AMC 10 · 2005 · #13

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

exponentsinterval-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsinterval-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$ 은 몇 개입니까?

$\left(130n\right)^{50} > n^{100} > 2^{200} \ \text{?}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

125

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $(130n)^{50} > n^{100} > 2^{200}$ 이 성립하는 양의 정수 $n$ 의 개수를 구한다. 지수가 엄청나게 크기 때문에, 진짜 할 일은 이 지수들을 $n$ 이 가질 수 있는 평범한 범위로 바꾸는 것이다.

주어진 것: 부등식 사슬 $(130n)^{50} > n^{100} > 2^{200}$ 이 성립해야 한다; $n$ 은 양의 정수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $7$, (C) $12$, (D) $65$, (E) $125$

구하는 것: 두 부등식을 모두 만족하는 양의 정수 $n$ 의 범위; 그런 정수가 몇 개인지

이해

주어진 것: 부등식 사슬 $(130n)^{50} > n^{100} > 2^{200}$ 이 성립해야 한다; $n$ 은 양의 정수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $7$, (C) $12$, (D) $65$, (E) $125$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

$2^{200}$ 같은 수는 직접 비교하기가 불가능하므로, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 가 핵심이다. 각 거듭제곱을 양변이 같은 지수를 갖도록 다시 쓴 뒤, 거대한 수 대신 밑끼리 비교한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 이중 부등식을 두 개의 독립된 부등식으로 나눈다. 하나는 $n$ 의 위쪽 한계를, 다른 하나는 아래쪽 한계를 준다. 도구 #3 (가능성 지우기) 로 살아남은 범위 안의 정수를 세어 선택지와 맞추며 마무리한다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 1

왼쪽 부등식의 지수 맞추기

$(130n)^{50} > n^{100}$ 을 보자.
오른쪽은 사실 $50$ 제곱으로 변장하고 있다: $n^{100}=(n^2)^{50}$.
그래서 부등식은 $(130n)^{50} > (n^2)^{50}$ 이 되어 양변에 같은 지수 $50$ 이 붙는다.

$$(130n)^{50} > n^{100}=(n^2)^{50}$$

💡 $100$ 은 $2\times 50$ 이므로 $n^{100}$ 은 곧 $(n^2)$ 의 $50$ 제곱이고, 그래서 양변이 같은 지수를 걸칠 수 있다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.EE.B.4 단계 2

거대한 수 말고 밑끼리 비교하기

양변 모두 양수를 같은 지수 $50$ 으로 올린 값이다.
양수를 거듭제곱하면 대소가 유지되므로, 밑이 큰 쪽이 이긴다: $(130n)^{50} > (n^2)^{50}$ 은 곧 $130n > n^2$ 일 때만 성립한다.
$n>0$ 이므로 양변을 $n$ 으로 나누면 $130 > n$ 이다.
즉 $n$ 은 최대 $129$ 까지 가능하다.

$$130n > n^2 \ \Rightarrow\ 130 > n \ \Rightarrow\ n \le 129$$

💡 같은 지수로 올린 두 양수가 어떤 대소 관계이면 밑도 같은 관계이므로, 지수를 떼고 작은 부등식만 읽으면 된다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 3

오른쪽 부등식의 지수 맞추기

이제 나머지 절반: $n^{100} > 2^{200}$.
오른쪽 거대한 수를 $100$ 제곱이 되도록 다시 쓴다: $2^{200}=(2^2)^{100}=4^{100}$.
부등식은 $n^{100} > 4^{100}$ 이 되어 다시 공통 지수 $100$ 을 갖는다.

$$n^{100} > 2^{200}=(2^2)^{100}=4^{100}$$

💡 $200$ 은 $2\times 100$ 이므로 $2^{200}$ 은 $4^{100}$ 으로 접혀 $n^{100}$ 과 줄이 맞는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.B.4 단계 4

n 의 아래쪽 한계 구하기

양변 모두 양수를 같은 지수 $100$ 으로 올린 값이므로 밑끼리 비교한다: $n^{100} > 4^{100}$ 은 곧 $n > 4$ 일 때만 성립한다.
양의 정수이므로 $n$ 은 적어도 $5$ 이어야 한다.

