AMC 10 · 2005 · #24

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-numbersperfect-squaresdifference-of-squares convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersperfect-squaresdifference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

각 양의 정수 $m > 1$ 에 대해 $P(m)$ 을 $m$ 의 가장 큰 소인수라 하자. $P(n) = \sqrt{n}$ 과 $P(n+48) = \sqrt{n+48}$ 이 모두 성립하는 양의 정수 $n$ 은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m>1$인 수 $m$에 대해 $P(m)$은 $m$의 가장 큰 소인수이다. $n$의 가장 큰 소인수가 $\sqrt{n}$과 같고, 동시에 $n+48$의 가장 큰 소인수가 $\sqrt{n+48}$과 같은 양의 정수 $n$의 개수를 구하여라.

주어진 것: $P(m)$은 $m$의 가장 큰 소인수를 뜻한다; 조건 $P(n)=\sqrt{n}$이 성립해야 한다; 동시에 조건 $P(n+48)=\sqrt{n+48}$도 성립해야 한다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 두 조건을 동시에 만족하는 양의 정수 $n$이 몇 개인지

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

조건 $P(n)=\sqrt{n}$은 위장된 표현이다. 이것을 풀어 보면(도구 #4, 변수 도입하기) $n$이 소수의 제곱이어야 함을 알 수 있다: $n=p^2$, $n+48=q^2$ ($p,q$는 소수)로 놓는다. 두 식을 빼면 문제 전체가 깔끔한 하나의 방정식 $q^2-p^2=48$로 바뀐다. 제곱의 차를 인수분해하면 $(q-p)(q+p)=48$이 되어, 두 소수는 $48$의 약수쌍으로 결정된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수쌍을 모두 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 $p$나 $q$가 소수가 아닌 쌍을 버리면 정확한 개수가 남는다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 1

P(n)=√n 해독하기

가장 큰 소인수는 정수이므로 $\sqrt{n}$이 정수여야 한다 — 즉 $n$은 완전제곱수이다.
$\sqrt{n}=p$로 놓으면 $n=p^2$이다.
$p^2$의 가장 큰 소인수가 $p$가 되는 것은 $p$ 자체가 소수일 때뿐이다.
만약 $p$가 합성수라면 더 작은 소수들로 쪼개져서 가장 큰 소인수가 $p=\sqrt{n}$보다 작아진다.
따라서 조건 $P(n)=\sqrt{n}$은 정확히 $n$이 소수의 제곱일 때 성립한다.

$$P(n)=\sqrt{n}\iff n=p^2\ (p\text{는 소수})$$

💡 $P(m)=\sqrt{m}$은 “$m$이 소수의 제곱”이라는 뜻의 암호일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

두 수에 모두 적용하기

같은 해독이 $n+48$에도 적용된다: 이것도 소수의 제곱이어야 하므로 $n+48=q^2$ ($q$는 소수)로 놓는다.
이제 두 조건이 깔끔한 두 방정식으로 담긴다.
두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 $n$이 사라지고 두 소수 사이의 관계만 남는다.

$$n=p^2,\quad n+48=q^2\ \Rightarrow\ q^2-p^2=48$$

💡 두 제곱근에 이름을 붙이면 $+48$이라는 차이가 하나의 방정식이 된다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 3

제곱의 차 인수분해하기

제곱의 차는 $q^2-p^2=(q-p)(q+p)$로 인수분해된다.
그래서 $(q-p)(q+p)=48$이다.
두 정수 인수 $q-p$와 $q+p$의 곱이 $48$이어야 하므로, 소수를 무작정 찍는 대신 $48$의 약수쌍을 따져 볼 수 있다.

$$q^2-p^2=(q-p)(q+p)=48$$

💡 제곱의 뺄셈을 곱으로 바꾸면 약수쌍으로 따지는 길이 열린다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 4

두 인수는 모두 짝수

두 인수 $q-p$와 $q+p$의 합은 $2q$로 짝수이므로, 둘은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다.
두 홀수의 곱은 홀수인데 $48$은 짝수이므로 둘 다 홀수일 수는 없다 — 따라서 둘 다 짝수여야 한다.
$48$의 짝수 약수쌍(작은 수 × 큰 수)은 $2\times24$, $4\times12$, $6\times8$이다.

$$\{q-p,\,q+p\}=\{2,24\},\{4,12\},\{6,8\}$$

💡 짝수의 약수쌍이 같은 홀짝성을 가지면 둘 다 짝수일 수밖에 없다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 5

