AMC 10 · 2004 · #4

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesprime-factorizationfactors extremal-constructionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

표준 육면체 주사위를 굴리고, $P$ 를 보이는 다섯 면의 수의 곱이라 하자. $P$ 를 항상 나누는 가장 큰 수는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

144

(E)

720

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 표준 주사위(면이 $1,2,3,4,5,6$)를 굴려 정확히 한 면이 바닥에 닿아 가려집니다. $P$ 는 보이는 다섯 면의 곱입니다. 어느 면이 가려지든 항상 $P$ 를 나누는 가장 큰 수를 구하세요.

주어진 것: 여섯 면의 수는 $1,2,3,4,5,6$ 입니다; 정확히 한 면이 바닥에 가려지고 나머지 다섯 면이 보입니다; $P$ 는 보이는 다섯 수의 곱입니다; 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $24$, (D) $144$, (E) $720$

구하는 것: 가려지는 면이 무엇이든 항상 $P$ 를 나누도록 보장되는 가장 큰 수

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

"항상 나눈다"는 것은 보장의 문제입니다. 약수는 가장 불리한 경우에서도 살아남아야 하므로 이것은 극단의 원리(#14) 문제입니다 — 각 소인수마다 그 소인수가 가장 적게 남는 경우를 찾습니다. 빠짐없이 나열하기(#2)로 막연한 "아무 면"을 여섯 개의 구체적인 곱으로 바꿔 최악의 경우를 눈에 보이게 하고, 가능성 지우기(#3)로 살아남은 수를 선택지에 맞추면서 가끔만 성립하는 더 큰 함정들을 지웁니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 1

전체 곱을 고정하기

여섯 면을 모두 곱하면 하나의 고정된 수가 됩니다: $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$.
한 면을 가리는 것은 그 면을 곱에서 빼는 것뿐이므로, 보이는 다섯 수의 곱은 $720$ 을 가려진 면으로 나눈 값입니다.
즉 $P$ 는 언제나 $720$ 을 바닥에 놓인 수로 나눈 것입니다.

$$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720,\qquad P=\dfrac{720}{\text{가려진 면}}$$

💡 전체 곱은 절대 변하지 않고, 면을 가리는 것은 $720$ 을 그 한 수로 나누는 것뿐이다.

#14 극단의 원리 4.OA.B.4 단계 2

"항상"을 최악의 경우로 바꾸기

어떤 수가 $P$ 를 "항상" 나누려면 가려진 면이 무엇이든 $P$ 를 나눠야 합니다.
그래서 답은 $P$ 가 가질 수 있는 각 소인수의 최소 개수 안에 들어가는 가장 큰 수입니다.
$720$ 을 소인수분해하면 $720=2^4\cdot3^2\cdot5$.
이제 소인수별로 면을 가렸을 때 살아남는 최소 개수를 추적합니다.

$$720=2^4\cdot3^2\cdot5$$

💡 보장되는 약수는 가장 빈약한 경우에도 맞아야 하므로 각 소인수의 최솟값을 찾는다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

가능한 여섯 개의 곱을 나열하기

각 가려진 면 $h$ 에 대해 $P=720\div h$ 를 쓰고 소인수분해합니다.
그러면 모든 소인수의 최악의 경우가 한눈에 보입니다.

$$\begin{aligned}h=1&:720=2^4\cdot3^2\cdot5\\ h=2&:360=2^3\cdot3^2\cdot5\\ h=3&:240=2^4\cdot3\cdot5\\ h=4&:180=2^2\cdot3^2\cdot5\\ h=5&:144=2^4\cdot3^2\\ h=6&:120=2^3\cdot3\cdot5\end{aligned}$$

💡 여섯 개의 소인수분해를 한꺼번에 보면 각 소인수의 가장 적은 양이 드러난다.

