AMC 10 · 2005 · #17

학년 6 geometry-2d
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
sequences-arithmeticdouble-counting pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
숫자 3, 5, 6, 7, 9를 오각별의 다섯 꼭짓점 A, B, C, D, E에 하나씩 놓는다. 다섯 변 AB, BC, CD, DE, EA는 각각 양 끝 두 숫자의 합을 가진다. 그리고 이 다섯 개의 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다. 그 등차수열의 가운데 항을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
10
(C)
11
(D)
12
(E)
13

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

3, 5, 6, 7, 9를 올바르게 배치하는 것은 120 가지 순서의 미로이고, 맞는 것을 찾아 헤매면 느리다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 이를 우회한다: 배열을 찾는 대신 다섯 변의 합을 한꺼번에 모두 더한다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 핵심 구조를 알려 준다 — 모든 꼭짓점은 정확히 두 변에 닿으므로, 그 총합은 각 숫자를 두 번씩 센다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 가운데 항을 m 으로 이름 붙여, 등차수열의 성질을 하나의 방정식으로 바꾼다.

1STEP 1

배열 그만두고 총합 구하기

맞는 배열을 찾는 일은 느립니다. 관점을 바꿔서, 다섯 변의 합을 전부 더하면 얼마인지 물읍시다.

S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = ?
2STEP 2

각 꼭짓점은 두 번씩 세어진다

모든 꼭짓점은 두 변 위에 있어 각 숫자가 두 번 세어집니다. 총합은 2(3+5+6+7+9), 즉 60입니다.

S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = 2(3+5+6+7+9) = 2 · 30 = 60
3STEP 3

가운데 항은 평균과 같다

항이 다섯 개면 가운데 항은 평균이므로 총합은 그 5배입니다. 가운데 항을 m이라 하면 5m = 60입니다.

5m = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = 60
4STEP 4

가운데 항 풀기

5m = 60의 양변을 5로 나누면 m = 12, 즉 선택지 (D)입니다.

5m = 60 → m = 60/5 = 12 → (D)
정답
12
가운데 항은 다섯 변의 합의 평균이어야 하고, 그 평균은 숫자를 어떻게 배열하든 상관없이 항상 60/5 = 12이다. 문제가 잘 정의되도록 실제 배열이 존재하는지 확인하자: 숫자를 별 둘레에 9, 5, 6, 7, 3의 순환 순서로 놓는다. 변의 합은 9+5=14, 5+6=11, 6+7=13, 7+3=10, 3+9=12, 즉 {10,11,12,13,14} — 공차가 1이고 가운데 항이 12인 등차수열이다. 또한 12는 선택지 중 하나이고 목록의 정중앙에 놓여 있어, 둘 다 안심되는 신호이다.
💡핵심 정리

정확한 배열을 못박기 어려울 때는, 전부 한꺼번에 더해 보자 — 총합이 답을 건네줄 때가 많다.

  • 배열 그만두고 총합 구하기
  • 각 꼭짓점은 두 번씩 세어진다
  • 가운데 항은 평균과 같다
  • 가운데 항 풀기

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