각 쌍을 풀고 소수만 남기기

$q-p=d$, $q+p=s$인 쌍에 대해 더한 뒤 반으로 나누면 $q=\tfrac{s+d}{2}$, $p=\tfrac{s-d}{2}$이다.
쌍 $(2,24)$는 $p=11$, $q=13$ — 둘 다 소수이므로 $n=11^2=121$이 성립하고 $n+48=169=13^2$이다.
쌍 $(4,12)$는 $p=4$, $q=8$ — 소수가 아니다.
쌍 $(6,8)$은 $p=1$, $q=7$ — 그런데 $1$은 소수가 아니다.
따라서 살아남는 값은 정확히 $n=121$ 하나뿐이고, 유효한 $n$의 개수는 $1$, 즉 선택지 (B)이다.

$$(2,24)\to p=11,q=13\ (\checkmark);\ (4,12)\to 4,8\ (\times);\ (6,8)\to 1,7\ (\times)\ \Rightarrow\ 1\text{개}=\textbf{(B)}$$

💡 각 약수쌍은 $(p,q)$ 후보를 내놓는다; 둘 다 진짜 소수일 때만 남긴다.

[1] #4 8.EE.A.2 가장 큰 소인수는 정수이므로 $\sqrt{n}$이 정수여야 한다 — 즉 $n$은 완전제곱수이다. $\sqrt{n}=p$로 놓으면 $n=p^2$이

[2] #4 6.EE.B.6 같은 해독이 $n+48$에도 적용된다: 이것도 소수의 제곱이어야 하므로 $n+48=q^2$ ($q$는 소수)로 놓는다. 이제 두 조건이 깔끔한

[3] #4 6.EE.A.3 제곱의 차는 $q^2-p^2=(q-p)(q+p)$로 인수분해된다. 그래서 $(q-p)(q+p)=48$이다. 두 정수 인수 $q-p$와 $q+p$

[4] #2 6.NS.B.4 두 인수 $q-p$와 $q+p$의 합은 $2q$로 짝수이므로, 둘은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 두 홀수의 곱은 홀수인데 $48$은 짝수이므

[5] #3 6.NS.B.4 $q-p=d$, $q+p=s$인 쌍에 대해 더한 뒤 반으로 나누면 $q=\tfrac{s+d}{2}$, $p=\tfrac{s-d}{2}$이다. 쌍

검토

합리성 확인: 살아남은 값을 직접 확인해 보자: $n=121=11^2$이고 그 가장 큰 소인수는 $11=\sqrt{121}$, 그리고 $n+48=169=13^2$이고 그 가장 큰 소인수는 $13=\sqrt{169}$이다. 두 조건이 모두 성립하므로 $121$은 진짜 유효하다. 버려진 두 쌍은 소수 조건에서 탈락하므로 정확히 하나의 $n$만 성립하며, 이는 선택지 (B) $=1$과 일치한다.

대안 접근: 소수의 제곱을 직접 훑어 볼 수도 있다. 연속한 제곱수의 차 $(k+1)^2-k^2=2k+1$은 $k\ge 24$에서 $48$을 넘으므로, $\sqrt{n}=p$는 $24$보다 작은 소수 $2,3,5,7,11,13,17,19,23$뿐이다. 각각에 대해 $p^2+48$을 확인하면 $4+48=52$, $9+48=57$, $25+48=73$, $49+48=97$, $121+48=169=13^2$, $169+48=217$, $289+48=337$, $361+48=409$, $529+48=577$이다. 오직 $p=11$만이 소수의 제곱 ($13^2$)에 떨어지므로, 해는 하나뿐이고 답은 (B)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.2 제곱근 기호를 사용하여 완전제곱수의 제곱근을 나타내고 계산하기 ($P(n)=\sqrt{n}$이 $n$을 제곱근이 소수인 완전제곱수, 즉 $n=p^2$으로 강제함을 알아채기.)
6.EE.B.6 변수를 사용하여 수를 나타내고 문제를 풀 때 식 세우기 ($n=p^2$, $n+48=q^2$으로 이름 붙여 두 조건을 하나의 방정식 $q^2-p^2=48$으로 만들기.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식 만들기 (제곱의 차 $q^2-p^2$을 곱 $(q-p)(q+p)$으로 인수분해하기.)
6.NS.B.4 자연수의 약수를 구하고 소인수분해에 대해 추론하기 ($48$의 짝수 약수쌍을 나열하고 어느 것이 소수인 $p$, $q$를 주는지 확인하기.)

⭐ “가장 큰 소인수가 제곱근과 같다”는 말은 사실 “소수의 제곱”이라는 뜻이니, $q^2-p^2=48$을 세우고 $(q-p)(q+p)$로 인수분해하면 오직 $p=11,q=13$만이 두 소수를 준다.