AMC 10 · 2005 · #22
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 목록에 함께 들어 있는 수는 4의 배수이면서 동시에 6의 배수여야 하므로, 두 수의 최소공배수인 12의 배수여야 한다. 도구 #4로 그런 공통 수를 12k로 이름 붙이면 "공통 원소가 몇 개인가"가 "어떤 자연수 k가 가능한가"로 바뀐다. 도구 #7은 각 목록이 도달하는 가장 큰 수를 찾는 두 개의 작은 문제로 나누고, 도구 #14는 두 상한 중 더 빡빡한 쪽을 골라 실제로 개수를 제한하는 조건만 남긴다. 그러면 가능한 k를 세는 일은 나눗셈 한 번이다.
각 목록이 도달하는 끝
각 목록은 2005번째 배수에서 끝난다. S는 8020까지, T는 12030까지 이어진다.
어떤 수의 2005번째 배수는 그 수에 2005를 곱한 것일 뿐이다.
4.OA.B.4Identify Subproblems공통 수는 12의 배수
두 목록에 함께 있는 수는 4와 6의 배수이므로 12의 배수이다. 이를 12k로 놓는다.
두 목록에 모두 들어가려면 4와 6으로 동시에 만들 수 있어야 하고, 그런 가장 작은 수가 12이다.
두 목록에 함께 들려면 수가 두 간격 모두로 지어져야 하므로, 그 최소공배수의 배수다.
▸ 왜?
공배수는 두 수의 소수를 모두 지녀야 하며, 그런 것 가운데 가장 작은 것이 그 배수다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 두 요구가 겹침 없이 합쳐진다.
실제로 개수를 제한하는 상한
두 상한을 모두 넘지 않아야 하는데 8020이 더 작으므로, 결정적인 조건은 12k ≤ 8020이다.
S가 T보다 먼저 끝나므로 공통 수는 S가 허용하는 만큼만 커질 수 있다.
6.EE.B.8Extreme Principle가능한 배수 세기
k는 자연수이므로 8020을 12로 나눈 668.33…에서 정수 부분만 취해 k는 1부터 668까지다.
1부터 상한까지의 각 자연수 k는 공통 수 12k를 정확히 하나씩 만든다.
6.NS.B.2Introduce A Variable두 목록에 함께 있는 수는 최소공배수(12)의 배수여야 하므로, 더 짧은 목록의 상한 아래에 들어가는 12의 배수를 세면 된다.
- 각 목록이 도달하는 끝
- 공통 수는 12의 배수
- 실제로 개수를 제한하는 상한
- 가능한 배수 세기