AMC 10 · 2005 · #20
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모든 수를 나열해 손으로 더하는 것은 불가능하므로, 승부수는 도구 #5(패턴 찾기)입니다: 모든 숫자가 똑같이 다뤄지므로, 모든 배열에 걸쳐 각 숫자는 각 자릿값 칸에 똑같은 횟수만큼 들어갑니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 평균을 다시 봅니다 — 온전한 수를 평균 내는 대신 자릿값 칸을 하나씩 평균 냅니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 각 수를 자릿값 형태로 써서 그 칸들이 보이게 합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 '평균 숫자 구하기'와 '자릿값에 곱하기'라는, 둘 다 쉬운 문제로 나눕니다.
수를 자릿값으로 쓰기
각 수는 다섯 숫자에 자릿값 10000, 1000, 100, 10, 1을 가중한 것이라, 어느 칸에 어떤 숫자가 앉는지가 전부입니다.
수란 결국 각 칸이 지닌 값만큼 곱해진 숫자들일 뿐입니다.
5.NBT.A.1Organize Information In More Ways각 자리를 따로 평균 내기
합의 평균은 평균의 합이므로, 각 칸을 따로 평균 내고(자리 k의 평균 숫자를 d_k라 함) 다시 더하면 됩니다.
각 칸을 먼저 평균 내도 온전한 수를 평균 낸 것과 총합이 같으므로, 한 칸씩 다룰 수 있습니다.
각 자리를 따로 평균 내도 수 전체를 평균 낸 것과 같은 값이 나온다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 총합이 자리마다 깔끔하게 갈린다.
▸ 왜?
합의 평균은 평균의 합인데, 둘 다 같은 개수로 나눈 총합이기 때문이다.
모든 자리의 평균 숫자는 같다
어느 칸도 특별하지 않아 각 숫자가 똑같은 횟수로 앉으므로, 모든 칸의 평균 숫자는 4.8입니다.
어떤 숫자도 특정 칸을 선호하지 않으므로, 평균적으로 모든 칸은 같은 대표 숫자 — 다섯 숫자의 평균 — 를 담습니다.
6.SP.B.5Look For A Pattern칸들을 합치기
각 칸이 자릿값의 4.8배만큼 기여하니 4.8을 묶어내면, 남는 것은 자릿값의 합 11111입니다.
모든 자리가 같은 평균 숫자를 지니므로, 자릿값들은 그냥 11111로 더해집니다.
6.EE.A.3Identify Subproblems곱해서 마무리
자연수로 48 × 11111 = 533328이고, 소수점 한 자리를 되돌리면 53332.8, 곧 선택지 (C)입니다.
먼저 자연수처럼 곱한 다음, 소수점 한 자리를 다시 넣습니다.
5.NBT.B.7Identify Subproblems모든 배열이 똑같이 나올 때, 각 자릿값 칸은 그저 평균 숫자를 보여줄 뿐이므로, 평균 수는 그 하나의 평균 숫자에 11111을 곱한 값입니다.
- 수를 자릿값으로 쓰기
- 각 자리를 따로 평균 내기
- 모든 자리의 평균 숫자는 같다
- 칸들을 합치기
- 곱해서 마무리
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