AMC 10 · 2005 · #13

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
exponentsinterval-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsinterval-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
양의 정수 n이 (130n)⁵⁰ ＞ n¹⁰⁰과 n¹⁰⁰ ＞ 2²⁰⁰을 동시에 만족해야 한다. 이런 양의 정수 n은 몇 개인가? 지수가 엄청나게 크므로, 진짜 할 일은 이 지수들을 n이 가질 수 있는 평범한 범위로 바꾸는 것이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
7
(C)
12
(D)
65
(E)
125

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

2²⁰⁰ 같은 수는 직접 비교하기가 불가능하므로, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심이다. 각 거듭제곱을 양변이 같은 지수를 갖도록 다시 쓴 뒤, 거대한 수 대신 밑끼리 비교한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 이중 부등식을 두 개의 독립된 부등식으로 나눈다. 하나는 n 의 위쪽 한계를, 다른 하나는 아래쪽 한계를 준다. 도구 #3 (가능성 지우기)로 살아남은 범위 안의 정수를 세어 선택지와 맞추며 마무리한다.

1STEP 1

왼쪽 부등식의 지수 맞추기

오른쪽은 사실 50 제곱이 변장한 것이다: n¹⁰⁰=(n²)⁵⁰. 이제 양변이 같은 지수 50을 갖는다.

(130n)⁵⁰ ＞ n¹⁰⁰=(n²)⁵⁰
2STEP 2

거대한 수 말고 밑끼리 비교하기

지수가 같으니 밑이 큰 쪽이 이긴다: 130n ＞ n². 양수 n으로 나누면 130 ＞ n, 즉 n은 최대 129이다.

130n ＞ n² → 130 ＞ n → n ≤ 129
3STEP 3

오른쪽 부등식의 지수 맞추기

나머지 절반: 2²⁰⁰=(2²)¹⁰⁰=4¹⁰⁰이므로 n¹⁰⁰ ＞ 4¹⁰⁰이 되어 지수 100이 공통이다.

n¹⁰⁰ ＞ 2²⁰⁰=(2²)¹⁰⁰=4¹⁰⁰
4STEP 4

n 의 아래쪽 한계 구하기

다시 밑끼리 비교하면 n¹⁰⁰ ＞ 4¹⁰⁰은 n ＞ 4일 때만 성립하므로, 가능한 가장 작은 정수는 5이다.

n¹⁰⁰ ＞ 4¹⁰⁰ → n ＞ 4 → n ≥ 5
5STEP 5

살아남은 정수 세기

두 조건을 함께 쓰면 5 ≤ n ≤ 129이고, 이 범위의 정수는 129-5+1=125개다 — 선택지 (E).

5 ≤ n ≤ 129 → 129-5+1=125 → (E)
정답
125
두 한계는 각각 독립적이고 정직한 단계에서 나온다: n² ＜ 130n 은 n 을 129로 제한하고, n ＞ 4는 5로 바닥을 만든다. 양 끝을 확인해 보자. n=5 일 때: n¹⁰⁰=5¹⁰⁰ ＞ 4¹⁰⁰=2²⁰⁰ (참)이고 (130 · 5)⁵⁰=650⁵⁰ ＞ 25⁵⁰=5¹⁰⁰ (참) 이므로 5는 된다. n=129 일 때: 129 ＜ 130은 왼쪽 부등식을 유지하고 129 ＞ 4는 오른쪽을 유지하므로 129도 된다. 바로 바깥의 n=4는 실패하고 (4¹⁰⁰=2²⁰⁰은 자기 자신보다 크지 않다) n=130도 실패한다 (130 · 130=130²은 130² 보다 크지 않다). 따라서 범위는 정확히 5부터 129까지이고, 정수 125개로 선택지 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리

거듭제곱이 너무 커서 비교할 수 없을 때는, 지수를 하나로 맞춰 다시 쓴 뒤 밑끼리만 비교하면 된다.

  • 왼쪽 부등식의 지수 맞추기
  • 거대한 수 말고 밑끼리 비교하기
  • 오른쪽 부등식의 지수 맞추기
  • n 의 아래쪽 한계 구하기
  • 살아남은 정수 세기

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