$$n^{100} > 4^{100} \ \Rightarrow\ n > 4 \ \Rightarrow\ n \ge 5$$

💡 양변의 지수가 같으니 밑 $n$ 은 그냥 $4$ 만 이기면 된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 5

살아남은 정수 세기

두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $n$ 은 $5 \le n \le 129$ 를 만족한다.
$5$ 부터 $129$ 까지의 정수 개수는 $129-5+1=125$ 이다.
선택지를 살펴보면 $125$ 는 (E) 이다.

$$5 \le n \le 129 \ \Rightarrow\ 129-5+1=125 \ \Rightarrow\ \textbf{(E)}$$

💡 연속된 정수의 개수는 양 끝을 빼고, 놓치기 쉬운 울타리 기둥 하나를 더해 준다.

[1] #9 8.EE.A.1 $(130n)^{50} > n^{100}$ 을 보자. 오른쪽은 사실 $50$ 제곱으로 변장하고 있다: $n^{100}=(n^2)^{50}$. 그

[2] #9 7.EE.B.4 양변 모두 양수를 같은 지수 $50$ 으로 올린 값이다. 양수를 거듭제곱하면 대소가 유지되므로, 밑이 큰 쪽이 이긴다: $(130n)^{50}

[3] #9 8.EE.A.1 이제 나머지 절반: $n^{100} > 2^{200}$. 오른쪽 거대한 수를 $100$ 제곱이 되도록 다시 쓴다: $2^{200}=(2^2)^{

[4] #7 7.EE.B.4 양변 모두 양수를 같은 지수 $100$ 으로 올린 값이므로 밑끼리 비교한다: $n^{100} > 4^{100}$ 은 곧 $n > 4$ 일 때만

[5] #3 4.OA.A.3 두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $n$ 은 $5 \le n \le 129$ 를 만족한다. $5$ 부터 $129$ 까지의 정수 개수는 $129-

검토

합리성 확인: 두 한계는 각각 독립적이고 정직한 단계에서 나온다: $n^2 < 130n$ 은 $n$ 을 $129$ 로 제한하고, $n>4$ 는 $5$ 로 바닥을 만든다. 양 끝을 확인해 보자. $n=5$ 일 때: $n^{100}=5^{100}>4^{100}=2^{200}$ (참) 이고 $(130\cdot 5)^{50}=650^{50}>25^{50}=5^{100}$ (참) 이므로 $5$ 는 된다. $n=129$ 일 때: $129<130$ 은 왼쪽 부등식을 유지하고 $129>4$ 는 오른쪽을 유지하므로 $129$ 도 된다. 바로 바깥의 $n=4$ 는 실패하고 ($4^{100}=2^{200}$ 은 자기 자신보다 크지 않다) $n=130$ 도 실패한다 ($130\cdot 130=130^2$ 은 $130^2$ 보다 크지 않다). 따라서 범위는 정확히 $5$ 부터 $129$ 까지이고, 정수 $125$ 개로 선택지 (E) 와 일치한다.

대안 접근: 부등식 사슬 전체에 한 번에 $50$ 제곱근을 취한다. 모든 값이 양수이므로 $(130n)^{50} > n^{100} > 2^{200}$ 은 $130n > n^2 > 2^4$, 즉 $130n > n^2$ 이면서 $n^2 > 16$ 이 된다. 첫째는 $n<130$ 을 주고, 둘째는 $n>4$ 를 준다 ($n$ 이 양의 정수이므로). 같은 구간 $5\le n\le 129$, 같은 개수 $125$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($n^{100}=(n^2)^{50}$ 과 $2^{200}=4^{100}$ 으로 다시 써서 각 부등식이 공통 지수를 갖게 하고 밑끼리 비교하는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($130n>n^2$ 을 $n\le 129$ 로, $n^{100}>4^{100}$ 을 $n\ge 5$ 로 푸는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($5\le n\le 129$ 안의 정수를 $129-5+1=125$ 로 세는 데 사용.)

⭐ 거듭제곱이 너무 커서 비교할 수 없을 때는, 지수를 하나로 맞춰 다시 쓴 뒤 밑끼리만 비교하면 된다.