AMC 10 · 2005 · #24

학년 8 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
prime-numbersperfect-squaresdifference-of-squares convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersperfect-squaresdifference-of-squares
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
1보다 큰 정수 m에 대해 P(m)은 m의 가장 큰 소인수를 뜻한다. P(n)=√(n)이고 동시에 P(n+48)=√(n+48)인 양의 정수 n의 개수를 구하여라.

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(A)
0
(B)
1
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

조건 P(n)=√(n)은 위장된 표현이다. 이것을 풀어 보면(도구 #4, 변수 도입하기) n이 소수의 제곱이어야 함을 알 수 있다: n=p², n+48=q² (p,q는 소수)로 놓는다. 두 식을 빼면 문제 전체가 깔끔한 하나의 방정식 q²-p²=48로 바뀐다. 제곱의 차를 인수분해하면 (q-p)(q+p)=48이 되어, 두 소수는 48의 약수쌍으로 결정된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수쌍을 모두 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 p나 q가 소수가 아닌 쌍을 버리면 정확한 개수가 남는다.

1STEP 1

P(n)=√n 해독하기

가장 큰 소인수는 정수이므로 n은 완전제곱수 p²이고, P(p²)=p는 p가 소수일 때만 성립한다.

P(n)=√(n)⇔ n=p² (p는 소수)
2STEP 2

두 수에 모두 적용하기

같은 해독으로 n+48=q² (q는 소수)를 얻고, 두 식을 빼면 n이 사라져 q²-p²=48만 남는다.

n=p², n+48=q² → q²-p²=48
3STEP 3

제곱의 차 인수분해하기

제곱의 차는 인수분해되므로 (q-p)(q+p)=48이고, 이제 소수를 찍는 대신 48의 약수쌍을 따지면 된다.

q²-p²=(q-p)(q+p)=48
4STEP 4

두 인수는 모두 짝수

합 2q가 짝수라 두 인수는 홀짝이 같고, 곱이 짝수이니 둘 다 짝수 — 남는 쌍은 2와 24, 4와 12, 6과 8이다.

{q-p, q+p}={2,24},{4,12},{6,8}
5STEP 5

각 쌍을 풀고 소수만 남기기

합과 차를 반으로 나누면 (2,24)만 두 소수 p=11, q=13을 주고, 나머지 쌍은 소수가 아니어서 n=121만 남는다.

(2,24)→ p=11,q=13 (✓); (4,12)→ 4,8 (×); (6,8)→ 1,7 (×) → 1개=(B)
정답
1
살아남은 값을 직접 확인해 보자: n=121=11²이고 그 가장 큰 소인수는 11=√(121), 그리고 n+48=169=13²이고 그 가장 큰 소인수는 13=√(169)이다. 두 조건이 모두 성립하므로 121은 진짜 유효하다. 버려진 두 쌍은 소수 조건에서 탈락하므로 정확히 하나의 n만 성립하며, 이는 선택지 (B) =1과 일치한다.
💡핵심 정리

“가장 큰 소인수가 제곱근과 같다”는 말은 사실 “소수의 제곱”이라는 뜻이니, q²-p²=48을 세우고 (q-p)(q+p)로 인수분해하면 오직 p=11,q=13만이 두 소수를 준다.

  • P(n)=√n 해독하기
  • 두 수에 모두 적용하기
  • 제곱의 차 인수분해하기
  • 두 인수는 모두 짝수
  • 각 쌍을 풀고 소수만 남기기

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