AMC 10 · 2005 · #17
학년 6 geometry-2d아래에 그려진 오각별에서 문자 A, B, C, D, E 를 숫자 3, 5, 6, 7, 9 로 바꿉니다(반드시 이 순서일 필요는 없습니다). 선분 AB, BC, CD, DE, EA 의 양 끝에 있는 숫자들의 합이 (반드시 이 순서일 필요는 없지만) 등차수열을 이룹니다. 이 등차수열의 가운데 항은 무엇입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 숫자 $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ 를 오각별의 다섯 꼭짓점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 에 하나씩 놓는다. 다섯 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EA}$ 각각은 양 끝 숫자를 더한 합을 가지며, 이 다섯 개의 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다. 그 등차수열의 가운데 항을 구한다.
주어진 것: 숫자 $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ 를 다섯 꼭짓점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 에 하나씩 놓는다; 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EA}$ 를 따라 나오는 다섯 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$
구하는 것: 다섯 변의 합이 이루는 등차수열의 가운데 항
이해
문제 재정리: 숫자 $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ 를 오각별의 다섯 꼭짓점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 에 하나씩 놓는다. 다섯 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EA}$ 각각은 양 끝 숫자를 더한 합을 가지며, 이 다섯 개의 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다. 그 등차수열의 가운데 항을 구한다.
주어진 것: 숫자 $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ 를 다섯 꼭짓점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 에 하나씩 놓는다; 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EA}$ 를 따라 나오는 다섯 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #4 변수 도입하기
$3$, $5$, $6$, $7$, $9$ 를 올바르게 배치하는 것은 $120$ 가지 순서의 미로이고, 맞는 것을 찾아 헤매면 느리다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 이 이를 우회한다: 배열을 찾는 대신 다섯 변의 합을 한꺼번에 모두 더한다. 도구 #5 (패턴 찾기) 는 핵심 구조를 알려 준다 — 모든 꼭짓점은 정확히 두 변에 닿으므로, 그 총합은 각 숫자를 두 번씩 센다. 도구 #4 (변수 도입하기) 로 가운데 항을 $m$ 으로 이름 붙여, 등차수열의 성질을 하나의 방정식으로 바꾼다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.3 단계 1 배열 그만두고 총합 구하기
- 다섯 숫자를 놓는 방법은 $120$ 가지이고, 맞는 것을 찾는 일은 느리다.
- 관점을 바꾸자: 각 변의 합이 무엇인지 묻지 말고, 다섯 변의 합을 모두 더하면 얼마인지 묻자.
- 그 하나의 총합만으로 가운데 항을 못박을 수 있다.
💡 등차수열의 가운데 항은 항들의 총합으로 정해지므로, 총합은 어떤 개별 배열보다 값어치가 크다.
4.OA.A.3 단계 2 각 꼭짓점은 두 번씩 세어진다
- 별의 모든 꼭짓점은 정확히 두 변 위에 있으므로, 다섯 변의 합을 모두 더하면 각 숫자가 정확히 두 번씩 쓰인다.
- 따라서 총합은 다섯 숫자의 합의 두 배이다: $2(3+5+6+7+9)=2\cdot 30 = 60$.
💡 모든 변의 합을 더하면 각 꼭짓점이 두 번 세어지므로, 총합은 그냥 모든 숫자의 합의 두 배이다.
6.SP.B.5 단계 3 가운데 항은 평균과 같다
- 항의 개수가 홀수인 등차수열에서는 항들이 가운데를 중심으로 균형을 이루므로, 가운데 항은 모든 항의 평균과 같다.
- 항이 다섯 개이면 총합은 그 가운데 항의 $5$ 배이다.
- 가운데 항을 $m$ 이라 하면 $5m = 60$ 이다.
💡 일정한 간격으로 늘어선 수들은 가운데를 중심으로 균형을 이루므로, 그 평균은 정확히 가운데 항에 놓인다.
6.EE.B.7 단계 4 가운데 항 풀기
- $5m = 60$ 의 양변을 $5$ 로 나누면 $m = 12$ 이다.
- 따라서 등차수열의 가운데 항은 $12$ 이고, 이는 선택지 (D) 이다.
💡 하나의 총합을 다섯 등분으로 나눈 것 — 가운데 항은 그저 총합을 $5$ 로 나눈 값이다.
4.OA.A.3 다섯 숫자를 놓는 방법은 $120$ 가지이고, 맞는 것을 찾는 일은 느리다. 관점을 바꾸자: 각 변의 합이 무엇인지 묻지 말고, 다섯 변의 합을 4.OA.A.3 별의 모든 꼭짓점은 정확히 두 변 위에 있으므로, 다섯 변의 합을 모두 더하면 각 숫자가 정확히 두 번씩 쓰인다. 따라서 총합은 다섯 숫자의 합 6.SP.B.5 항의 개수가 홀수인 등차수열에서는 항들이 가운데를 중심으로 균형을 이루므로, 가운데 항은 모든 항의 평균과 같다. 항이 다섯 개이면 총합은 그 6.EE.B.7 $5m = 60$ 의 양변을 $5$ 로 나누면 $m = 12$ 이다. 따라서 등차수열의 가운데 항은 $12$ 이고, 이는 선택지 (D) 이다. 검토
합리성 확인: 가운데 항은 다섯 변의 합의 평균이어야 하고, 그 평균은 숫자를 어떻게 배열하든 상관없이 항상 $60/5 = 12$ 이다. 문제가 잘 정의되도록 실제 배열이 존재하는지 확인하자: 숫자를 별 둘레에 $9, 5, 6, 7, 3$ 의 순환 순서로 놓는다. 변의 합은 $9+5=14$, $5+6=11$, $6+7=13$, $7+3=10$, $3+9=12$, 즉 $\{10,11,12,13,14\}$ — 공차가 $1$ 이고 가운데 항이 $12$ 인 등차수열이다. 또한 $12$ 는 선택지 중 하나이고 목록의 정중앙에 놓여 있어, 둘 다 안심되는 신호이다.
대안 접근: 모든 숫자를 다섯 숫자의 평균인 $30/5 = 6$ 으로 바꿔 보자. 그러면 각 변의 합은 $6+6 = 12$ 가 되어, 다섯 '합' 이 모두 $12$ — 가운데 항이 $12$ 인 (상수) 등차수열이다. 변의 합의 총합은 숫자들의 총합에만 의존하므로 (각각 두 번씩 세어짐), 이 교체는 총합을 바꾸지 않고, 따라서 실제 가운데 항도 $12$ 이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (다섯 숫자를 더하고 두 배로 하여 변의 합의 총합 $2\cdot 30 = 60$ 을 구하는 데 사용.)6.SP.B.5Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures ($5$ 항 등차수열의 가운데 항이 항들의 평균과 같다는 사실을 이용해, 총합이 가운데 항의 $5$ 배임을 쓰는 데 사용.)6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (일차 방정식 $5m = 60$ 을 풀어 $m = 12$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ 정확한 배열을 못박기 어려울 때는, 전부 한꺼번에 더해 보자 — 총합이 답을 건네줄 때가 많다.
⭐ 정확한 배열을 못박기 어려울 때는, 전부 한꺼번에 더해 보자 — 총합이 답을 건네줄 때가 많다.
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