AMC 10 · 2005 · #14
학년 6 arithmetic가운데 자리 숫자가 첫째 자리 숫자와 마지막 자리 숫자의 평균과 같은 세 자리 수는 몇 개입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 가운데 자리 숫자가 첫째 자리 숫자와 마지막 자리 숫자의 평균과 같은 세 자리 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 이 수는 세 자리 수로, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자로 이루어진다.; 십의 자리(가운데) 숫자는 백의 자리(첫째)와 일의 자리(마지막) 숫자의 평균이다.
구하는 것: 이런 세 자리 수가 몇 개인지.
이해
문제 재정리: 가운데 자리 숫자가 첫째 자리 숫자와 마지막 자리 숫자의 평균과 같은 세 자리 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 이 수는 세 자리 수로, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자로 이루어진다.; 십의 자리(가운데) 숫자는 백의 자리(첫째)와 일의 자리(마지막) 숫자의 평균이다.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기
'가운데가 평균'이라는 말 속에는 더 깔끔한 규칙이 숨어 있다. 먼저 식으로 바꿔 첫째와 마지막 숫자만 자유롭게 정할 수 있음을 알아내고, 홀짝(짝수 여부)에 따라 두 가지 깔끔한 경우로 세어 더한다.
실행 — 정답: E
6.SP.A.3 단계 1 평균을 합으로 바꾸기
- 자리 숫자를 a(첫째), b(가운데), c(마지막)라 하자.
- '가운데는 첫째와 마지막의 평균'은 b = (a + c) / 2를 뜻한다.
- 양변에 2를 곱해 분수를 없애면 2b = a + c가 된다.
💡 두 수의 평균은 그 합을 반으로 나눈 것이므로, 두 배 하면 합이 그대로 돌아온다.
2.OA.C.3 단계 2 가운데 숫자는 저절로 정해진다
- a와 c를 알면 가운데 숫자는 b = (a + c) / 2로 정해진다.
- a와 c는 각각 0부터 9까지이므로 그 합은 0부터 18 사이이고, 따라서 b = (a + c)/2는 항상 0부터 9 사이의 올바른 한 자리 숫자가 된다.
- 잘못될 수 있는 유일한 경우는 b가 정수가 아닐 때인데, 이는 a + c가 홀수일 때 정확히 일어난다.
💡 어떤 수의 절반이 정수가 되려면 그 수가 짝수여야 하므로, a + c는 짝수여야 한다.
2.OA.C.3 단계 3 짝수 합은 홀짝이 같다는 뜻
- a + c가 짝수가 되는 것은 a와 c가 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수일 때뿐이다.
- 그래서 문제 전체는 첫째와 마지막 숫자의 홀짝이 같은 쌍 (a, c)를 세는 것으로 줄어든다.
- 가운데 숫자는 저절로 따라온다.
💡 홀수 더하기 홀수, 짝수 더하기 짝수는 모두 짝수이고, 서로 다르면 합이 홀수가 된다.
3.OA.A.1 단계 4 경우 1 — 두 숫자 모두 홀수
- 홀수 숫자는 1, 3, 5, 7, 9이다.
- 첫째 자리는 이 5개 중 아무거나 될 수 있다(모두 0이 아니므로 맨 앞자리로 다 허용된다).
- 마지막 자리도 이 5개 중 아무거나 될 수 있다.
- 따라서 5 x 5 = 25개의 수가 나온다.
💡 모든 홀수 첫째 숫자를 모든 홀수 마지막 숫자와 짝지을 수 있으므로 선택 수를 곱한다.
4.NBT.A.2 단계 5 경우 2 — 두 숫자 모두 짝수
- 짝수 숫자는 0, 2, 4, 6, 8이다.
- 첫째 자리는 0이 될 수 없으므로(그러면 세 자리 수가 아니게 된다) 2, 4, 6, 8의 4개만 가능하다.
- 마지막 자리는 0을 포함해 짝수 5개 모두 가능하다.
