AMC 10 · 2005 · #25

학년 6 geometry-2d

area-trianglesratio-proportion identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-trianglesratio-proportionfraction-multiplication

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$\triangle ABC$ 에서 $AB = 25$ , $BC = 39$ , $AC = 42$ 이다. 점 $D$ 와 $E$ 는 각각 $\overline{AB}$ 와 $\overline{AC}$ 위에 있으며 $AD = 19$ , $AE = 14$ 이다. 삼각형 $ADE$ 의 넓이와 사각형 $BCED$ 의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{266}{1521}$

(B)

$\frac{19}{75}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{19}{56}$

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 에서 변의 길이는 $AB=25$, $BC=39$, $AC=42$ 입니다. 점 $D$ 는 변 $AB$ 위에 있고 $AD=19$, 점 $E$ 는 변 $AC$ 위에 있고 $AE=14$ 입니다. 선분 $DE$ 가 삼각형을 작은 모서리 삼각형 $ADE$ 와 남은 사각형 $BCED$ 로 나눕니다. 삼각형 $ADE$ 의 넓이와 사각형 $BCED$ 의 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: 삼각형 $ABC$, $AB=25$, $BC=39$, $AC=42$; $D$ 는 $\overline{AB}$ 위에 있고 $AD=19$; $E$ 는 $\overline{AC}$ 위에 있고 $AE=14$; 선택지: (A) $\tfrac{266}{1521}$, (B) $\tfrac{19}{75}$, (C) $\tfrac13$, (D) $\tfrac{19}{56}$, (E) $1$

구하는 것: 모서리 삼각형의 넓이와 사각형의 넓이의 비 $[ADE]:[BCED]$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

사각형 $BCED$ 는 깔끔한 넓이 공식이 없지만, 전체 삼각형에서 모서리 삼각형을 떼어낸 것일 뿐이므로 쫓을 값은 오직 $[ADE]/[ABC]$ 하나이고, 사각형은 그 여집합입니다(도구 #16). $[ADE]$ 를 $[ABC]$ 와 곧바로 비교하기는 밑변과 높이가 동시에 바뀌어 까다롭습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 비교를 중간 삼각형 $ABE$ 를 거치는 두 개의 쉬운 고리로 나눕니다: $B$ 를 $E$ 로 되돌리면 한 번에 한 방향씩만 바뀝니다. 각 고리는 '높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 비와 같다'는 하나의 사실만 쓰며, 이는 그림(도구 #1)으로 보면 분명합니다. 두 고리를 곱하면 $[ADE]/[ABC]$ 가 나오고, 여집합으로 비를 마무리합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

사각형을 남은 부분으로 보기

삼각형 $ABC$ 를 그리고 $AB$ 위에 $D$, $AC$ 위에 $E$ 를 표시한 뒤 $DE$ 를 잇습니다.
선분 $DE$ 는 꼭짓점 $A$ 쪽의 작은 삼각형 $ADE$ 를 잘라냅니다.
나머지 — 꼭짓점이 $B$, $C$, $E$, $D$ 인 영역 — 가 사각형입니다.
즉 사각형은 전체 삼각형에서 모서리 삼각형을 뺀 것입니다.
그러므로 필요한 모든 양은 하나의 비, 곧 $ADE$ 가 전체 삼각형 $ABC$ 에 비해 얼마나 큰지에 의해 정해집니다.

$$[BCED]=[ABC]-[ADE]$$

💡 삼각형의 모서리를 잘라내면 남는 것은 그저 전체에서 그 모서리를 뺀 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

중간 삼각형을 거쳐 가기

$ADE$ 에서 곧장 $ABC$ 로 가면 밑변이 $AD$ 에서 $AB$ 로, 먼 꼭짓점이 $E$ 에서 $C$ 로 동시에 옮겨가 비교할 고정된 것이 남지 않습니다.
그래서 중간 삼각형 $ABE$ 를 거칩니다.
이 삼각형은 $ADE$ 와 밑변 직선 $AB$ 를, $ABC$ 와 밑변 직선 $AC$ 를 공유합니다.
그러면 $[ADE]/[ABC]$ 는 각각 한 가지만 바뀌는 두 비교의 곱이 됩니다.

