AMC 10 · 2004 · #4

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisibility-rulesprime-factorizationfactors extremal-constructionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
표준 주사위의 여섯 면에는 1, 2, 3, 4, 5, 6이 적혀 있습니다. 이 주사위를 굴리면 정확히 한 면이 바닥에 닿아 가려지고, P는 보이는 다섯 수의 곱입니다. 어느 면이 가려지든 항상 P를 나누는 가장 큰 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
12
(C)
24
(D)
144
(E)
720

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

"항상 나눈다"는 것은 보장의 문제입니다. 약수는 가장 불리한 경우에서도 살아남아야 하므로 이것은 극단의 원리(#14) 문제입니다 — 각 소인수마다 그 소인수가 가장 적게 남는 경우를 찾습니다. 빠짐없이 나열하기(#2)로 막연한 "아무 면"을 여섯 개의 구체적인 곱으로 바꿔 최악의 경우를 눈에 보이게 하고, 가능성 지우기(#3)로 살아남은 수를 선택지에 맞추면서 가끔만 성립하는 더 큰 함정들을 지웁니다.

1STEP 1

전체 곱을 고정하기

여섯 면의 곱은 720으로 고정이므로, 한 면을 가리면 P는 그 곱을 가려진 수로 나눈 값입니다.

1·2·3·4·5·6=720, P=720/(가려진 면)
2STEP 2

"항상"을 최악의 경우로 바꾸기

"항상"은 모든 경우에 나눠야 한다는 뜻입니다. 720=2⁴·3²·5로 쪼개 소인수별 최소 개수를 찾습니다.

720=2⁴·3²·5
3STEP 3

가능한 여섯 개의 곱을 나열하기

가려진 면 h마다 P=720÷h를 소인수분해하면 각 소인수의 최악의 경우가 한눈에 보입니다.

h=1&:720=2⁴·3²·5 ; h=2&:360=2³·3²·5 ; h=3&:240=2⁴·3·5 ; h=4&:180=2²·3²·5 ; h=5&:144=2⁴·3² ; h=6&:120=2³·3·5
4STEP 4

각 소인수의 가장 작은 거듭제곱 택하기

최대공약수를 취하면 2는 최소 2²(4를 가릴 때), 3은 최소 3¹, 5는 사라져 2²·3=12입니다.

gcd=2^min(4,3,4,2,4,3)·3^min(2,2,1,2,2,1)·5^min(1,1,1,1,0,1)=2²·3¹·5⁰=12
5STEP 5

선택지에 맞추고 함정 지우기

12는 여섯 곱을 모두 나눕니다. 24는 180에서, 144와 720은 인수 5에서 실패하고 6은 더 작습니다 — (B).

모든 h 에 대해 12 ∣ P, 24 ∤ 180, 5 ∤ 144 → (B)
정답
12
나열의 극단값들로 12를 확인합니다: 가장 작은 값 180은 180÷12=15, 144는 144÷12=12 — 둘 다 정수이므로 12는 정말 모든 경우를 나눕니다. 더 올리면 깨집니다: 24는 180에서 실패(2가 두 개뿐)하고, 인수 5를 가진 것은 144에서 실패합니다. 따라서 12가 정확히 한계이고, 이는 (B)이며 더 큰 (C), (D), (E)를 배제하고 (A)를 능가합니다.
💡핵심 정리

"항상 나눈다"는 것은 최악의 굴림에서도 살아남아야 한다는 뜻이므로, 각 소인수마다 가장 빈약한 경우가 남기는 개수만큼만 챙긴다 — 여기서는 2·2·3=12.

  • 전체 곱을 고정하기
  • "항상"을 최악의 경우로 바꾸기
  • 가능한 여섯 개의 곱을 나열하기
  • 각 소인수의 가장 작은 거듭제곱 택하기
  • 선택지에 맞추고 함정 지우기

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