AMC 10 · 2007 · #22

학년 6 number-theory
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
place-valuedigit-decompositiondivisibility-rulesprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: place-value
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
세 자리 정수로 이루어진 유한수열이 다음 성질을 만족합니다: 각 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 순서대로 다음 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자이고, 마지막 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 첫째 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자여서 수열이 고리처럼 닫힙니다. 예를 들어 이런 수열은 247, 475, 756으로 시작해 824로 끝날 수 있습니다. S를 수열의 모든 항의 합이라 합시다. S를 항상 나누는 가장 큰 소수는 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 3$
(B)
$\ 7$
(C)
$\ 13$
(D)
$\ 37$
(E)
$\ 43$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

겹치는 규칙 때문에 각 숫자는 연속된 세 항이 함께 쓰므로, 고리는 사실 원을 따라 쓰인 하나의 숫자 고리 d₁, d₂, …, d_n입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 숫자들에 이름을 붙이고 각 항을 100 d_k + 10 d_k+1 + d_k+2로 씁니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 고리를 한 칸씩 돌면 모든 숫자가 백의 자리에 한 번, 십의 자리에 한 번, 일의 자리에 한 번씩 온다는 것을 알아챕니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 항별이 아니라 자릿값 열별로 더하면 합이 숫자 총합의 111배로 줄어듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 111을 인수분해하고 선택지와 아주 작은 고리 하나를 써서 항상 강제되는 가장 큰 소수를 찾아냅니다.

1STEP 1

숫자 고리에 이름 붙이기

이웃한 항이 숫자를 공유하므로, 고리 위 숫자를 d₁, …, d_n으로 두면 항 k는 d_k, d_k+1, d_k+2로 이루어집니다.

항_k = 100 d_k + 10 d_k+1 + d_k+2, k = 1, 2, …, n (첨자는 n 으로 나눈 나머지)
2STEP 2

각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다

각 숫자는 자기 항의 백의 자리, 앞 항의 십의 자리, 두 칸 앞 항의 일의 자리 — 모든 자리에 한 번씩.

d_k 는 다음처럼 나타남: 100 d_k (항 k), 10 d_k (항 k-1), 1 · d_k (항 k-2)
3STEP 3

항별이 아니라 자릿값별로 더하기

열별로 더하면, 숫자 총합을 T라 할 때 S = 100T + 10T + T = 111 T입니다.

S = 100T + 10T + T = (100 + 10 + 1) T = 111 T, T = d₁ + … + d_n
4STEP 4

111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기

S = 111 T이고 111 = 3 × 37입니다. 한 항짜리 고리 111이 더 큰 소수는 불가능함을 보여 주므로 (D).

111 = 3 × 37; S = 111 T → 37 ∣ S 항상; S = 111이면 더 큰 소수는 강제 안 됨 → (D)
정답
37
주어진 예시 숫자로 확인해 봅니다. 고리 2,4,7,5,6,…은 항 247, 475, 756, …을 만들며, 전체 고리가 무엇이든 이 주장은 S가 숫자 총합의 111배여야 한다고 말합니다. 완결된 작은 고리를 직접 확인하면: 고리 2,4,7,5가 다시 닫히면서 항 247, 475, 752, 524가 나오고, 247+475+752+524 = 1998 = 111 × 18, 그리고 2+4+7+5 = 18 — 111 T 규칙이 성립합니다. 3과 37 모두 1998을 나눕니다. 함정 선택지는 37 근처의 다른 소수들입니다: 7, 13, 43은 어떤 고리는 나누지만 맨 고리 111은 나누지 못하므로 보장되지 않고, 3은 항상 나누지만 37보다 작습니다. 따라서 37이 항상 강제되는 가장 큰 소수라는 결론이 일관됩니다.
💡핵심 정리

고리 덕분에 모든 숫자가 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 정확히 한 번씩 오므로, 전체 합은 항상 숫자 총합의 111 = 3 × 37배가 되고, 따라서 37이 그 합을 나누는 가장 큰 소수입니다.

  • 숫자 고리에 이름 붙이기
  • 각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다
  • 항별이 아니라 자릿값별로 더하기
  • 111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기

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