AMC 10 · 2005 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeweighted-average identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$20$ 개의 수의 평균이 $30$ 이고, 다른 $30$ 개의 수의 평균이 $20$ 입니다. 이 $50$ 개의 수 전체의 평균은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 스무 개의 수로 이루어진 한 묶음의 평균이 $30$입니다. 이와 별개로 서른 개의 수로 이루어진 묶음의 평균이 $20$입니다. 이 쉰 개의 수를 모두 합쳤을 때 전체의 평균을 구하세요.

주어진 것: 첫 번째 묶음의 수 $20$개의 평균(mean)이 $30$입니다; 두 번째 묶음의 수 $30$개의 평균(mean)이 $20$입니다; 두 묶음을 합치면 $20 + 30 = 50$개의 수로 이루어진 하나의 모임이 됩니다; 선택지: (A) $23$, (B) $24$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $27$

구하는 것: 쉰 개의 수를 모두 합쳤을 때 전체의 평균(mean)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

평균끼리는 더할 수 없지만 총합끼리는 더할 수 있으므로, 도구 #16(관점 바꾸기)은 두 평균이 아니라 그 뒤에 숨은 두 총합으로 눈을 돌립니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 세 조각으로 나눕니다. 첫 번째 묶음의 총합, 두 번째 묶음의 총합, 그리고 전체를 합친 평균입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막습니다. 두 평균 $30$과 $20$을 그냥 평균하면 $25$가 되어 선택지 (C)처럼 보이지만, 두 묶음의 크기가 같지 않으므로 이는 틀린 답입니다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 6.SP.B.5 단계 1

첫 번째 평균을 총합으로 바꾸기

평균은 총합을 수들에게 똑같이 나눠 준 것이므로, 총합은 평균에 수의 개수를 곱한 값입니다.
첫 번째 묶음은 수 $20$개의 평균이 $30$이므로, 총합은 $20 \times 30 = 600$입니다.
평균만 보면 이 총합이 숨겨져 있으므로, 그것을 되살리는 것이 첫 걸음입니다.

$$\text{총합}_1 = 20 \times 30 = 600$$

💡 평균은 무더기를 고르게 나눠 준 값이므로, 개수를 다시 곱하면 무더기 전체가 되살아납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

두 번째 평균을 총합으로 바꾸기

두 번째 묶음에도 똑같이 합니다.
수 $30$개의 평균이 $20$이므로, 총합은 $30 \times 20 = 600$입니다.
한쪽은 수가 더 많고 각각이 작으며 다른 쪽은 수가 더 적고 각각이 큰데도, 두 묶음의 총합이 모두 $600$으로 같다는 점을 눈여겨보세요.

$$\text{총합}_2 = 30 \times 20 = 600$$

💡 무더기를 되살리는 같은 방법이 크기가 다른 두 번째 묶음에도 그대로 통합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 3

총합을 더하고 전체 개수를 세기

이제 두 총합은 더할 수 있습니다.
실제 합은 곧바로 합쳐지기 때문입니다.
모든 수의 총합은 $600 + 600 = 1200$이고, 수의 개수는 $20 + 30 = 50$입니다.
이 총합을 전체 개수로 나눈 것이 바로 합친 평균에 필요한 값입니다.

$$\text{총합} = 600 + 600 = 1200, \quad \text{개수} = 20 + 30 = 50$$

💡 묶음을 합칠 때 평균은 그렇지 않지만 총합과 개수는 깔끔하게 쌓입니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 4

나누어 합친 평균 구하기

쉰 개 수 전체의 평균은 총합을 개수로 나눈 값입니다.
$1200 \div 50 = 24$입니다.
함정을 조심하세요.
주어진 두 평균을 평균하면 $(30 + 20)\div 2 = 25$로 선택지 (C)가 됩니다.
이 지름길이 틀리는 이유는 평균이 $20$인 묶음의 수가 더 많아서($30$개), 합친 평균을 가운데 값보다 아래로, $24$까지 끌어내리기 때문입니다.
답은 $24$, 선택지 (B)입니다.

$$\dfrac{1200}{50} = 24 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 수가 더 많은 묶음이 공유 평균을 자기 값 쪽으로 끌어당기므로, 평균은 $20$짜리 묶음 쪽으로 기웁니다.

[1] #16 6.SP.B.5 평균은 총합을 수들에게 똑같이 나눠 준 것이므로, 총합은 평균에 수의 개수를 곱한 값입니다. 첫 번째 묶음은 수 $20$개의 평균이 $30$이므

[2] #7 6.SP.B.5 두 번째 묶음에도 똑같이 합니다. 수 $30$개의 평균이 $20$이므로, 총합은 $30 \times 20 = 600$입니다. 한쪽은 수가 더 많

[3] #7 6.SP.A.3 이제 두 총합은 더할 수 있습니다. 실제 합은 곧바로 합쳐지기 때문입니다. 모든 수의 총합은 $600 + 600 = 1200$이고, 수의 개수는

[4] #3 6.SP.A.3 쉰 개 수 전체의 평균은 총합을 개수로 나눈 값입니다. $1200 \div 50 = 24$입니다. 함정을 조심하세요. 주어진 두 평균을 평균하면

검토

합리성 확인: 합친 평균은 두 묶음 평균 $20$과 $30$ 사이 어딘가에 있어야 하고, $24$는 그 조건을 만족합니다. 수가 더 많은 묶음($30$개)이 작은 값 $20$을 평균으로 가지므로, 결과는 단순한 가운데 값 $25$보다 아래에 있어야 하는데, $24$는 실제로 $25$보다 살짝 작습니다. 만약 두 묶음의 크기가 서로 뒤바뀌었다면 끌어당김이 반대로 작용해 평균이 $25$보다 커졌을 것입니다. 선택지 (C) $25$는 두 평균을 잘못 평균했을 때 나오는 정확한 가운데 값이므로, 바로 그 점 때문에 매력적인 오답입니다.

대안 접근: 가중평균을 곧바로 씁니다. 각 묶음의 평균에 그 묶음이 $50$개 중 차지하는 비율을 곱해 더합니다. $\frac{20}{50}\times 30 + \frac{30}{50}\times 20 = \frac{2}{5}\times 30 + \frac{3}{5}\times 20 = 12 + 12 = 24$가 되어, 총합을 따로 구하지 않고도 선택지 (B)임을 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측값의 개수와 중심 측도를 연결하여 수치 자료를 요약하기 (평균은 총합을 개수로 나눈 값이라는 관계를 거꾸로 이용해, 각 묶음의 평균과 크기로부터 총합($20\times 30$, $30\times 20$)을 되살리는 데 사용합니다.)
6.SP.A.3 중심 측도가 자료의 모든 값을 하나의 수로 요약함을 이해하기 (두 총합을 전체 개수 $50$으로 나누어 모임 전체의 평균 하나를 구하고, 평균끼리 평균하면 왜 틀리는지 이해하는 데 사용합니다.)

⭐ 묶음의 크기가 다르면 두 평균을 다시 평균할 수 없습니다. 각 평균을 총합으로 되돌린 뒤 총합들을 더하고, 전체 수의 개수로 나누세요.