이 마주 보므로 BD = CD이다.

∠ BAD = ∠ CAD → 호 BD = 호 CD → BD = CD

2STEP 2

공통 길이에 이름을 붙인다

CD = x라 하면 BD = x이다. 사각형 ABDC는 AB = 7, AC = 8, 대각선은 AD와 BC = 9이다.

CD = x, BD = x, AB = 7, AC = 8, BC = 9

3STEP 3

프톨레마이오스로 변들을 묶는다

프톨레마이오스에 의해 AD · BC = AB · CD + AC · BD이므로 AD · 9 = 15x이고 AD = 5x/3이다.

AD · 9 = 7x + 8x = 15x → AD = 15x/9 = 5x/3

4STEP 4

비를 만들면 x가 약분된다

AD/CD = (5x/3)/x에서 x가 약분되어 비는 5/3만 남는다. 답은 (B)이다.

AD/CD = (5x/3)/x = 5/3 (B)

정답

5/3

답 5/3은 x가 남지 않은 깔끔한 수로, 같은 도형 위 두 길이의 비로서 알맞은 모양이다. 실제 길이로 확인해도 뒷받침된다: cos A = (7²+8²-9²)/(2 · 7 · 8) = 2/7이고, 이로부터 CD ≈ 5.61, AD ≈ 9.35이며 9.35 / 5.61 = 1.667 = 5/3이다. 대칭성으로도 맞다: 만약 AB = AC인 이등변삼각형이라면 이등분선이 대칭축이 되어 D는 BC의 중점 반대편에 놓이고, 프톨레마이오스는 AD = 2 AB/BC CD를 주는데 7+8이 2 AB로 바뀐 같은 구조이다.

💡핵심 정리

각 A를 반으로 자르면 선이 마주 보는 호의 정중앙을 겨누므로 BD = CD이고, 원의 규칙 하나(프톨레마이오스)가 모든 변을 AD = 5/3CD로 바꿔 주어 비는 5/3이 된다.

원을 그려 같은 현을 읽어낸다
공통 길이에 이름을 붙인다
프톨레마이오스로 변들을 묶는다
비를 만들면 x가 약분된다

원을 그려 같은 현을 읽어낸다

공통 길이에 이름을 붙인다

프톨레마이오스로 변들을 묶는다

비를 만들면 x가 약분된다

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