AMC 10 · 2005 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

lcmmultiplesfloor-function identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: lcmmultiplesfloor-function

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$S$ 를 $4$ 의 양의 배수 중 가장 작은 $2005$ 개의 집합이라 하고, $T$ 를 $6$ 의 양의 배수 중 가장 작은 $2005$ 개의 집합이라 하자. $S$ 와 $T$ 에 공통으로 속하는 원소는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

166

(B)

333

(C)

500

(D)

668

(E)

1001

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $S$는 $4$의 배수 중 가장 작은 $2005$개를 모은 목록이고, $T$는 $6$의 배수 중 가장 작은 $2005$개를 모은 목록이다. 두 목록 모두에 들어 있는 수가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: $S = \{4, 8, 12, \dots\}$ — $4$의 배수 처음 $2005$개; $T = \{6, 12, 18, \dots\}$ — $6$의 배수 처음 $2005$개; 각 목록은 정확히 $2005$개의 수를 가진다; 보기: (A) $166$, (B) $333$, (C) $500$, (D) $668$, (E) $1001$

구하는 것: $S$와 $T$ 모두에 속하는 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #14 극단의 원리

두 목록에 함께 들어 있는 수는 $4$의 배수이면서 동시에 $6$의 배수여야 하므로, 두 수의 최소공배수인 $12$의 배수여야 한다. 도구 #4로 그런 공통 수를 $12k$로 이름 붙이면 "공통 원소가 몇 개인가"가 "어떤 자연수 $k$가 가능한가"로 바뀐다. 도구 #7은 각 목록이 도달하는 가장 큰 수를 찾는 두 개의 작은 문제로 나누고, 도구 #14는 두 상한 중 더 빡빡한 쪽을 골라 실제로 개수를 제한하는 조건만 남긴다. 그러면 가능한 $k$를 세는 일은 나눗셈 한 번이다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

각 목록이 도달하는 끝

각 목록에서 가장 큰 수를 찾는다.
$S$에서 마지막(가장 큰) $4$의 배수는 $2005$번째 것이고, $T$에서 마지막 $6$의 배수도 $2005$번째 것이다.

$$\max S = 4 \times 2005 = 8020, \qquad \max T = 6 \times 2005 = 12030$$

💡 어떤 수의 $2005$번째 배수는 그 수에 $2005$를 곱한 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.4 단계 2

공통 수는 12의 배수

두 목록에 함께 있는 수는 $4$의 배수이면서 $6$의 배수이므로, $4$와 $6$의 최소공배수인 $12$의 배수이다.
그런 공통 수를 어떤 자연수 $k \ge 1$에 대해 $12k$로 이름 붙인다.

$$\operatorname{lcm}(4,6) = 12 \;\Rightarrow\; \text{공통 원소} = 12k$$

💡 두 목록에 모두 들어가려면 $4$와 $6$으로 동시에 만들 수 있어야 하고, 그런 가장 작은 수가 $12$이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 3

실제로 개수를 제한하는 상한

$12k$가 정말로 $S$에 나타나려면 $S$의 가장 큰 원소를 넘지 않아야 하고, $T$에 대해서도 마찬가지다.
두 조건이 모두 성립해야 하므로 더 작은 상한이 개수를 결정한다.
$8020 < 12030$이므로 결정적인 조건은 $12k \le 8020$이다.

$$12k \le 8020 \quad \text{그리고} \quad 12k \le 12030 \;\Rightarrow\; 12k \le 8020$$

💡 $S$가 $T$보다 먼저 끝나므로 공통 수는 $S$가 허용하는 만큼만 커질 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.2 단계 4

가능한 배수 세기

$12k \le 8020$을 만족하는 자연수 $k \ge 1$을 센다.
$8020$을 $12$로 나누고 정수 부분만 취한다.
$k$는 자연수여야 하기 때문이다.

$$k \le \dfrac{8020}{12} = 668.\overline{3} \;\Rightarrow\; k = 1, 2, \dots, 668 \;\Rightarrow\; 668 \text{개} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $1$부터 상한까지의 각 자연수 $k$는 공통 수 $12k$를 정확히 하나씩 만든다.

[1] #7 4.OA.B.4 각 목록에서 가장 큰 수를 찾는다. $S$에서 마지막(가장 큰) $4$의 배수는 $2005$번째 것이고, $T$에서 마지막 $6$의 배수도 $2

[2] #4 6.NS.B.4 두 목록에 함께 있는 수는 $4$의 배수이면서 $6$의 배수이므로, $4$와 $6$의 최소공배수인 $12$의 배수이다. 그런 공통 수를 어떤 자

[3] #14 6.EE.B.8 $12k$가 정말로 $S$에 나타나려면 $S$의 가장 큰 원소를 넘지 않아야 하고, $T$에 대해서도 마찬가지다. 두 조건이 모두 성립해야 하므

[4] #4 6.NS.B.2 $12k \le 8020$을 만족하는 자연수 $k \ge 1$을 센다. $8020$을 $12$로 나누고 정수 부분만 취한다. $k$는 자연수여야

검토

합리성 확인: 공통 수는 $668$개, 보기 (D)이다. 간단한 확인: $S$ 안의 $12$의 배수는 $S$의 세 번째마다 나오는 원소이고($12 = 4 \times 3$이므로), $2005 \div 3 \approx 668$로 일치한다. 이들은 모두 $T$에도 들어가는데, $T$가 더 높이($12030 > 8020$) 도달하기 때문이다. 함정인 $1001$ (E)은 대략 $2005/2$로 $T$ 안의 $12$의 배수 개수이지만, 그중 많은 수가 $8020$을 넘어 $S$에는 나타나지 않으므로 세면 안 된다.

대안 접근: 공통인 $12$의 배수를 직접 나열한다. $S$ 안에서 이들은 $12, 24, \dots$로 $8020$까지 이어지므로 마지막 것은 $12 \times \lfloor 8020/12 \rfloor = 12 \times 668 = 8016$이다. 공통 수는 $12, 24, \dots, 8016$이고 그 개수는 $8016 \div 12 = 668$이다. 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (각 목록이 어디까지 도달하는지 찾기 위해 $4$와 $6$의 $2005$번째 배수를 인식함.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($\operatorname{lcm}(4,6) = 12$을 이용해 모든 공통 수가 $12$의 배수임을 보임.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line (범위 조건 $12k \le 8020$과 $12k \le 12030$을 세우고 더 빡빡한 쪽을 남김.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm ($8020$을 $12$로 나눠 $12$의 배수가 몇 개 들어가는지 셈.)

⭐ 두 목록에 함께 있는 수는 최소공배수($12$)의 배수여야 하므로, 더 짧은 목록의 상한 아래에 들어가는 $12$의 배수를 세면 된다.