AMC 10 · 2004 · #24

학년 8 geometry-2d

inscribed-anglesimilar-trianglesangle-bisector-theorem convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 $ABC$ 에서 $AB=7$ , $AC=8$ , $BC=9$ 이다. 점 $D$ 는 삼각형의 외접원 위에 있고 $AD$ 가 각 $BAC$ 를 이등분한다. $\frac{AD}{CD}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{9}{8}$

(B)

$\dfrac{5}{3}$

(C)

(D)

$\dfrac{17}{7}$

(E)

$\dfrac{5}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$의 변의 길이는 $AB=7$, $AC=8$, $BC=9$이다. 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그린다. 각 $BAC$의 이등분선을 연장하여 이 원과 다시 만나는 점을 $D$라 하자. $\dfrac{AD}{CD}$의 값을 구하여라.

주어진 것: $AB = 7$, $AC = 8$, $BC = 9$.; $A$, $B$, $C$가 모두 한 원(외접원) 위에 있다.; $D$도 같은 원 위에 있고, 직선 $AD$가 각 $BAC$를 크기가 같은 두 각으로 나눈다.; 선택지: (A) $\dfrac{9}{8}$, (B) $\dfrac{5}{3}$, (C) $2$, (D) $\dfrac{17}{7}$, (E) $\dfrac{5}{2}$.

구하는 것: 비 $\dfrac{AD}{CD}$.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제를 여는 열쇠는 그림이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. 원 위에 네 점 $A$, $B$, $D$, $C$를 그리면 모든 것이 걸려 있는 단 하나의 사실이 보인다. $AD$가 각 $A$를 크기가 같은 두 반쪽으로 나누므로 두 호 $BD$와 $CD$가 같고, 따라서 현 $BD$와 $CD$도 같다. 이로써 미지의 두 길이가 하나로 줄어든다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 공통 길이를 $x$라 이름 붙이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 네 변과 대각선 $AD$를 한꺼번에 묶어 주는 깔끔한 관계식(내접사각형에 대한 프톨레마이오스 관계식) 하나를 얻는다. 마지막에 $x$가 약분되는데, 답이 순수한 수가 되는 이유가 바로 이것이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

원을 그려 같은 현을 읽어낸다

$A$, $B$, $C$를 지나는 원을 그리고, 각 $A$의 이등분선이 원과 다시 만나는 곳에 $D$를 표시한다.
원을 따라 돌면 순서는 $A$, $B$, $D$, $C$이다.
$AD$가 각 $BAC$를 이등분하므로 각 $\angle BAD$와 각 $\angle CAD$가 같다.
이 같은 두 각은 $A$에 있으면서 호 $BD$와 호 $CD$를 마주 보므로 두 호의 크기가 같다.
같은 호는 같은 현을 잘라 내므로 $BD = CD$이다.
$D$에서 변 $BC$의 양 끝으로 가는 두 선분의 길이가 같다.

$$\angle BAD = \angle CAD \ \Rightarrow\ \text{호 } BD = \text{호 } CD \ \Rightarrow\ BD = CD$$

💡 각을 반으로 자르면 이등분선이 마주 보는 호의 정중앙을 겨누므로, $B$와 $C$에서 같은 거리에 도착한다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

공통 길이에 이름을 붙인다

$CD = x$라 하자.
1단계에서 $BD = x$이므로 $D$에서 나오는 두 현이 모두 $x$이다.
정작 구하려는 길이 $AD$는 아직 모르므로 $AD$ 그대로 둔다.
이제 사각형 $ABDC$의 네 수는 알려졌거나 이름이 붙었다: $AB = 7$, $AC = 8$, $BD = x$, $CD = x$, 그리고 두 대각선은 $AD$(미지)와 $BC = 9$이다.

$$CD = x,\quad BD = x,\quad AB = 7,\quad AC = 8,\quad BC = 9$$

💡 이제 글자 하나가 미지의 두 현을 모두 대신하므로, 다뤄야 할 새로운 수는 사실 하나뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 3

프톨레마이오스로 변들을 묶는다

원 위의 네 점에 대해 프톨레마이오스 관계식은 두 대각선의 곱이 마주 보는 두 쌍의 변의 곱의 합과 같다고 말한다.
사각형 $ABDC$에서 대각선은 $AD$와 $BC$이고, 마주 보는 변의 쌍은 $(AB, CD)$와 $(AC, BD)$이다.
따라서 $AD \cdot BC = AB \cdot CD + AC \cdot BD$이다.
수를 대입하면 $AD \cdot 9 = 7 \cdot x + 8 \cdot x = 15x$이다.
이것은 $AD$에 대한 일차방정식이므로 양변을 $9$로 나누면 $AD = \dfrac{15x}{9} = \dfrac{5x}{3}$이다.