#14 극단의 원리 6.NS.B.4 단계 4

각 소인수의 가장 작은 거듭제곱 택하기

보장되는 약수는 여섯 곱의 최대공약수입니다: 각 소인수마다 가장 빈약한 경우가 가진 개수만큼만 남깁니다.
$2$ 의 최소 개수는 $2^2$ ($4$ 가 가려지면 보이는 짝수는 $2$ 와 $6$ 뿐).
$3$ 의 최소 개수는 $3^1$ ($3$ 또는 $6$ 이 가려질 때).
$5$ 의 최소 개수는 $0$ ($5$ 가 가려지면 $P=144$ 에는 인수 $5$ 가 없음).
살아남은 것들을 곱하면 $2^2\cdot3=12$ 입니다.

$$\gcd=2^{\min(4,3,4,2,4,3)}\cdot3^{\min(2,2,1,2,2,1)}\cdot5^{\min(1,1,1,1,0,1)}=2^2\cdot3^1\cdot5^0=12$$

💡 최대공약수는 각 소인수를 가장 약한 경우가 허락하는 만큼만 남긴다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 5

선택지에 맞추고 함정 지우기

$12$ 는 여섯 곱을 모두 나누므로 항상 성립합니다.
더 큰 선택지들은 어떤 경우에서 실패합니다: $24=2^3\cdot3$ 은 $2$ 가 세 개 필요하지만 $180$ 에는 두 개뿐; $144$ 와 $720$ 은 둘 다 인수 $5$ 를 요구하는데 $5$ 가 가려지면 사라짐; $6$ 은 보장되지만 가장 크지 않음.
따라서 항상 나누는 가장 큰 약수는 $12$, 선택지 (B) 입니다.

$$\text{모든 }h\text{ 에 대해 }12\mid P,\quad 24\nmid180,\quad 5\nmid144\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 $12$ 보다 큰 약수는 어떤 가려진 면이 빼앗아가는 소인수에 의존한다.

[1] #2 5.NBT.B.5 여섯 면을 모두 곱하면 하나의 고정된 수가 됩니다: $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$. 한 면을 가리는 것은

[2] #14 4.OA.B.4 어떤 수가 $P$ 를 "항상" 나누려면 가려진 면이 무엇이든 $P$ 를 나눠야 합니다. 그래서 답은 $P$ 가 가질 수 있는 각 소인수의 최소

[3] #2 4.OA.B.4 각 가려진 면 $h$ 에 대해 $P=720\div h$ 를 쓰고 소인수분해합니다. 그러면 모든 소인수의 최악의 경우가 한눈에 보입니다.

[4] #14 6.NS.B.4 보장되는 약수는 여섯 곱의 최대공약수입니다: 각 소인수마다 가장 빈약한 경우가 가진 개수만큼만 남깁니다. $2$ 의 최소 개수는 $2^2$ ($

[5] #3 6.NS.B.4 $12$ 는 여섯 곱을 모두 나누므로 항상 성립합니다. 더 큰 선택지들은 어떤 경우에서 실패합니다: $24=2^3\cdot3$ 은 $2$ 가 세

검토

합리성 확인: 나열의 극단값들로 $12$ 를 확인합니다: 가장 작은 값 $180$ 은 $180\div12=15$, $144$ 는 $144\div12=12$ — 둘 다 정수이므로 $12$ 는 정말 모든 경우를 나눕니다. 더 올리면 깨집니다: $24$ 는 $180$ 에서 실패($2$ 가 두 개뿐)하고, 인수 $5$ 를 가진 것은 $144$ 에서 실패합니다. 따라서 $12$ 가 정확히 한계이고, 이는 (B) 이며 더 큰 (C), (D), (E) 를 배제하고 (A) 를 능가합니다.

대안 접근: 전체 나열을 건너뛰고 소인수 하나씩 따집니다. 여섯 면 중 셋($2,4,6$)이 짝수이므로 항상 최소 두 개의 짝수가 보여 $2^2=4$ 가 보장됩니다; $3$ 과 $6$ 중 최소 하나는 항상 보이므로 인수 $3$ 하나가 보장됩니다; 하지만 면 $5$ 하나만은 가려질 수 있어 인수 $5$ 는 보장되지 않습니다. 보장된 것들을 곱하면 $4\cdot3=12$ 가 바로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (고정된 전체 곱 $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$ 을 계산하고 각 가려진 면으로 나눠 $P$ 를 얻는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($720$ 과 여섯 곱 각각을 소인수로 분해하여 각 소인수의 개수를 파악하는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (각 소인수의 가장 작은 거듭제곱을 남겨 여섯 곱의 최대공약수를 구해 $12$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ "항상 나눈다"는 것은 최악의 굴림에서도 살아남아야 한다는 뜻이므로, 각 소인수마다 가장 빈약한 경우가 남기는 개수만큼만 챙긴다 — 여기서는 $2\cdot2\cdot3=12$.