AMC 10 · 2004 · #6

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

factorialperfect-squaresprime-factorization easier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 중 완전제곱수인 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$98! \cdot 99!$

(B)

$98! \cdot 100!$

(C)

$99! \cdot 100!$

(D)

$99! \cdot 101!$

(E)

$100! \cdot 101!$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 후보 수는 각각 $98!,\,99!,\,100!,\,101!$ 중 두 계승(팩토리얼)의 곱입니다. 이 다섯 중 어느 것이 완전제곱수인지 정하세요.

주어진 것: 다섯 선택지는 (A) $98!\cdot99!$, (B) $98!\cdot100!$, (C) $99!\cdot100!$, (D) $99!\cdot101!$, (E) $100!\cdot101!$ 입니다.; $n!$ 은 $1$ 부터 $n$ 까지의 모든 자연수를 곱한 것입니다.; 완전제곱수는 어떤 자연수를 그 자신과 곱한 값과 같은 자연수입니다. 예: $100=10^2$.

구하는 것: 다섯 선택지 중 완전제곱수인 하나.

이해

문제 재정리: 다섯 개의 후보 수는 각각 $98!,\,99!,\,100!,\,101!$ 중 두 계승(팩토리얼)의 곱입니다. 이 다섯 중 어느 것이 완전제곱수인지 정하세요.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

여기의 수들은 결코 적어 볼 수 없을 만큼 크며, 이는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 대표 신호입니다: 거대한 계승을 작고 다루기 쉬운 구조로 바꿔 그곳에서 답합니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 구조를 제공합니다 — 더 작은 지수를 $n$ 이라 부르고 $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ 을 써서 각 곱을 완전제곱수 하나와 작은 나머지 하나로 접습니다. 그런 다음 도구 #3(가능성 지우기)이 다섯 선택지를 훑어, 나머지가 완전제곱수인 것만 남기고 나머지는 버립니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.3 단계 1

거인을 나머지로 줄이기

$98!$ 이나 $101!$ 을 절대 계산하지 마세요 — 손으로는 가망이 없습니다.
대신 이웃한 계승을 잇는 단 하나의 사실을 씁니다: 더 큰 계승은 작은 계승에 추가 인수를 붙인 것일 뿐, 즉 $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ 입니다.
그래서 지수가 $n$ 과 $n+1$ 인 두 계승의 곱은 $n!\cdot(n+1)!=n!\cdot(n+1)\cdot n!=(n!)^2\cdot(n+1)$ 로 접힙니다.
거대한 부분 $(n!)^2$ 은 완전제곱수로 묶이고, 판단할 것은 작은 수 $n+1$ 뿐입니다.

$$(n+1)!=(n+1)\cdot n!\;\Rightarrow\; n!\cdot(n+1)!=(n!)^2\cdot(n+1)$$

💡 이웃한 두 계승은 항상 완전제곱수 하나와 작은 나머지 인수 하나로 짝지어집니다.

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 2

제곱수에 무엇을 곱해야 여전히 제곱수인가

자연수가 완전제곱수인 것은 그 소인수분해에서 모든 소수가 짝수 번 나타날 때, 오직 그때뿐입니다.
덩어리 $(n!)^2$ 은 이미 모든 소수를 짝수 개 담고 있으므로, 나머지 $k$ 를 곱해도 그 짝수 개수는 흐트러지지 않고 오직 $k$ 자신의 소수만 더해집니다.
따라서 $(n!)^2\cdot k$ 가 완전제곱수인 것은 나머지 $k$ 가 그 자체로 완전제곱수일 때, 오직 그때뿐입니다.
문제 전체가 선택지마다 작은 수 하나를 확인하는 것으로 줄어듭니다.

$$(n!)^2\cdot k \text{ 가 완전제곱수} \iff k \text{ 가 완전제곱수}$$

💡 완전제곱 인수는 모든 소수의 개수를 짝수로 유지하므로, 제곱 여부는 전적으로 나머지가 결정합니다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 3

이웃한 쌍 확인하기

선택지 (A), (C), (E) 는 연속한 지수를 짝지으므로 각각 $(n!)^2\cdot(n+1)$ 이고 나머지는 그냥 $n+1$ 입니다.
(A) $98!\cdot99!$ 는 나머지가 $99$, (C) $99!\cdot100!$ 는 $100$, (E) $100!\cdot101!$ 는 $101$ 입니다.
이 중 $100=10^2$ 만 완전제곱수입니다 — $99$ 는 $9^2=81$ 과 $10^2=100$ 사이에 있고, $101$ 은 $100$ 바로 뒤의 소수입니다.
그래서 (C)가 살아남고 (A), (E)는 지워집니다.

