AMC 10 · 2005 · #16
학년 6 arithmetic어떤 두 자리 수에서 그 수의 각 자릿수의 합을 뺍니다. 그 결과의 일의 자리 숫자가 6 입니다. 이러한 성질을 갖는 두 자리 수는 몇 개입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 자리 수에서 그 수의 두 자릿수의 합을 뺍니다. 그 결과의 일의 자리 숫자가 $6$ 이 되는 두 자리 수가 몇 개인지 세세요.
주어진 것: 그 수는 두 자리 수이므로 $10$ 부터 $99$ 까지이다; 그 수에서 각 자릿수의 합을 뺀다; 그 결과의 일의 자리 숫자가 $6$ 이어야 한다; 보기: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $19$
구하는 것: 결과가 $6$ 으로 끝나는 두 자리 수가 몇 개인가
이해
문제 재정리: 두 자리 수에서 그 수의 두 자릿수의 합을 뺍니다. 그 결과의 일의 자리 숫자가 $6$ 이 되는 두 자리 수가 몇 개인지 세세요.
주어진 것: 그 수는 두 자리 수이므로 $10$ 부터 $99$ 까지이다; 그 수에서 각 자릿수의 합을 뺀다; 그 결과의 일의 자리 숫자가 $6$ 이어야 한다; 보기: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $19$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
두 자리 수 $90$ 개를 일일이 손으로 시험하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #4 로 십의 자리를 $a$, 일의 자리를 $b$ 라 이름 붙이고 그 수를 $10a+b$ 로 쓰면, "자릿수의 합을 뺀다" 는 것은 $(10a+b)-(a+b)$ 가 되고 이는 $9a$ 로 정리됩니다. 바로 이 한 번의 정리가 문제의 전부입니다: 결과는 $b$ 에 전혀 의존하지 않고 오직 십의 자리에만 달려 있습니다. 그다음 도구 #2 로 $9$ 의 배수 아홉 개를 나열해 어느 십의 자리가 결과를 $6$ 으로 끝나게 하는지 보면, 조건에 맞는 수의 개수가 곧바로 나옵니다.
실행 — 정답: D
6.EE.B.6 단계 1 자릿수에 이름 붙이기
- 십의 자리를 $a$, 일의 자리를 $b$ 라 하면 두 자리 수는 $10a+b$ 입니다.
- 여기서 $a$ 는 $1$ 부터 $9$, $b$ 는 $0$ 부터 $9$ 까지입니다.
- 자릿수의 합은 그냥 $a+b$ 입니다.
💡 두 자리 수의 값은 십의 자리의 열 배에 일의 자리를 더한 것이에요.
6.EE.A.3 단계 2 자릿수의 합 빼기
- 그 수에서 자릿수의 합을 빼고 같은 항끼리 정리합니다.
- $b$ 항은 서로 지워지고 $a$ 항은 $10a-a=9a$ 가 됩니다.
- 그래서 일의 자리가 무엇이든 결과는 정확히 $9a$ 입니다 — 오직 십의 자리에만 달려 있습니다.
💡 빼는 일의 자리는 원래 그 수 안에 있던 바로 그 숫자라서 사라지고 $9a$ 만 남아요.
4.OA.B.4 단계 3 어느 십의 자리가 6 으로 끝나나
- $9a$ 의 일의 자리가 $6$ 이어야 합니다.
- $a=1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 의 배수를 나열하고 일의 자리를 읽어 봅니다: $9,18,27,36,45,54,63,72,81$.
- 그중 $36$ 만 $6$ 으로 끝나고, 그것은 $a=4$ 일 때입니다.
💡 결과는 $9$ 의 배수이고, 십의 자리가 한 자리인 $9$ 의 배수 중 $36$ 만 $6$ 으로 끝나요.
3.OA.A.1 단계 4 개수 세기
- 따라서 십의 자리는 반드시 $4$ 이고, 일의 자리 $b$ 는 $0,1,2,\dots,9$ 열 개 값 어느 것이든 될 수 있습니다 (결과에 전혀 영향을 주지 않았으니까요).