- 따라서 4 x 5 = 20개의 수가 나온다.
💡 0은 맨 뒤에는 괜찮지만 맨 앞에는 안 되므로 첫째 자리는 선택지를 하나 잃는다.
4.NBT.B.4 단계 6 경우들을 더하기
- 두 경우는 절대 겹치지 않는다(한 쌍은 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수이지, 둘 다일 수는 없다).
- 더하면 25 + 20 = 45개의 세 자리 수가 된다.
- 정답은 (E)이다.
💡 겹치지 않는 별개의 경우들은 그냥 더해서 전체 개수를 구한다.
6.SP.A.3 자리 숫자를 a(첫째), b(가운데), c(마지막)라 하자. '가운데는 첫째와 마지막의 평균'은 b = (a + c) / 2를 뜻한다. 양변에 2.OA.C.3 a와 c를 알면 가운데 숫자는 b = (a + c) / 2로 정해진다. a와 c는 각각 0부터 9까지이므로 그 합은 0부터 18 사이이고, 따라 2.OA.C.3 a + c가 짝수가 되는 것은 a와 c가 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수일 때뿐이다. 그래서 문제 전체는 첫째와 마지막 숫자의 홀짝이 같은 쌍 ( 3.OA.A.1 홀수 숫자는 1, 3, 5, 7, 9이다. 첫째 자리는 이 5개 중 아무거나 될 수 있다(모두 0이 아니므로 맨 앞자리로 다 허용된다). 마지막 4.NBT.A.2 짝수 숫자는 0, 2, 4, 6, 8이다. 첫째 자리는 0이 될 수 없으므로(그러면 세 자리 수가 아니게 된다) 2, 4, 6, 8의 4개만 가 4.NBT.B.4 두 경우는 절대 겹치지 않는다(한 쌍은 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수이지, 둘 다일 수는 없다). 더하면 25 + 20 = 45개의 세 자리 수 검토
합리성 확인: 첫째와 마지막 숫자를 고르는 방법은 9 x 10 = 90가지이다(첫째는 1-9, 마지막은 0-9). 이 중 합이 짝수인 것만 조건을 만족하는데, 짝수 합은 전체의 거의 절반이다. 90개 중 45개는 정확히 절반이므로 앞뒤가 맞고, 두 경우로 센 값과도 일치한다.
대안 접근: 홀짝 경우로 나누는 대신, 가운데 숫자 b를 0부터 9까지 돌려가며 a + c = 2b이고 a는 1-9, c는 0-9인 쌍 (a, c)를 세어도 된다. 그 개수들을 합해도 45가 나와 정답이 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.A.3중심을 나타내는 값이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해하기 ('가운데는 첫째와 마지막의 평균'을 b = (a+c)/2로 읽고 2b = a + c로 다시 쓰기.)2.OA.C.3묶음의 개수가 홀수인지 짝수인지 판단하기 (a + c가 짝수여야 함을 알아내고, 이로써 첫째와 마지막 숫자의 홀짝이 같아야 함을 밝히기.)3.OA.A.1곱을 여러 묶음 속 물건의 총 개수로 해석하기 (첫째 숫자의 선택 수와 마지막 숫자의 선택 수를 곱해 자리 숫자 쌍을 세기.)4.NBT.A.2여러 자리 수를 읽고 쓰며 기호로 비교하기 (세 자리 수의 첫째 자리 숫자가 0이 될 수 없다는 자릿값 규칙 적용하기.)4.NBT.B.4여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 하기 (두 경우의 개수를 더해 25 + 20 = 45라는 최종 합 구하기.)
⭐ 가운데 숫자가 평균이라는 것은 첫째와 마지막 숫자의 합이 짝수라는 뜻이므로, 홀짝이 같은 쌍을 경우별로 세어 더하면 된다.
⭐ 가운데 숫자가 평균이라는 것은 첫째와 마지막 숫자의 합이 짝수라는 뜻이므로, 홀짝이 같은 쌍을 경우별로 세어 더하면 된다.
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