AMC 10 · 2005 · #16

학년 8 algebra
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking
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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
이차식 x²+mx+n의 근은 x²+px+m의 근의 정확히 두 배입니다. m, n, p 중 어느 것도 0이 아닙니다. n/p의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
4
(D)
8
(E)
16

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

근이 두 이차식을 잇는 숨은 연결 고리이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 근을 r, s라 이름 붙입니다. 근 r,s로 만들어진 이차식은 (x-r)(x-s)=x²-(r+s)x+rs로 인수분해되므로, 각 계수는 근의 합 또는 곱일 뿐입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '근의 두 배'를 계수 비교를 통해 방정식으로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 작업을 두 갈래로 깔끔하게 나눕니다: 근의 합이 말해 주는 것과, 따로 근의 곱이 말해 주는 것. 각 갈래가 연결 하나씩(m=2p와 n=4m)을 주고, 이를 이어 붙이면 n/p가 나옵니다.

1STEP 1

첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

x²+px+m의 근을 r, s라 하면 (x-r)(x-s) 전개와 항별로 비교해 r+s=-p, rs=m입니다.

(x-r)(x-s)=x²-(r+s)x+rs → r+s=-p, rs=m
2STEP 2

두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기

두 번째 식의 근은 2r, 2s이므로 (x-2r)(x-2s) 전개에서 2r+2s=-m, 4rs=n입니다.

2r+2s=-m, (2r)(2s)=4rs=n
3STEP 3

공유하는 근으로 두 식을 잇기

r+s=-p를 2r+2s=-m에 넣으면 m=2p, rs=m을 n=4rs에 넣으면 n=4m입니다.

-m=2(r+s)=-2p → m=2p; n=4rs=4m
4STEP 4

연결을 이어 n/p 구하기

n=4m과 m=2p를 이으면 n=4(2p)=8p이고, 0이 아닌 p로 나누면 n/p=8, 즉 (D)입니다.

n=4m=4(2p)=8p → n/p=8 → (D)
정답
8
개별 근 r,s는 최종 답에 전혀 나타나지 않으므로, 비 n/p=8은 유효한 어떤 이차식 쌍에 대해서도 성립해야 합니다 — 대수 계산이 깔끔하다는 좋은 신호입니다. 구체적 예로 확인해 봅시다: p=8로 두면 m=2p=16, n=8p=64입니다. 첫 번째 이차식은 x²+8x+16=(x+4)²로 -4에서 중근을 가집니다. 그 근을 두 배로 하면 -8,-8이고, (x+8)²=x²+16x+64는 실제로 m=16, n=64인 x²+mx+n과 같습니다. 그리고 n/p=64/8=8로 (D)와 일치합니다. 함정 선택지 (E) 16은 (합에서 한 번, 곱에서 또 한 번) 두 번 두 배를 한 데서 나오며, 선택지 (C) 4는 m=2p에 숨은 2배를 잊은 데서 나옵니다.
💡핵심 정리

이차식의 계수는 그 근의 합과 곱이 변장한 모습일 뿐이므로, 근에 이름을 붙이면 '근의 두 배'가 이어 붙일 수 있는 간단한 방정식으로 바뀝니다.

  • 첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
  • 두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
  • 공유하는 근으로 두 식을 잇기
  • 연결을 이어 n/p 구하기

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