- 그러면 $40,41,\dots,49$ 열 개의 수가 나오고, 각각 $36$ 이 되어 $6$ 으로 끝납니다.
- 그러므로 그런 수는 $10$ 개, 보기 (D)입니다.
💡 십의 자리는 $4$ 로 고정되지만 일의 자리는 자유라서, 열 개로 이루어진 한 십의 자리 묶음이 전부 통과해요.
6.EE.B.6 십의 자리를 $a$, 일의 자리를 $b$ 라 하면 두 자리 수는 $10a+b$ 입니다. 여기서 $a$ 는 $1$ 부터 $9$, $b$ 는 $0$ 6.EE.A.3 그 수에서 자릿수의 합을 빼고 같은 항끼리 정리합니다. $b$ 항은 서로 지워지고 $a$ 항은 $10a-a=9a$ 가 됩니다. 그래서 일의 자리 4.OA.B.4 $9a$ 의 일의 자리가 $6$ 이어야 합니다. $a=1$ 부터 $9$ 까지 $9$ 의 배수를 나열하고 일의 자리를 읽어 봅니다: $9,18,2 3.OA.A.1 따라서 십의 자리는 반드시 $4$ 이고, 일의 자리 $b$ 는 $0,1,2,\dots,9$ 열 개 값 어느 것이든 될 수 있습니다 (결과에 전혀 검토
합리성 확인: 십의 자리 묶음의 양 끝을 확인해 봅니다: $40 \to 4+0=4,\ 40-4=36$ ($6$ 으로 끝남), $49 \to 4+9=13,\ 49-13=36$ ($6$ 으로 끝남). 둘 다 $36$ 에 떨어져 결과가 항상 $9a=36$ 이라는 주장과 맞습니다. 다른 십의 자리는 실패합니다, 예를 들어 $50 \to 50-5=45$ 는 $5$ 로 끝나죠. 결과가 일의 자리를 무시하므로 답은 반드시 열 개짜리 한 묶음이어야 하니 $10$ (D)가 정확합니다. 함정 오답 $9$ (C)는 열 개의 일의 자리 중 하나를 빠뜨린 것이고, $19$ (E)는 십의 자리 두 개가 조건에 맞는다고 잘못 생각한 것입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 결과가 $9a$ 이고 일의 자리에 전혀 의존하지 않음을 보면, 조건에 맞는 수는 완전한 십의 자리 묶음 단위로 나오므로 개수는 반드시 $10$ 의 배수입니다. 보기 중 $10$ 의 배수는 $10$ (D)뿐이라, $a=4$ 를 찾지 않고도 답이 정해집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6문제를 풀 때 변수를 사용해 수를 나타내고 식을 세우기 (두 자리 수를 $10a+b$ 로, 자릿수의 합을 $a+b$ 로 쓰는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(10a+b)-(a+b)$ 를 $9a$ 로 정리해 결과가 십의 자리에만 의존함을 보이는 데 사용.)4.OA.B.4$1$ 부터 $100$ 까지 수의 약수 쌍을 찾고 배수를 인식하기 ($9$ 의 배수를 나열해 어느 십의 자리가 결과를 $6$ 으로 끝나게 하는지 찾는 데 사용.)3.OA.A.1자연수의 곱을 같은 크기의 묶음으로 해석하기 (십의 자리 선택 $1$ 가지 곱하기 일의 자리 선택 $10$ 가지로 조건에 맞는 $10$ 개의 수를 세는 데 사용.)
⭐ 두 자리 수에서 자릿수의 합을 빼면 항상 십의 자리의 $9$ 배가 남아서 일의 자리는 잊혀져요 — 조건에 맞는 십의 자리 하나를 찾으면 그 열 개짜리 묶음의 모든 수가 세어집니다.
⭐ 두 자리 수에서 자릿수의 합을 빼면 항상 십의 자리의 $9$ 배가 남아서 일의 자리는 잊혀져요 — 조건에 맞는 십의 자리 하나를 찾으면 그 열 개짜리 묶음의 모든 수가 세어집니다.
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