AMC 10 · 2005 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeweighted-average identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

스무 개의 수로 이루어진 한 묶음의 평균이 30입니다. 이와 별개로 서른 개의 수로 이루어진 묶음의 평균이 20입니다. 이 쉰 개의 수를 모두 합쳤을 때 전체의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

평균끼리는 더할 수 없지만 총합끼리는 더할 수 있으므로, 도구 #16(관점 바꾸기)은 두 평균이 아니라 그 뒤에 숨은 두 총합으로 눈을 돌립니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 세 조각으로 나눕니다. 첫 번째 묶음의 총합, 두 번째 묶음의 총합, 그리고 전체를 합친 평균입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막습니다. 두 평균 30과 20을 그냥 평균하면 25가 되어 선택지 (C)처럼 보이지만, 두 묶음의 크기가 같지 않으므로 이는 틀린 답입니다.

1STEP 1

첫 번째 평균을 총합으로 바꾸기

평균은 총합을 똑같이 나눈 값이므로 총합 = 평균 × 개수입니다. 20개의 평균이 30이니 총합은 600입니다.

총합₁ = 20 × 30 = 600

2STEP 2

두 번째 평균을 총합으로 바꾸기

두 번째도 같습니다. 30개의 평균이 20이니 총합은 600으로 첫 묶음과 같습니다.

총합₂ = 30 × 20 = 600

3STEP 3

총합을 더하고 전체 개수를 세기

실제 합은 그대로 더해집니다. 총합은 1200, 개수는 50입니다.

총합 = 600 + 600 = 1200, 개수 = 20 + 30 = 50

4STEP 4

나누어 합친 평균 구하기

1200 ÷ 50 = 24입니다. 두 평균을 평균하면 25가 되지만, 20짜리 묶음이 더 많아 틀립니다.

1200/50 = 24 → (B)

정답

합친 평균은 두 묶음 평균 20과 30 사이 어딘가에 있어야 하고, 24는 그 조건을 만족합니다. 수가 더 많은 묶음(30개)이 작은 값 20을 평균으로 가지므로, 결과는 단순한 가운데 값 25보다 아래에 있어야 하는데, 24는 실제로 25보다 살짝 작습니다. 만약 두 묶음의 크기가 서로 뒤바뀌었다면 끌어당김이 반대로 작용해 평균이 25보다 커졌을 것입니다. 선택지 (C) 25는 두 평균을 잘못 평균했을 때 나오는 정확한 가운데 값이므로, 바로 그 점 때문에 매력적인 오답입니다.

💡핵심 정리

묶음의 크기가 다르면 두 평균을 다시 평균할 수 없습니다. 각 평균을 총합으로 되돌린 뒤 총합들을 더하고, 전체 수의 개수로 나누세요.

첫 번째 평균을 총합으로 바꾸기
두 번째 평균을 총합으로 바꾸기
총합을 더하고 전체 개수를 세기
나누어 합친 평균 구하기

첫 번째 평균을 총합으로 바꾸기

두 번째 평균을 총합으로 바꾸기

총합을 더하고 전체 개수를 세기

나누어 합친 평균 구하기

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