$$\dfrac{[ADE]}{[ABC]}=\dfrac{[ADE]}{[ABE]}\cdot\dfrac{[ABE]}{[ABC]}$$

💡 어려운 비교도 두 도형과 각각 한 변을 공유하는 도형을 거치면 쉬운 두 비교가 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

첫 번째 고리: E에서 높이가 같음

삼각형 $ADE$ 와 $ABE$ 를 봅니다.
둘 다 먼 꼭짓점이 $E$ 이고, 밑변 $AD$ 와 $AB$ 가 같은 직선 $AB$ 위에 있습니다.
따라서 두 삼각형의 높이는 정확히 같습니다 — $E$ 에서 직선 $AB$ 까지의 수직 거리입니다.
두 삼각형이 높이를 공유하면 밑변이 긴 쪽이 그만큼 넓이가 크므로, 넓이는 밑변의 비와 같습니다.

$$\dfrac{[ADE]}{[ABE]}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{19}{25}$$

💡 높이가 같으면 넓이는 밑변 길이만 따라갑니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

두 번째 고리: B에서 높이가 같음

이제 삼각형 $ABE$ 와 $ABC$ 를 봅니다.
둘 다 먼 꼭짓점이 $B$ 이고, 밑변 $AE$ 와 $AC$ 가 같은 직선 $AC$ 위에 있습니다.
다시 두 삼각형은 높이를 공유합니다 — $B$ 에서 직선 $AC$ 까지의 거리입니다 — 그러므로 넓이는 밑변 $AE$ 와 $AC$ 의 비와 같습니다.
여기서 $AE=14$, $AC=42$ 이고, $14/42$ 는 $1/3$ 로 간단해집니다.

$$\dfrac{[ABE]}{[ABC]}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{14}{42}=\dfrac13$$

💡 같은 높이 공유 요령이 다른 삼각형 쌍에도 그대로 통합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 5

두 고리를 곱하기

두 비를 곱해 고리를 하나로 접으면 우리가 원하던 값, 곧 전체에 대한 모서리 삼각형의 크기가 나옵니다.
변 $BC=39$ 는 한 번도 등장하지 않았음에 주목하세요 — 삼각형의 모양은 상관없고, 오직 점 $D$ 와 $E$ 가 각 변을 따라 얼마나 나아갔는지만 중요합니다.

$$\dfrac{[ADE]}{[ABC]}=\dfrac{19}{25}\cdot\dfrac13=\dfrac{19}{75}$$

💡 넓이는 각 방향으로 따로 비례하므로 두 변의 비가 곱해집니다.

#16 관점 바꾸기 6.NS.A.1 단계 6

여집합을 구해 나누기

모서리 삼각형은 전체의 $\tfrac{19}{75}$ 이므로, 남은 사각형은 전체의 나머지입니다: $1-\tfrac{19}{75}=\tfrac{56}{75}$.
구하는 비는 모서리 삼각형을 사각형으로 나눈 것입니다.
두 몫을 나누면 공통의 $\tfrac{1}{75}$ 이 약분되어 $19$ 대 $56$ 이 남습니다.
이것이 선택지 (D)입니다.

$$\dfrac{[BCED]}{[ABC]}=1-\dfrac{19}{75}=\dfrac{56}{75}\ \Rightarrow\ \dfrac{[ADE]}{[BCED]}=\dfrac{19/75}{56/75}=\dfrac{19}{56}\ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 사각형은 삼각형이 아닌 나머지 비율만큼입니다.

[1] #1 6.G.A.1 삼각형 $ABC$ 를 그리고 $AB$ 위에 $D$, $AC$ 위에 $E$ 를 표시한 뒤 $DE$ 를 잇습니다. 선분 $DE$ 는 꼭짓점 $A$

[2] #7 6.G.A.1 $ADE$ 에서 곧장 $ABC$ 로 가면 밑변이 $AD$ 에서 $AB$ 로, 먼 꼭짓점이 $E$ 에서 $C$ 로 동시에 옮겨가 비교할 고정된 것

[3] #7 6.RP.A.3 삼각형 $ADE$ 와 $ABE$ 를 봅니다. 둘 다 먼 꼭짓점이 $E$ 이고, 밑변 $AD$ 와 $AB$ 가 같은 직선 $AB$ 위에 있습니다.

