AMC 10 · 2005 · #16

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
digit-decompositionplace-value convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 자리 수에서 그 수의 두 자릿수의 합을 뺍니다. 그 결과의 일의 자리 숫자가 6이어야 합니다. 이런 두 자리 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
7
(C)
9
(D)
10
(E)
19

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 자리 수 90 개를 일일이 손으로 시험하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #4로 십의 자리를 a, 일의 자리를 b 라 이름 붙이고 그 수를 10a+b 로 쓰면, "자릿수의 합을 뺀다" 는 것은 (10a+b)-(a+b)가 되고 이는 9a 로 정리됩니다. 바로 이 한 번의 정리가 문제의 전부입니다: 결과는 b 에 전혀 의존하지 않고 오직 십의 자리에만 달려 있습니다. 그다음 도구 #2로 9의 배수 아홉 개를 나열해 어느 십의 자리가 결과를 6으로 끝나게 하는지 보면, 조건에 맞는 수의 개수가 곧바로 나옵니다.

1STEP 1

자릿수에 이름 붙이기

십의 자리를 a, 일의 자리를 b라 하면 수는 10a+b이고 자릿수 합은 a+b입니다.

수 = 10a + b, 자릿수 합 = a+b
2STEP 2

자릿수의 합 빼기

빼면 (10a+b)-(a+b)=9a입니다. b는 지워지니 결과는 십의 자리 a에만 달려 있습니다.

(10a+b)-(a+b) = 10a + b - a - b = 9a
3STEP 3

어느 십의 자리가 6으로 끝나나

9a가 6으로 끝나야 하는데, 9,18,27,36,45,54,63,72,81 중 36뿐이므로 a=4입니다.

9·1=9, 9·2=18, 9·3=27, 9·4=36, 9·5=45,…,9·9=81
4STEP 4

개수 세기

십의 자리는 4로 고정되고 b는 자유라서 40~49, 즉 10 개가 답 (D)입니다.

1 개 십의 자리 × 10 개 일의 자리 = 10 → (D)
정답
10
십의 자리 묶음의 양 끝을 확인해 봅니다: 40 → 4+0=4, 40-4=36 (6으로 끝남), 49 → 4+9=13, 49-13=36 (6으로 끝남). 둘 다 36에 떨어져 결과가 항상 9a=36이라는 주장과 맞습니다. 다른 십의 자리는 실패합니다, 예를 들어 50 → 50-5=45는 5로 끝나죠. 결과가 일의 자리를 무시하므로 답은 반드시 열 개짜리 한 묶음이어야 하니 10 (D)가 정확합니다. 함정 오답 9 (C)는 열 개의 일의 자리 중 하나를 빠뜨린 것이고, 19 (E)는 십의 자리 두 개가 조건에 맞는다고 잘못 생각한 것입니다.
💡핵심 정리

두 자리 수에서 자릿수의 합을 빼면 항상 십의 자리의 9배가 남아서 일의 자리는 잊혀져요 — 조건에 맞는 십의 자리 하나를 찾으면 그 열 개짜리 묶음의 모든 수가 세어집니다.

  • 자릿수에 이름 붙이기
  • 자릿수의 합 빼기
  • 어느 십의 자리가 6으로 끝나나
  • 개수 세기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.