$$AD\cdot 9 = 7x + 8x = 15x \ \Rightarrow\ AD = \dfrac{15x}{9} = \dfrac{5x}{3}$$

💡 원의 규칙 하나가 모든 변을 대각선에 한꺼번에 이어 주므로, 방정식 하나로 $AD$를 $x$로 확정한다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 4

비를 만들면 x가 약분된다

문제는 $\dfrac{AD}{CD}$를 묻는다.
$AD = \dfrac{5x}{3}$이고 $CD = x$이므로 $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{5x/3}{x}$이다.
$x$가 약분되어 $\dfrac{5}{3}$만 남는다.
예상대로 삼각형의 크기는 전혀 영향을 주지 않았다.
답은 (B)이다.

$$\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{5x/3}{x} = \dfrac{5}{3}\quad\textbf{(B)}$$

💡 두 길이가 같은 $x$에서 자라났으므로, 원이 아무리 커도 그 비는 고정되어 있다.

[1] #1 8.G.A.5 $A$, $B$, $C$를 지나는 원을 그리고, 각 $A$의 이등분선이 원과 다시 만나는 곳에 $D$를 표시한다. 원을 따라 돌면 순서는 $A$

[2] #4 6.EE.B.6 $CD = x$라 하자. 1단계에서 $BD = x$이므로 $D$에서 나오는 두 현이 모두 $x$이다. 정작 구하려는 길이 $AD$는 아직 모르므

[3] #7 8.EE.C.7 원 위의 네 점에 대해 프톨레마이오스 관계식은 두 대각선의 곱이 마주 보는 두 쌍의 변의 곱의 합과 같다고 말한다. 사각형 $ABDC$에서 대각

[4] #4 7.RP.A.2 문제는 $\dfrac{AD}{CD}$를 묻는다. $AD = \dfrac{5x}{3}$이고 $CD = x$이므로 $\dfrac{AD}{CD} =

검토

합리성 확인: 답 $\dfrac{5}{3}$은 $x$가 남지 않은 깔끔한 수로, 같은 도형 위 두 길이의 비로서 알맞은 모양이다. 실제 길이로 확인해도 뒷받침된다: $\cos A = \dfrac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot 7\cdot 8} = \dfrac{2}{7}$이고, 이로부터 $CD \approx 5.61$, $AD \approx 9.35$이며 $9.35 / 5.61 = 1.667 = \dfrac{5}{3}$이다. 대칭성으로도 맞다: 만약 $AB = AC$인 이등변삼각형이라면 이등분선이 대칭축이 되어 $D$는 $BC$의 중점 반대편에 놓이고, 프톨레마이오스는 $AD = \dfrac{2\,AB}{BC}\,CD$를 주는데 $7+8$이 $2\,AB$로 바뀐 같은 구조이다.

대안 접근: 프톨레마이오스 대신 닮은 삼각형을 쓴다. $AD$가 변 $BC$와 만나는 점을 $E$라 하자. 각 $\angle ADC$와 $\angle ABE$는 같은 호 $AC$를 마주 보므로 같고, $AD$가 각 $A$를 이등분하므로 $\angle DAC = \angle BAE$이다. 따라서 삼각형 $ADC \sim$ 삼각형 $ABE$이고 $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}$이다. 각의 이등분선 정리로 $BC=9$가 $AB:AC = 7:8$로 나뉘므로 $BE = \dfrac{7}{15}\cdot 9 = \dfrac{21}{5}$이고, $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{7}{21/5} = \dfrac{5}{3}$이다. 두 길 모두 $\dfrac{5}{3}$에 도착하지만, 프톨레마이오스는 방정식 하나로 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실을 확립한다 (이등분된 같은 각이 같은 호를 잘라 내므로 현 $BD$와 $CD$가 같음을 논증하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 식을 세워 문제를 해결한다 (공통 현 길이 $CD = BD = x$에 이름을 붙여 미지의 두 길이를 변수 하나로 만드는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식을 푼다 (프톨레마이오스 관계식에서 얻은 $9\,AD = 15x$를 풀어 $AD = \dfrac{5x}{3}$을 구하는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 표현한다 (비 $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{5x/3}{x}$를 만들고 $x$를 약분해 $\dfrac{5}{3}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 각 $A$를 반으로 자르면 선이 마주 보는 호의 정중앙을 겨누므로 $BD = CD$이고, 원의 규칙 하나(프톨레마이오스)가 모든 변을 $AD = \tfrac{5}{3}CD$로 바꿔 주어 비는 $\tfrac{5}{3}$이 된다.