$$99!\cdot100!=(99!)^2\cdot100=(99!)^2\cdot10^2;\qquad 99,\ 101 \text{ 은 제곱수가 아님}$$

💡 연속한 계승에서는 나머지가 곧 더 큰 지수이므로, 그 지수가 완전제곱수인지만 물으면 됩니다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 4

건너뛴 쌍 정리하고 결론짓기

선택지 (B)와 (D)는 지수를 하나 건너뛰므로 나머지가 두 수의 곱입니다.
(B) $98!\cdot100!=(98!)^2\cdot(99\cdot100)=(98!)^2\cdot9900$ 이고, $9900=2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot11=30^2\cdot11$ 은 외로운 소수 $11$ 을 지녀 제곱수가 아닙니다.
(D) $99!\cdot101!=(99!)^2\cdot(100\cdot101)=(99!)^2\cdot10100$ 이고, $10100=10^2\cdot101$ 은 외로운 소수 $101$ 을 지녀 역시 제곱수가 아닙니다.
하나만 빼고 모든 선택지가 나머지 검사를 통과하지 못하므로, 완전제곱수는 (C)입니다.

$$98!\cdot100!=(98!)^2\cdot9900,\quad 99!\cdot101!=(99!)^2\cdot10100\;\Rightarrow\;\text{오직 }\textbf{(C)}$$

💡 어떤 소수가 홀수 번 나타나는 나머지는 결코 완전제곱수가 될 수 없습니다.

[1] #9 6.EE.A.3 $98!$ 이나 $101!$ 을 절대 계산하지 마세요 — 손으로는 가망이 없습니다. 대신 이웃한 계승을 잇는 단 하나의 사실을 씁니다: 더 큰

[2] #4 4.OA.B.4 자연수가 완전제곱수인 것은 그 소인수분해에서 모든 소수가 짝수 번 나타날 때, 오직 그때뿐입니다. 덩어리 $(n!)^2$ 은 이미 모든 소수를

[3] #3 8.EE.A.2 선택지 (A), (C), (E) 는 연속한 지수를 짝지으므로 각각 $(n!)^2\cdot(n+1)$ 이고 나머지는 그냥 $n+1$ 입니다. (A

[4] #3 8.EE.A.2 선택지 (B)와 (D)는 지수를 하나 건너뛰므로 나머지가 두 수의 곱입니다. (B) $98!\cdot100!=(98!)^2\cdot(99\cdo

검토

합리성 확인: 다섯 나머지는 $99$, $9900$, $100$, $10100$, $101$ 이고, 이 중 정확히 하나 $100=10^2$ 만 완전제곱수입니다 — 정답이 하나뿐이라는 약속과 맞아떨어집니다. 함정들은 실제 실수와 일치합니다: 소수 나머지 $99$ ($=9\cdot11$), $101$ 과 외로운 소수를 지닌 곱 $9900=30^2\cdot11$, $10100=10^2\cdot101$ 은 각각 어떤 소수를 홀수 번 숨기고 있어 제곱수가 될 수 없습니다. 나머지가 정확히 $10^2$ 인 (C)에 도달한 것은 강한 확인입니다.

대안 접근: 순전히 소수-지수의 홀짝으로 풀 수도 있습니다: 어떤 수가 완전제곱수인 것은 소인수분해에서 모든 소수가 짝수 번 나올 때뿐입니다. 연속한 선택지들은 $n!\cdot(n+1)!=(n!)^2\cdot(n+1)$ 이므로, 다리 역할을 하는 수가 완전제곱수인지만 물으면 됩니다 — $99$ (아니오), $100$ (예), $101$ (아니오) — 이로써 건너뛴 쌍 (B)와 (D)를 펼치지 않고도 (C)를 짚어냅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 ($(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ 을 써서 $n!\cdot(n+1)!$ 을 동치인 형태 $(n!)^2\cdot(n+1)$ 로 다시 쓰는 데 사용.)
4.OA.B.4 모든 인수쌍을 찾고 배수를 인식하며 소수/합성수를 판별한다 (각 나머지를 소인수분해($99=9\cdot11$, $9900=30^2\cdot11$, $10100=10^2\cdot101$)하여 모든 소수가 짝수 번 나타나는지 판단하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 (나머지들 중 완전제곱수를 알아보는 데 사용, 특히 $100=10^2$ 이며 $99$, $101$, $9900$, $10100$ 을 배제.)

⭐ 두 계승의 곱이 완전제곱수인 것은 그 둘을 잇는 작은 나머지가 그 자체로 완전제곱수일 때뿐이니, 짝을 지어 그 나머지만 확인하세요.