AMC 10 · 2005 · #25
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
사각형 BCED 는 깔끔한 넓이 공식이 없지만, 전체 삼각형에서 모서리 삼각형을 떼어낸 것일 뿐이므로 쫓을 값은 오직 [ADE]/[ABC] 하나이고, 사각형은 그 여집합입니다(도구 #16). [ADE]를 [ABC]와 곧바로 비교하기는 밑변과 높이가 동시에 바뀌어 까다롭습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 비교를 중간 삼각형 ABE 를 거치는 두 개의 쉬운 고리로 나눕니다: B 를 E 로 되돌리면 한 번에 한 방향씩만 바뀝니다. 각 고리는 '높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 비와 같다'는 하나의 사실만 쓰며, 이는 그림(도구 #1)으로 보면 분명합니다. 두 고리를 곱하면 [ADE]/[ABC]가 나오고, 여집합으로 비를 마무리합니다.
사각형을 남은 부분으로 보기
선분 DE가 모서리 삼각형 ADE를 잘라내므로, 사각형 BCED는 전체 삼각형에서 그 모서리를 뺀 것입니다.
삼각형의 모서리를 잘라내면 남는 것은 그저 전체에서 그 모서리를 뺀 것입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram중간 삼각형을 거쳐 가기
ADE에서 ABC로 곧장 가면 밑변과 먼 꼭짓점이 함께 바뀌니, 각각과 밑변 직선을 공유하는 중간 삼각형 ABE를 거칩니다.
어려운 비교도 두 도형과 각각 한 변을 공유하는 도형을 거치면 쉬운 두 비교가 됩니다.
6.G.A.1Identify Subproblems첫 번째 고리: E에서 높이가 같음
ADE와 ABE는 먼 꼭짓점 E를 공유하고 밑변이 직선 AB 위에 있어 높이가 같으니, 넓이 비는 밑변 비 입니다.
높이가 같으면 넓이는 밑변 길이만 따라갑니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems두 번째 고리: B에서 높이가 같음
ABE와 ABC는 먼 꼭짓점 B를 공유하고 밑변이 직선 AC 위에 있으니, 넓이 비는 , 곧 입니다.
같은 높이 공유 요령이 다른 삼각형 쌍에도 그대로 통합니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems두 고리를 곱하기
두 고리를 곱하면 모서리 삼각형은 전체의 입니다. BC=39는 끝내 쓰이지 않았습니다.
넓이는 각 방향으로 따로 비례하므로 두 변의 비가 곱해집니다.
변의 두 몫이 곱해지는 것은 넓이가 각 방향마다 따로 줄어들기 때문이다.
▸ 왜?
한 직선 위에 꼭짓점을 공유하는 삼각형은 넓이가 밑변의 비를 이루므로, 한 번의 줄임이 배율 하나다.
▸ 왜?
각을 공유하면 두 번의 줄임이 서로 다른 방향에 작용하므로, 두 비가 동시에 적용된다.
여집합을 구해 나누기
사각형은 나머지인 이고, 두 몫을 나누면 75가 약분되어 , 곧 (D)입니다.
사각형은 삼각형이 아닌 나머지 비율만큼입니다.
6.NS.A.1Change Focus Count The Complement높이가 같은 삼각형은 밑변으로 비교되므로, 중간 삼각형 ABE를 거쳐 [ADE]/[ABC]=19/25·1/3=19/75를 얻고, 남은 사각형은 56/75이니 답은 19/56입니다.
- 사각형을 남은 부분으로 보기
- 중간 삼각형을 거쳐 가기
- 첫 번째 고리: E에서 높이가 같음
- 두 번째 고리: B에서 높이가 같음
- 두 고리를 곱하기
- 여집합을 구해 나누기
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