AMC 10 · 2005 · #15

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationdivisor-countfactorial identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactorialdivisor-count

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$3! \cdot 5! \cdot 7!$ 을 나누는 양의 완전세제곱수는 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3! \cdot 5! \cdot 7!$ 의 약수 중에서 완전세제곱수가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 이 수는 세 팩토리얼의 곱이다: $3! \cdot 5! \cdot 7!$; 완전세제곱수는 어떤 양의 정수 $n$ 에 대해 $n^3$ 꼴인 수이다; 나머지 없이 곱을 나누는 세제곱수만 센다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: $3! \cdot 5! \cdot 7!$ 의 소인수분해; 그 수의 약수 중 완전세제곱수가 몇 개인지

이해

문제 재정리: $3! \cdot 5! \cdot 7!$ 의 약수 중에서 완전세제곱수가 몇 개인지 세어라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기

세제곱 약수는 소수 하나하나마다 따로 정해지므로, 도구 #7 로 어려운 질문을 네 개의 쉬운 질문으로 쪼갠다: 각 소수 $2, 3, 5, 7$ 에 대해, 큰 수가 정한 상한 아래에 들어가는 세제곱 가능 지수는 몇 개인가? 먼저 $3! \cdot 5! \cdot 7!$ 을 하나의 소인수분해 $2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$ 로 다시 쓴다. 도구 #5 는 핵심 패턴을 준다: 약수가 세제곱수일 조건은 각 지수가 $3$ 의 배수인 것이다. 그다음 도구 #2 로 각 소수마다 가능한 지수($0, 3, 6, \dots$ 를 상한까지)를 나열하면, 완전한 조합의 수는 네 개의 개별 개수를 곱한 값이 된다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

각 팩토리얼을 소인수분해하기

각 팩토리얼을 계산해 소인수로 쪼갠다.
$3! = 6$, $5! = 120$, $7! = 5040$ 이다.
각각을 소수로 분해하면 다시 합칠 조각들이 드러난다.

$$3! = 2 \cdot 3, \qquad 5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5, \qquad 7! = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$$

💡 모든 자연수는 소수라는 벽돌로 지어지므로, 먼저 분해하면 어떤 벽돌이 있는지 정확히 보인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 2

하나의 소인수분해로 합치기

세 결과를 곱하며 같은 소수의 지수를 더한다.
$2$ 는 $2^{1+3+4}$, $3$ 은 $3^{1+1+2}$, $5$ 는 $5^{0+1+1}$, 그리고 $7$ 은 하나뿐이다.

$$3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}$$

💡 같은 소수의 거듭제곱을 곱하면 지수가 쌓이므로, 각 소수를 한 번만 세면 계산이 깔끔해진다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 3

약수가 세제곱수일 조건 말하기

어떤 약수든 $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} \cdot 7^{d}$ 꼴이고, 각 지수는 큰 수의 지수 이하이다: $a \le 8$, $b \le 4$, $c \le 2$, $d \le 1$.
이런 약수가 완전세제곱수일 조건은 모든 지수가 $3$ 의 배수인 것이다.

$$2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d} \text{ 가 세제곱수} \iff a, b, c, d \text{ 가 } 3 \text{ 의 배수}$$

💡 세제곱하면 모든 지수가 세 배가 되므로, 세제곱수의 지수는 세 개씩 묶여야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

소수마다 세제곱 가능한 지수 세기

각 소수마다 상한 아래에 들어가는 $3$ 의 배수($0$ 포함)를 나열한다.
$2$ ($\le 8$): $0, 3, 6$ — 세 가지.
$3$ ($\le 4$): $0, 3$ — 두 가지.
$5$ ($\le 2$): $0$ 뿐 — 한 가지.
$7$ ($\le 1$): $0$ 뿐 — 한 가지.

$$a \in \{0,3,6\},\; b \in \{0,3\},\; c \in \{0\},\; d \in \{0\} \;\Rightarrow\; 3,\,2,\,1,\,1 \text{ 가지}$$

💡 소수는 세 개씩 묶어서만 가져갈 수 있고, 그 수가 실제로 가진 것보다 많이는 못 가져간다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

선택지를 서로 곱하기

네 지수는 서로 독립적으로 정해지므로, 세제곱 약수의 총 개수는 개별 개수들의 곱이다: $3 \times 2 \times 1 \times 1$.

$$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 독립적인 선택은 곱해진다 — 셔츠마다 모든 바지를 짝짓는 것과 같다.

[1] #7 4.OA.B.4 각 팩토리얼을 계산해 소인수로 쪼갠다. $3! = 6$, $5! = 120$, $7! = 5040$ 이다. 각각을 소수로 분해하면 다시 합칠 조

[2] #7 8.EE.A.1 세 결과를 곱하며 같은 소수의 지수를 더한다. $2$ 는 $2^{1+3+4}$, $3$ 은 $3^{1+1+2}$, $5$ 는 $5^{0+1+1}

[3] #5 6.EE.A.1 어떤 약수든 $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} \cdot 7^{d}$ 꼴이고, 각 지수는 큰 수의 지수 이하이다: $a \

[4] #2 4.OA.B.4 각 소수마다 상한 아래에 들어가는 $3$ 의 배수($0$ 포함)를 나열한다. $2$ ($\le 8$): $0, 3, 6$ — 세 가지. $3$

[5] #7 7.SP.C.8 네 지수는 서로 독립적으로 정해지므로, 세제곱 약수의 총 개수는 개별 개수들의 곱이다: $3 \times 2 \times 1 \times 1$.

검토

합리성 확인: 여섯 개의 세제곱수를 직접 나열해 개수를 확인할 수 있다: $a \in \{0,3,6\}$ 과 $b \in \{0,3\}$ 을 ($c = d = 0$ 로) 택하면 $1,\ 2^3,\ 2^6,\ 3^3,\ 2^3 3^3,\ 2^6 3^3$ — 정확히 여섯 개의 완전세제곱수이며 각각 $2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ 을 나눈다. 소수 $5$ 와 $7$ 은 지수가 각각 $2$ 와 $1$ 이라 $3$ 에 못 미치므로 아무것도 더하지 못하고, 이는 $5$ 나 $7$ 을 쓰는 세제곱수를 옳게 배제한다. 개수 $6$ 은 선택지 (E) 와 일치한다.

대안 접근: 세는 대신 세제곱 약수를 직접 나열한다 (도구 #2). 지수가 $3$ 이상인 소수는 $2$ ($2^6$ 까지) 와 $3$ ($3^3$ 까지) 뿐이므로, 세제곱 약수는 $\{1, 2^3, 2^6\}$ 와 $\{1, 3^3\}$ 의 곱 전부이다: 즉 $1, 8, 64, 27, 216, 1728$ — 여섯 개로 답과 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (각 팩토리얼을 소인수로 분해하고, 각 소수 지수에 쓸 수 있는 $3$ 의 배수를 나열하는 데 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents (세 팩토리얼을 하나의 분해 $2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ 로 곱할 때 같은 소수의 지수를 더하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (일반 약수를 $2^a 3^b 5^c 7^d$ 로 쓰고, 모든 지수가 $3$ 의 배수여야 한다는 완전세제곱 조건을 서술하는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (각 소수의 독립적인 지수 선택을 곱셈 세는 원리로 결합해 총 $3 \times 2 \times 1 \times 1$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 세제곱 약수를 세려면, 수를 소인수분해한 뒤 각 소수마다 그 지수 아래에 들어가는 $3$ 의 배수($0$ 포함)의 개수를 세어 서로 곱하면 된다.