AMC 10 · 2005 · #14

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsparity caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: place-valueparitymean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 자리 수는 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자로 이루어진다. 이때 가운데 자리 숫자가 첫째 자리 숫자와 마지막 자리 숫자의 평균과 같다. 이런 세 자리 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

'가운데가 평균'이라는 말 속에는 더 깔끔한 규칙이 숨어 있다. 먼저 식으로 바꿔 첫째와 마지막 숫자만 자유롭게 정할 수 있음을 알아내고, 홀짝(짝수 여부)에 따라 두 가지 깔끔한 경우로 세어 더한다.

1STEP 1

평균을 합으로 바꾸기

자리 숫자를 $a$ , $b$ , $c$ 라 하자. '가운데는 평균'은 $b=\frac{a+c}{2}$ , 즉 $2b=a+c$ 를 뜻한다.

b = (a+c)/2 ⟹ 2b = a + c

2STEP 2

가운데 숫자는 저절로 정해진다

$a$ 와 $c$ 를 정하면 $b$ 는 저절로 정해진다. $a+c$ 가 18 이하라 $b$ 는 늘 한 자리이고, $a+c$ 가 홀수일 때만 어긋난다.

0 ≤ a + c ≤ 18 → 0 ≤ (a+c)/2 ≤ 9

3STEP 3

짝수 합은 홀짝이 같다는 뜻

$a+c$ 가 짝수인 것은 $a$ 와 $c$ 가 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수일 때뿐이니, 홀짝이 같은 쌍만 세면 된다.

4STEP 4

경우 1 — 두 숫자 모두 홀수

홀수 1, 3, 5, 7, 9는 모두 0이 아니라 양 끝 다 5가지씩이므로 25개다.

5 × 5 = 25

5STEP 5

경우 2 — 두 숫자 모두 짝수

짝수는 0, 2, 4, 6, 8이지만 맨 앞은 0이 안 되어 4가지, 끝은 5가지이므로 20개다.

4 × 5 = 20

6STEP 6

경우들을 더하기

두 경우는 겹치지 않으므로 더하면 45개의 세 자리 수가 된다. 정답은 (E)이다.

25 + 20 = 45

정답

첫째와 마지막 숫자를 고르는 방법은 9 x 10 = 90가지이다(첫째는 1-9, 마지막은 0-9). 이 중 합이 짝수인 것만 조건을 만족하는데, 짝수 합은 전체의 거의 절반이다. 90개 중 45개는 정확히 절반이므로 앞뒤가 맞고, 두 경우로 센 값과도 일치한다.

💡핵심 정리

가운데 숫자가 평균이라는 것은 첫째와 마지막 숫자의 합이 짝수라는 뜻이므로, 홀짝이 같은 쌍을 경우별로 세어 더하면 된다.

평균을 합으로 바꾸기
가운데 숫자는 저절로 정해진다
짝수 합은 홀짝이 같다는 뜻
경우 1 — 두 숫자 모두 홀수
경우 2 — 두 숫자 모두 짝수
경우들을 더하기