AMC 10 · 2005 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

recursive-sequencedigit-decompositionpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencepattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 수열의 첫째 항은 $2005$ 입니다. 그다음 각 항은 바로 앞 항의 각 자릿수를 세제곱하여 모두 더한 값입니다. 이 수열의 ${2005}^{\text{th}}$ 번째 항은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

133

(E)

250

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수열이 $2005$에서 시작한다. 다음 항을 구하려면, 바로 앞 항의 각 자릿수를 세제곱해서 모두 더한다. 이 수열의 $2005$번째 항을 구하여라.

주어진 것: 첫째 항은 $2005$이다; 다음 항 = 현재 항의 각 자릿수를 세제곱한 값들의 합 (예: $2005$에서는 $2^3+0^3+0^3+5^3$을 계산한다); 선택지: (A) $29$, (B) $55$, (C) $85$, (D) $133$, (E) $250$

구하는 것: $2005$번째 항의 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$2005$개의 항을 직접 계산하는 것은 불가능하므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 전략이다. 처음 몇 항을 만들어 보고 반복되는 값이 나타나는지 지켜보면, 수열 전체가 하나의 순환에 갇힌다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 번에 자릿수 세제곱 계산 하나씩만 다루게 해서 계산을 깔끔하게 유지한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 마무리를 짓는다. $2005$번째 항까지 먼 길로 도달하는 대신, $2005$가 짧은 순환 안에서 어디에 놓이는지를 묻는 쉬운 나눗셈 나머지 문제로 바꾼다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1

둘째 항 계산하기

$2005$에서 시작해 각 자릿수를 세제곱한 뒤 더한다.
자릿수는 $2$, $0$, $0$, $5$이므로 둘째 항은 $2^3+0^3+0^3+5^3 = 8+0+0+125 = 133$이다.

$$2^3+0^3+0^3+5^3 = 8+125 = 133$$

💡 자릿수를 세제곱한다는 것은 그 수를 세 번 곱하는 것일 뿐이고, $0^3=0$이므로 $0$은 사라진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

이어지는 몇 항 계산하기

규칙을 각 새 항에 계속 적용한다.
$133$에서: $1^3+3^3+3^3 = 1+27+27 = 55$.
$55$에서: $5^3+5^3 = 125+125 = 250$.
$250$에서: $2^3+5^3+0^3 = 8+125+0 = 133$.

$$133 \to 55 \to 250 \to 133$$

💡 각 화살표는 같은 규칙을 한 번 적용한 것이므로, 한 번에 작은 세제곱-더하기 계산 하나만 하면 된다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

반복되는 순환 발견하기

다섯째 항이 다시 $133$이 되었는데, 이는 둘째 항이기도 하다.
각 항은 바로 앞 항에만 의존하므로, 한 값이 다시 나타나면 수열 전체가 영원히 반복될 수밖에 없다.
따라서 둘째 항부터 수열은 세 값 $133,\ 55,\ 250,\ 133,\ 55,\ 250,\dots$을 주기 $3$으로 순환한다.

항 $2,3,4 = 133,55,250$; 그다음 항 $5,6,7 = 133,55,250$

💡 바로 앞 항만 보는 규칙은, 어떤 값이 두 번째로 나타나는 순간 영원히 되풀이될 수밖에 없다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 4

$2005$번째 항이 어디에 놓이는지 찾기

순환은 항 $2,3,4,\dots$를 주기 $3$으로 덮는다.
항 번호를 $3$으로 나눈 나머지가 같은 항들은 같은 값을 가진다.
항 $2$(나머지 $2$) $=133$, 항 $3$(나머지 $0$) $=55$, 항 $4$(나머지 $1$) $=250$.
이제 목표를 확인한다.
$2005 = 3\times 668 + 1$이므로 $2005$는 나머지 $1$을 남긴다.
이는 값이 $250$인 항 $4$와 일치한다.
따라서 $2005$번째 항은 $250$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$2005 = 3\times 668 + 1 \Rightarrow 2005 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 250 = \textbf{(E)}$$

💡 길이 $3$짜리 순환에서는 $3$으로 나눈 나머지만이 세 값 중 어디에 놓이는지를 결정한다.

[1] #7 6.EE.A.1 $2005$에서 시작해 각 자릿수를 세제곱한 뒤 더한다. 자릿수는 $2$, $0$, $0$, $5$이므로 둘째 항은 $2^3+0^3+0^3+5^

[2] #7 6.EE.A.1 규칙을 각 새 항에 계속 적용한다. $133$에서: $1^3+3^3+3^3 = 1+27+27 = 55$. $55$에서: $5^3+5^3 = 12

[3] #5 4.OA.C.5 다섯째 항이 다시 $133$이 되었는데, 이는 둘째 항이기도 하다. 각 항은 바로 앞 항에만 의존하므로, 한 값이 다시 나타나면 수열 전체가 영

[4] #9 4.NBT.B.6 순환은 항 $2,3,4,\dots$를 주기 $3$으로 덮는다. 항 번호를 $3$으로 나눈 나머지가 같은 항들은 같은 값을 가진다. 항 $2$(나

검토

합리성 확인: 답은 반드시 세 순환 값 $\{133, 55, 250\}$ 중 하나여야 하는데, $250$이 그 목록에 있으니 좋은 신호이다. 선택지 (A) $29$와 (C) $85$는 수열에 전혀 나타나지 않으므로 순수한 함정이다. 선택지 (D) $133$은 하나씩 어긋나는 실수를 노린 함정이다. 항 $4$는 $250$이고 나머지 $1$에 대응하며, $2005$도 나머지 $1$을 가지므로, 목표를 (항 $2$가 아니라) 항 $4$에 맞추는 것이 핵심이다. $2005 \equiv 1 \pmod 3$이 항 $4$와 정확히 같으므로 값 $250$이 맞다.

대안 접근: 나머지를 직접 쓰는 대신 순환을 둘째 항부터 번호 매길 수도 있다. (항 $2$를 위치 $0$으로 하여) $n$번째 항의 순환 위치는 $(n-2) \bmod 3$이고, $0\to133,\ 1\to55,\ 2\to250$이다. $n=2005$일 때: $(2005-2)=2003$이고 $2003 = 3\times 667 + 2$이므로 위치는 $2$, 즉 $250$이다. 같은 답 (E)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (각 자릿수를 세제곱해서 더하기, 예를 들어 $2^3+0^3+0^3+5^3=133$과 $5^3+5^3=250$을 계산하여 각 다음 항을 만든다.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (주어진 규칙으로 항들을 만들고, 값 $133,55,250$이 주기 $3$으로 반복됨을 알아낸다.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($2005$를 $3$으로 나누어 나머지 $1$을 얻고, 이를 통해 $2005$번째 항을 길이 $3$짜리 순환 안에서 찾아낸다.)

⭐ 어떤 규칙이 항을 계속 자기 자신에게 되먹일 때는, 값이 반복될 때까지 몇 항을 나열한 다음 순환 길이로 나눈 나머지를 이용해 멀리 떨어진 항으로 바로 건너뛰어라.