AMC 10 · 2004 · #6

학년 8 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
factorialperfect-squaresprime-factorization easier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
다섯 개의 답 선택지는 각각 98!, 99!, 100!, 101! 중 두 계승(팩토리얼)의 곱이며, 여기서 n!은 1부터 n까지 모든 자연수를 곱한 값입니다. 다섯 선택지 중 어느 것이 완전제곱수인지 정하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$98! \cdot 99!$
(B)
$98! \cdot 100!$
(C)
$99! \cdot 100!$
(D)
$99! \cdot 101!$
(E)
$100! \cdot 101!$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

여기의 수들은 결코 적어 볼 수 없을 만큼 크며, 이는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 대표 신호입니다: 거대한 계승을 작고 다루기 쉬운 구조로 바꿔 그곳에서 답합니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 구조를 제공합니다 — 더 작은 지수를 n 이라 부르고 (n+1)!=(n+1) · n! 을 써서 각 곱을 완전제곱수 하나와 작은 나머지 하나로 접습니다. 그런 다음 도구 #3(가능성 지우기)이 다섯 선택지를 훑어, 나머지가 완전제곱수인 것만 남기고 나머지는 버립니다.

1STEP 1

거인을 나머지로 줄이기

거인은 계산하지 마세요. (n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)!=(n+1)\cdot n!을 쓰면 n!⋅(n+1)!n!\cdot(n+1)!이 (n!)2⋅(n+1)(n!)^2\cdot(n+1)로 접힙니다.

(n+1)!=(n+1) · n! → n!·(n+1)!=(n!)²·(n+1)
2STEP 2

제곱수에 무엇을 곱해야 여전히 제곱수인가

제곱 인수는 모든 소수의 개수를 짝수로 지키므로, (n!)2⋅k(n!)^2\cdot k가 제곱수인 것은 나머지 kk가 제곱수일 때뿐입니다.

(n!)² · k 가 완전제곱수 ⇔ k 가 완전제곱수
3STEP 3

이웃한 쌍 확인하기

연속 쌍 (A), (C), (E)의 나머지는 9999, 100100, 101101이고, 이 중 100=102100=10^2만 제곱수입니다.

99!·100!=(99!)²·100=(99!)²·10²; 99, 101은 제곱수가 아님
4STEP 4

건너뛴 쌍 정리하고 결론짓기

건너뛴 쌍의 나머지 9900=302⋅119900=30^2\cdot 11과 10100=102⋅10110100=10^2\cdot 101은 외로운 소수를 지녀 탈락하므로 답은 (C)입니다.

98!·100!=(98!)²·9900, 99!·101!=(99!)²·10100 → 오직 (C)
정답
99! · 100!
다섯 나머지는 99, 9900, 100, 10100, 101이고, 이 중 정확히 하나 100=10²만 완전제곱수입니다 — 정답이 하나뿐이라는 약속과 맞아떨어집니다. 함정들은 실제 실수와 일치합니다: 소수 나머지 99(=9·11), 101과 외로운 소수를 지닌 곱 9900=30²·11, 10100=10²·101은 각각 어떤 소수를 홀수 번 숨기고 있어 제곱수가 될 수 없습니다. 나머지가 정확히 10²인 (C)에 도달한 것은 강한 확인입니다.
💡핵심 정리

두 계승의 곱이 완전제곱수인 것은 그 둘을 잇는 작은 나머지가 그 자체로 완전제곱수일 때뿐이니, 짝을 지어 그 나머지만 확인하세요.

  • 거인을 나머지로 줄이기
  • 제곱수에 무엇을 곱해야 여전히 제곱수인가
  • 이웃한 쌍 확인하기
  • 건너뛴 쌍 정리하고 결론짓기

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