AMC 10 · 2005 · #15

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationdivisor-countfactorial identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactorialdivisor-count
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
수 3! · 5! · 7!은 세 팩토리얼의 곱이고, 완전세제곱수란 n · n · n 꼴의 자연수를 뜻한다. 이 수를 나머지 없이 나누는 양의 완전세제곱수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

세제곱 약수는 소수 하나하나마다 따로 정해지므로, 도구 #7로 어려운 질문을 네 개의 쉬운 질문으로 쪼갠다: 각 소수 2, 3, 5, 7에 대해, 큰 수가 정한 상한 아래에 들어가는 세제곱 가능 지수는 몇 개인가? 먼저 3! · 5! · 7! 을 하나의 소인수분해 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7¹로 다시 쓴다. 도구 #5는 핵심 패턴을 준다: 약수가 세제곱수일 조건은 각 지수가 3의 배수인 것이다. 그다음 도구 #2로 각 소수마다 가능한 지수(0, 3, 6, … 를 상한까지)를 나열하면, 완전한 조합의 수는 네 개의 개별 개수를 곱한 값이 된다.

1STEP 1

각 팩토리얼을 소인수분해하기

각 팩토리얼을 소인수로 쪼갠다: 3! = 6, 5! = 120, 7! = 5040이다.

3! = 2 · 3, 5! = 2³ · 3 · 5, 7! = 2⁴ · 3² · 5 · 7
2STEP 2

하나의 소인수분해로 합치기

세 결과를 곱하며 같은 소수의 지수를 더한다: 2는 2¹⁺³⁺⁴, 3은 3¹⁺¹⁺², 5는 5⁰⁺¹⁺¹, 7은 하나뿐이다.

3! · 5! · 7! = 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7¹
3STEP 3

약수가 세제곱수일 조건 말하기

약수는 2^a·3^b·5^c·7^d 꼴(a ≤ 8, b ≤ 4, c ≤ 2, d ≤ 1)이고, 지수가 모두 3의 배수면 세제곱수다.

2^a 3^b 5^c 7^d가 세제곱수 ⇔ a, b, c, d 가 3의 배수
4STEP 4

소수마다 세제곱 가능한 지수 세기

상한 이하의 3의 배수(0 포함)를 나열한다: 2는 0, 3, 6; 3은 0, 3; 5와 7은 0뿐이다.

a ∈ {0,3,6}, b ∈ {0,3}, c ∈ {0}, d ∈ {0} → 3, 2, 1, 1 가지
5STEP 5

선택지를 서로 곱하기

네 지수는 서로 독립이므로 개별 개수들을 곱한다: 3 × 2 × 1 × 1.

3 × 2 × 1 × 1 = 6 → (E)
정답
6
여섯 개의 세제곱수를 직접 나열해 개수를 확인할 수 있다: a ∈ {0,3,6}과 b ∈ {0,3}을 (c = d = 0으로) 택하면 1, 2³, 2⁶, 3³, 2³ 3³, 2⁶ 3³ — 정확히 여섯 개의 완전세제곱수이며 각각 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7을 나눈다. 소수 5와 7은 지수가 각각 2와 1이라 3에 못 미치므로 아무것도 더하지 못하고, 이는 5나 7을 쓰는 세제곱수를 옳게 배제한다. 개수 6은 선택지 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리

세제곱 약수를 세려면, 수를 소인수분해한 뒤 각 소수마다 그 지수 아래에 들어가는 3의 배수(0 포함)의 개수를 세어 서로 곱하면 된다.

  • 각 팩토리얼을 소인수분해하기
  • 하나의 소인수분해로 합치기
  • 약수가 세제곱수일 조건 말하기
  • 소수마다 세제곱 가능한 지수 세기
  • 선택지를 서로 곱하기

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