[4] #7 6.RP.A.3 이제 삼각형 $ABE$ 와 $ABC$ 를 봅니다. 둘 다 먼 꼭짓점이 $B$ 이고, 밑변 $AE$ 와 $AC$ 가 같은 직선 $AC$ 위에 있습

[5] #7 5.NF.B.4 두 비를 곱해 고리를 하나로 접으면 우리가 원하던 값, 곧 전체에 대한 모서리 삼각형의 크기가 나옵니다. 변 $BC=39$ 는 한 번도 등장하지

[6] #16 6.NS.A.1 모서리 삼각형은 전체의 $\tfrac{19}{75}$ 이므로, 남은 사각형은 전체의 나머지입니다: $1-\tfrac{19}{75}=\tfrac{

검토

합리성 확인: 모서리 삼각형은 전체 삼각형의 $\tfrac{19}{75}\approx 0.25$ 이므로 사각형이 나머지 $\approx 0.75$ 를 차지합니다 — 남은 부분이 더 큰 조각이어야 하는 것이 맞고, 답 $\tfrac{19}{56}\approx 0.34$ 는 삼각형이 사각형의 절반에 한참 못 미침을 옳게 보여줍니다. 아까운 오답을 걸러내는 것도 좋은 확인입니다: (B) $\tfrac{19}{75}$ 는 $[ADE]/[ABC]$, 곧 사각형이 아니라 전체 삼각형에 대한 비이고, (A) $\tfrac{266}{1521}=\tfrac{19\cdot14}{39\cdot39}$ 은 $BC$ 로 잘못 나눈 데서 나옵니다. 오직 (D)만이 문제가 실제로 지목한 두 영역을 비교합니다.

대안 접근: 사인 넓이 공식을 쓰면 두 삼각형이 각 $A$ 를 공유합니다. 그러면 $[ADE]=\tfrac12\,AD\cdot AE\sin A$, $[ABC]=\tfrac12\,AB\cdot AC\sin A$ 이므로 공통의 $\tfrac12\sin A$ 가 약분되어 $[ADE]/[ABC]=\dfrac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}=\dfrac{19\cdot14}{25\cdot42}=\dfrac{19}{75}$ 로 같은 값이 나오고, 이어서 $[ADE]/[BCED]=\tfrac{19}{56}$ 로 앞과 동일합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 도형을 합치거나 나누어 삼각형과 여러 도형의 넓이를 구한다 (사각형 $BCED$ 를 삼각형 $ABC$ 에서 모서리 삼각형 $ADE$ 를 뗀 것으로 보고, 넓이 $=\tfrac12\,\text{밑변}\times\text{높이}$ 를 써서 높이가 같은 삼각형은 밑변으로 비교됨을 아는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 수학 문제를 푼다 (높이가 같은 각 삼각형 쌍을 밑변의 비로 바꾸는 데 사용: $[ADE]/[ABE]=AD/AB=19/25$, $[ABE]/[ABC]=AE/AC=1/3$.)
5.NF.B.4 분수에 분수를 곱한다 (두 고리 $\tfrac{19}{25}\cdot\tfrac13=\tfrac{19}{75}$ 을 곱해 $[ADE]/[ABC]$ 를 구하는 데 사용.)
6.NS.A.1 분수의 몫을 해석하고 계산한다 (여집합 $1-\tfrac{19}{75}=\tfrac{56}{75}$ 을 구하고 $\tfrac{19/75}{56/75}=\tfrac{19}{56}$ 을 나누는 데 사용.)

⭐ 높이가 같은 삼각형은 밑변으로 비교되므로, 중간 삼각형 $ABE$ 를 거쳐 $[ADE]/[ABC]=\tfrac{19}{25}\cdot\tfrac13=\tfrac{19}{75}$ 를 얻고, 남은 사각형은 $\tfrac{56}{75}$ 이니 답은 $\tfrac{19}{56}$ 입니다.